Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Цифровые системы управления. Сборник задач для индивидуальных заданий. Учебное пособие
.pdf
31
WM(z) совпадает с передаточной функцией объекта управления
u
y
M
y
()
)(
12
...
n
x x x
()Wz
()Lz
()
M
Wz
...
Наблюдатель
()
( )
()
Lz
B
Lz
Lz
A
( ) ( ) ( ) 0A z L z B z
()Lz
B
()Lz
A
( 1)n
(2 1)n
(2 1)n
*
()Cz
W(z) [1].
Рис. 3. Структурная схема наблюдателя
В обратную связь наблюдателя (рис. 3) включен стабилизирующий
корректор:
,
на вход которого подается разница между выходом объекта y и выходом модели yМ:
= y – yМ.
ми, даже если объект управления неустойчив. Он также дает возможность обеспечить требуемое качество сходимости к нулю разницы .
ректора для таких наблюдателей равен
тогда порядок наблюдателя
мый характеристический полином
Корректор позволяет процессы в наблюдателе сделать устойчивы-
Характеристическое уравнение наблюдателя следующее:
.
Порядок полиномов числителя
и знаменателя
, где n – порядок объекта,
, следовательно, необходимо задать
желаемых корней наблюдателя, сформировать из них желае-
и приравнять к нему характе-
кор-
32
ристический полином наблюдателя, порождаемый его характеристиче-
*
( ) ( ) ( ) ( ) ( )L z A z L z B z C z
B
A
(2 1)n
()Lz
Номер варианта
Желаемый набор корней наблюдателя
1
1 2 3
0,0; 0,15; 0,1z z z
2
1 2 3
0,0; 0,0; 0,1z z z
3
1 2 3
0,0; 0,05; 0,1z z z
4
1 2 3
0,05; 0,0; 0,01z z z
5
1 2 3
0,0; 0,2; 0,2z z z
6
1 2 3
0,1; 0,1; 0,15z z z
7
1 2 3
0,0; 0,1; 0,1z z z
8
1 2 3
0,0; 0,0; 0,0z z z
9
1 2 3
0,0; 0,1; 0,1z z z
10
1 2 3
0,0; 0,1; 0,1z z z
11
1 2 3
0,0; 0,05; 0,1z z z
12
1 2 3
0,05; 0,0; 0,01z z z
13
1 2 3
0,0; 0,2; 0,2z z z
14
1 2 3
0,1; 0,1; 0,0z z z
15
1 2 3
0,0; 0,1; 0,1z z z
16
1 2 3
0,0; 0,0; 0,0z z z
ским уравнением:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в левой и
правой частях последнего уравнения, получаем систему линейных
уравнений порядка
эффициенты передаточной функции корректора
, которая позволяет вычислить искомые ко-
.
Передаточные функции объекта и корректора предварительно
должны быть приведены к нормированному виду.
Задание 13. Рассчитать наблюдатель для объекта, математическая
модель которого задана разностным уравнением из табл. 2.1, в соответствии с вариантом. Желаемые наборы корней наблюдателя заданы в
табл. 13.1. Изобразить структурную схему наблюдателя, реализованную на звеньях задержки.
Т а б л и ц а 13.1
33
О к о н ч а н и е та б л . 13.1
Номер варианта
Желаемый набор корней наблюдателя
17
1 2 3
0,0; 0,1; 0,0z z z
18
1 2 3
0,0; 0,1; 0,1z z z
19
1 2 3
0,0; 0,1; 0,05z z z
20
1 2 3
0,0; 0,0; 0,0z z z
( 1) ( ) ( ),
( ) ( ).
x k Ax k Bu k
y k Cx k
()xk
( 1)xk
1
zBA
Объект
L
М
B
М
A
Наблюдатель
М
C
u
()xk
()
М
yk
()yk
()xk
( 1)xk
( 1)xk
)(
)(
C
1
z
ТЕМА 14
МАТРИЧНАЯ ПРОЦЕДУРА
СИНТЕЗА НАБЛЮДАТЕЛЕЙ
Математическая модель объекта управления задается в виде
По структурной схеме наблюдателя (рис. 4) можно сделать вывод о
том, что он позволяет получить не только оценку вектора состояния
, но и его прогноз на один шаг вперед
.
