Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Учебное пособие
.pdf
верку окончания в соответствии с условиями (2.8) или (2.10) в зависимости от метода. Решить преобразованную систему с точностью
–3
. Экспериментально подобрать минимальное значение заданной
10
погрешности, при которой вычисления сходятся к конечному значению (не возникает переполнения) и завершаются корректно (программа не входит в бесконечный цикл). Объяснить все полученные
результаты.
Номер
вари-
анта
1
2
A
A
СЛАУ 1: Ax = b СЛАУ 2: Ax = b
5 2,833333 1 11, 666666
3 1,7 7 , 13.4
181 18
2,83333 5 1 11,66666
1, 7 3 7 , 13 , 4
811 18
b
b
A
1 1 15 17
15 0 1 , 16
A
415 1 20
21151 21
31220 27
110 1 1 14
3214 2 20
b
,
b
531 12
3 1,79999 7 , 13,59998
3
4
5
6
A
181 18
351 12
1, 799999 3 7 , 13,599998
A
811 18
10 20 30 60
40 80,00001 60 , 180,00001
A
A
51525 15
2 1, 99999 3 1 7,99997
11 11 2
1121 1
12 11 5
b
b
b
,
b
A
215 1 29
12 2 3 , 25
A
1 2 16 53
5306 53
A
10 2 1 15
12151 19
13 2 20 24
10 1 1 1 13
2314 2 17
A
10 2 1 14
b
3420, 61
191 12
2211, 26
b
,
b
b
31
Окончание таблицы
Номер
вари-
анта
7
8
9
10
A
A
15 20 30 40 105
1 1,333333 1 1 4,333333
A
4321 10
1,33333 1 1 1 4, 33333
A
СЛАУ 1: Ax = b СЛАУ 2: Ax = b
10 2, 0001 2 0 21, 0001
51 24 14
3511 10
06 22 8
2,00001 2 3 1 8,00003
1111 2
1121 1
2111 5
11 11 0
20 15 30 40 105
3421 10
1111 0
,
b
,
b
,
b
,
b
A
A
A
A
315 12
073, 10
811 18
3 1 10 18
14 2 3 , 35
212 3 25
3 4 20 27
530 6, 41
10 2 1 13
12 0 1 26
3313, 38
3111 30
b
b
b
b
3. Подготовить программный модуль, позволяющий решать систему с трехдиагональной матрицей произвольной размерности. Реализацию выполнить так, чтобы ею было удобно воспользоваться при разработке программ для следующих заданий. Провести тестирование
модуля на собственных примерах.
При разработке всех алгоритмов стараться по возможности
мизировать вычислительные затраты
.
мини-
Отчет должен содержать:
исходные и преобразованные системы уравнений;
тексты разработанных программ;
результаты вычислений, полученные с помощью разработанных
программ;
объяснение полученных результатов.
32
3. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Во многих задачах возникает проблема замены некоторой функции, заданной аналитически или таблично, другой функцией – близкой, но более простой и удобной при вычислениях. Есть и другая задача: восстановление функции на некотором отрезке по заданным на
этом отрезке значениям функции в дискретном множестве точек.
В общем случае при постановке задачи
мо прежде всего выбрать класс приближающих функций и определиться с критерием близости исходной и приближающей функции.
В качестве критерия можно выбрать, например, точное совпадение
приближаемой и приближающей функций в узловых точках (интерполяция), минимум суммы квадратов отклонения в узловых точках
(метод наименьших квадратов) и др. Следует также
позволяющее получить значение функции в промежутках между узлами, и ответить на вопросы, какие узлы использовать и как их расположить. На рис. 3.1 приведен пример решения задачи аппроксимации.
аппроксимации необходи-
указать правило,
Рис. 3.1
33
Звездочками на рис. 3.1 выделены узловые точки, сплошной ли-
f
x
x
x
x
x
x
х
x
нией показана интерполяция, пунктиром – среднеквадратичное приближение.
3.1. Интерполяция многочленом
Пусть на отрезке [a, b] заданы (n + 1) несовпадающих точек
ax x x b и известны значения функции ()fx в этих точ-
01 n
()
ках:
(),
f построить функцию ()
ii
числялись при любом
Приближающая функция может представлять собой линейную
комбинацию некоторых базисных функций ()
в качестве которых можно выбрать любую линейно независимую систему функций. При использовании
функция ()
fx
ii
, 0,1, ,in
. Требуется по табличным значениям
такую, чтобы ее значения легко вы-
() ()
,
ab и при этом
степенных функций
ii
i
представляет собой многочлен степени n:
n
i
i
.
i
0
()
Px ax
fx
.
n
:0φ() ()
ax,
ii
i
2
1, , , ,
хх
n
Многочлены легко вычисляются, и теория интерполяции многочленами хорошо разработана. Для определения значений коэффициен-
a требуется решить систему уравнений ;(0,),
тов
i
aax ax f
010 0 0
aax ax f
011 1 1
... ,
... ,
...
aax ax f
01
... .
nnnn
Px f i n
ii
n
n
n
n
(3.1)
n
:
Определитель этой системы является ненулевым определителем
Вандермонда:
34
1 ...
x
x
x
x
xx
00
1 ...
xx
.