Рис. 4. Структурная схема наблюдателя
34
В обратную связь наблюдателя (рис. 4) включен стабилизирующий
nm
LR
( ) ( ) ( )e k x k x k
( 1) ( ) ( )e k A LC e k
*
det( ) ( )zI A LC C z
*
()Cz
корректор
,
на вход которого подается разница между выходом объекта y и выходом модели yМ:
= y – yМ.
Корректор позволяет процессы в наблюдателе сделать устойчивыми, даже если объект управления неустойчив. Он также дает возможность обеспечить требуемое качество сходимости к нулю разницы .
Введем новую переменную как невязку между вектором состояния
объекта и вектором состояния наблюдателя:
,
тогда модель наблюдателя в новых переменных получим в виде
,
а характеристическое уравнение наблюдателя примет вид
,
где
есть желаемый характеристический полином наблюдателя,
сформированный из желаемых корней.
Число уравнений, порождаемых характеристическим уравнением
наблюдателя, для многоканального объекта меньше, чем количество
искомых коэффициентов матрицы-корректора, поэтому часть ее коэффициентов можно задать произвольно, нередко их задают нулевыми, но n штук коэффициентов матрицы L должны остаться свободными.
В случае синтеза наблюдателя для одноканального объекта число
искомых коэффициентов корректора L совпадает с порядком характеристического уравнения объекта и задача их поиска разрешается однозначно.
Задание 14. Рассчитать наблюдатель для объекта, математическая
модель которого задана разностным уравнением из табл. 2.1, в соответствии с вариантом. Желаемые наборы корней наблюдателя заданы в
табл. 14.1. Изобразить структурную схему наблюдателя, реализованную на звеньях задержки.
35
Т а б л и ц а 14.1
Номер варианта
Желаемый набор корней наблюдателя
1
12
0,0; 0,1 zz
2
12
0,0; 0,0zz
3
12
0,0; 0,05zz
4
12
0,05; = 0,01zz
5
12
0,1; = 0,1zz
6
12
0,1; 0,1zz
7
12
0,0; 0,1zz
8
12
0,0; 0,0zz
9
12
0,0; 0,1zz
10
12
0,05; 0,1zz
11
12
0,02; 0,05zz
12
12
0,05; 0,01zz
13
12
0,0; 0,02zz
14
12
0,04; 0,04zz
15
12
0,0; 0,1zz
16
12
0,0; 0,0zz
17
12
0,03; 0,1zz
18
12
0,04; 0,0zz
19
12
0,1; 0,05zz
20
12
0,0; 0,05zz
( 1) ( ) ( ),
( ) ( ).
x k Ax k Bu k
y k Cx k
Пусть математическая модель объекта, для которого необходимо
построить наблюдатель, задана в стандартной форме:
ТЕМА 15
РАСЧЕТ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ
ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА
36
Размерности векторов, входящих в систему уравнений, следующие:
n
xR
,mu y R
н
nm
xR
и
m
xR
T
ни
[ , ]x x x
н
x
и
x
н
1
x
x
y
1
x P x
н 11 12 н 1
и 21 22 и 2
н
12
и
( 1)
( ),
( 1)
.
x k A A x B
uk
x k A A x B
x
y C C
x
11 12 н
н
21 22 и
P P x
x
P P x
y
н 11 н 12 и
21 н 22 и
,
.
x P x P x
y P x P x
( ) ( ) ( )
11 12
; 0 ;
n m n m n m m
P I R P R
,
.
Идея синтеза наблюдателя пониженного порядка состоит в использовании тех координат состояния, которые доступны измерению [2].
Для оценки оставшейся части переменных можно построить наблюдатель, порядок которого ниже порядка объекта.
Исходный вектор состояния объекта делится на две компоненты:
где
и
– наблюдаемая часть вектора состояния,
,
– измеряемая часть
вектора состояния.