11
... ... ... ...
1 ...
xx
nn
n
n
n
()0
xx
ji
0
ji
n
Следовательно, решение системы существует и единственно, а для
таблицы значений функции (),
f , 0, , ,
ii
in существует единствен-
ный интерполяционный многочлен.
На практике для поиска коэффициентов интерполяционного многочлена систему уравнений (3.1) не применяют, так как обычно она
плохо обусловлена. Другая причина состоит в том, что часто доста-
точно только одного или нескольких значений P(x), поэтому явное
вычисление коэффициентов
a избыточно.
i
3.2. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
n
Интерполяционный многочлен, записанный в виде0() (),
где ()
lx, представляет собой многочлен степени n, удовлетворяющий
i
1,
ij
условию
lx
()
ij
0,
, называют интерполяционным многочле-
ij
ном в форме Лагранжа. Условие равенства нулю означает, что все
за исключением
о разложении многочлена по корням
, являются корнями многочлена
i
Lx fl x
ii
i
l
, и по теореме
i
,
j
( ) ( ) ...( ) ( ) ... ( )
lx Cx x x x x x x x
ii i i n
Из условия равенства
C
i
.
011
l
единице при i = j следует, что
i
xxxxx xx
( ) ... ( ) ( ) ... ( )
011
iiiiiin
1
.
Таким образом, интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
будет выглядеть следующим образом:
35
n
x
x
f
f
n
()
Lx f
n
( ) ... ( ) ( ) ... ( )
xx xx xx xx
f
i
( ) ... ( ) ( ) ... ( )
i
0
xxxxx xx
iiiiiin
i
0
011
011
xx
j
i
j
0
ji
ii n
x
ij
.
Вычислительная сложность этой формулы составляет
2
()n
опе-
раций. Обычно ею пользуются напрямую – без запоминания промежуточных значений, т. е. не преследуя целей ускорения повторных
вычислений.
3.3. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
Интерполяционный многочлен в форме Ньютона естественным образом позволяет сохранить промежуточные данные для последующих
вычислений. Основное преимущество этой формы записи интерполяционного многочлена в сравнении с формой Лагранжа заключается
в отсутствии необходимости перестраивать весь многочлен при добавлении новой точки в таблицу.
Для вывода интерполяционного многочлена в форме Ньютона понадобится
Разделенные разности
функции. Разделенные разности
ношениями
представление о разделенных разностях.
нулевого порядка совпадают со значениями
первого порядка определяются соот-
() ( )
xfx
(; )
fx x
ij
ij
xx
ij
.
Разделенные разности
второго порядка определяются через разде-
ленные разности первого порядка:
(; ) ( ; )
xx fx x
(; ; )
fx x x
ijk
ij jk
xx
ik
36
.
Разделенная разность порядка n определяется соотношением:
f
x
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
fx x x x
( ; ; ; ...; )
ijk n
( ; ; ; ...; ) ( ; ; ...; )
xxxx fxxx
ijk n jk n
1
xx
in
Например, если функция задана таблицей значений в четырех точ-
,, ,
ках
xx x
0123
, то разделенные разности удобно вычислять в поряд-
ке, представленном в табл. 3.1.
Таблица 3.1
()
x
0
()fx
1
()
x
2
()
x
3
(; )
xx
01
xx
12
(; )
xx
(; )
23
(;; )
xxx
012
(; ; )
xx x
123
(;; ; )
xxxx
0123
Разделенные разности
более высоких порядков равны нулю.
Вывод формулы интерполяционного многочлена
в форме Ньютона
Из определения разделенной разности первого порядка
.
() ( ) ( ) (; )
xfx xxfxx.
000
Из определения разделенной разности второго порядка
(; ) ( ; ) ( ) (; ; )
xx fx x x x f xx x .
001 101
Подставляя выражение для
() ( ) ( ) ( ; ) ( )( ) (; ; )
x fx xxfxx xx xxfxxx
0 0 01 0 1 01
(; )
xx в предыдущее равенство получаем
0
.
Если функция задана таблицей из двух точек, то на этом этапе следует остановиться. Последний член равен нулю, так как разделенная
разность третьего порядка в этом случае равна нулю.
37
Продолжая дальше, для таблицы из (n + 1) точки получим
x
f
f
x
f
() ( ) ( ) ( ; ) ( )( ) ( ; ; ) ... fx fx x x fx x x x x x fx x x
000101012
( ) ( ) ...( ) ( ; ; ...; )
xx xx xx fxx x
01 101
( ) ( )...( ) ( ; ; ...; )
xxx xxfxx x.
01 0
nn
nn
Асимптотически вычислительная сложность в сравнении с формой
2
()
n
Лагранжа не меняется и остается равной
оценить более точно, с учетом констант, то вычисление ()
операций. Однако если
x с гото-
выми разделенными разностями будет выполняться в несколько раз
быстрее. Разделенные разности можно вычислить заранее и сохранить
для всех последующих вычислений. При добавлении новой точки
в исходную таблицу значений функции старые значения разделенных
разностей останутся актуальными, в этом случае потребуется добавить
недостающие – и можно продолжать вычисления ()
x .
3.4. Сглаживание методом наименьших квадратов
При проведении некоторых экспериментальных исследований
наблюдаются частые и резкие изменения значений измеряемых величин. Чтобы избежать трудностей при изучении таких процессов
и управлении ими, используют
Применять сглаживание нужно осмотрительно. В некоторых случаях резко выделяющиеся точки могут характеризовать существенные
качественные изменения, происходящие в исследуемом объекте.
Сглаживая экспериментальные данные, можно легко утратить информацию о таких явлениях.
Сущность метода наименьших квадратов для табличной функции
состоит в том, чтобы отыскать такую аналитическую зависимость из
некоторого класса функций,
по всем точкам таблицы была бы минимальной.
Пусть связь между аргументами
0, ...,in , приближенно описывается выражением
с числовыми параметрами0, ...,
сглаживание.
для которой сумма квадратов отклонений
и значениями функции
i
aa. Требуется определить такие зна-
k
( , , ..., )
ypxa a
0
k
,
i
38
чения этих параметров, при которых сумма квадратов отклонений
p
F
n
( , , ..., )
xa a y
i
iki
0
0
Для многочлена k-й степени
2
будет наименьшей.
( ) ...
Px ax ax a
kk
k
10
сумма квад-
ратов отклонений представляет собой неотрицательную функцию
переменных
aa
0
:
k
n
( , ..., ) ( ... )
aa ax axay
010
.
kki ii
i
k
0
2
, ...,
Требующиеся наилучшие коэффициенты многочлена должны давать минимум функции F.
Необходимым условием экстремума дифференцируемой функции
многих переменных является равенство нулю ее частных производных
по всем переменным. Следовательно, задача отыскания коэффициентов сводится к решению системы уравнений
F
...
0,
a
0
F
0.
a
k
Дифференцируя F по каждой переменной, получаем систему линейных уравнений
ca ca ca ca d
00 11 22 0
... ,
kk
ca c a ca c a d
10 21 32 1 1
ca c a c a c a d
01122 2
kk k kkk
n
m
i
0
, 0, ..., 2
dfxj k
cxm k
где
,
mi
... ,
kk
...
... ,
n
j
0
, 0, ...,
.
jii
i
39
(3.2)
Значения коэффициентов аппроксимирующего многочлена
x
x
x
x
x
f
f
f
f
f
–
–5–
–
–
–
–2–
–
–2–2–
–
–
–1–
a
яв-
i
ляются решением полученной системы. Если степень многочлена на
единицу меньше количества точек (k = n), то будут получены коэффициенты интерполяционного многочлена.
3.5. Задание для самостоятельной работы к главе 3
1. Для функции, заданной таблицей значений согласно варианту
задания из табл. 3.2, в любом доступном математическом программном пакете выполнить:
расчет коэффициентов сглаживающих многочленов степеней 1,
2, 3 по методу наименьших квадратов;
расчет коэффициентов интерполяционного многочлена с помо-
щью решения системы уравнений (3.1);
построение графиков полученных многочленов.
Таблица 3.2
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
()
x
1
245 67
661 –111
112 34
201 35
7610 910
202 34
18 12 7
5 7 9 11 12
3
8 10 12 14 16
495 116
101 23
102 34
1 2 10 10 15
7 9 10 12 14
8117 2–5
234 67
2
()
x
2
318 6–2
67 8 2
40
3
()
x
3
2 4 15
7 1 14
4
()
x
4
10
5
()
x
5
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]