Перейдем к новому вектору состояния, в котором в качестве измеряемой компоненты используется вектор выхода y:
,
. (15.1)
Преобразуем исходную модель объекта, используя разделение вектора состояния на две компоненты:
(15.2)
Найдем матрицу связи между исходным и новым вектором состояния. Воспользуемся для этого выражением (15.1), предварительно разделив матрицу P на клетки:
Легко показать, воспользовавшись уравнением выхода из системы
уравнений (15.2), что клетки матрицы P принимают значения:
37
()
21 1 22 2
;,
m n m m m
P C R P C R
следовательно, матрица P имеет вид
12
0I
P
CC
нн
1
11 12
2
21 22
н
( 1) ( )
( ),
( 1) ( )
()
( ) .
()
x k x k
B
AA
uk
y k y k
B
AA
xk
y k C
yk
1
A PAP
B PB
1
C CP
н 11 н 12 1
21 н 22 2
( 1) ( ) ( ) ( ),
( 1) ( ) ( ) ( ).
x k A x k A y k B u k
y k A x k A y k B u k
н 11 н 12 1
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )x k A x k A y k B u k L k
()n m m
LR
21 н 22 2
( ) ( 1) ( ) ( )k y k A x A y k B U k
н 11 н 12 1
( 1) ( ) ( ) ( )x k A x k A y k B u k
21 н 22 2
( ( 1) ( ) ( ) ( )).L y k A x k A y k B u k
Запишем уравнения объекта в новом базисе:
.
(15.3)
Матрицы объекта в новом базисе вычисляются по обычной процедуре:
,
,
.
Выведем теперь уравнения наблюдателя и для этого преобразуем
уравнения объекта (15.3):
(15.4)
Уравнение наблюдателя сформируем из первого уравнения системы (15.4):
где
– матрица-корректор наблюдателя, а (k) – невязка,
, (15.5)
которую сформируем, используя второе уравнение системы (15.4):
. (15.6)
Подставим уравнение(15.6) в уравнение (15.5):
(15.7)
38
Соотношение (15.7) и есть математическая модель наблюдателя
н
()xk
( 1)yk
( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)k x k Ly k k x k Ly k
11 н 12 1
21 н 22 2
н
( 1) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( ) ( )),
( ) ( ) ( ).
k A x k A y k B u k
L A x k A y k B u k
x k k Ly k
н н н н
( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)e k x k x k e k x k x k
11 21
( 1) ( )e k A LA e k
11 21 *
det ( )zI A LA C z
пониженного порядка, а
оценка наблюдаемой части вектора со-
стояния, полученная с помощью этого наблюдателя.
Для того чтобы избавиться от
в правой части уравнения
(15.7), введем новую переменную
,
тогда в окончательном виде уравнения наблюдателя принимают вид:
(15.8)
Введем еще одну новую переменную:
.
Эта переменная позволяет записать разностное уравнение наблюдателя
в виде, удобном для поиска параметров корректора:
.
В соответствии с последним равенством можно записать характеристический полином наблюдателя, приравняв который желаемому
характеристическому полиному, получим расчетное соотношение для
вычисления параметров корректора:
.
Задание 15. Рассчитать наблюдатель пониженного порядка для
объекта, математическая модель которого задана разностными уравнениями или передаточной функцией из табл. 15.1, в соответствии с вариантом. Желаемые наборы корней наблюдателя заданы в этой же таблице. Изобразить структурную схему наблюдателя пониженного порядка для заданного объекта, реализованную на звеньях задержки, используя расчетную систему уравнений (15.8), предварительно упростив ее в соответствии с заданным вариантом объекта.
39
Т а б л и ц а 15.1
Номер
варианта
Математическая модель объекта
Желаемый
набор корней
наблюдателя
1
1 1 2 3
2 2 3
3 1 2 3
1
( 1) 0.1 ( ) 0.4 ( ) 0.2 ( ) 0.2 ( )
( 1) 0.3 ( ) 0.5 ( ) 0.1 ( )
( 1) 0.2 ( ) 0.3 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( )
( ) 0.5 ( )
x k x k x k x k u k
x k x k x k u k
x k x k x k x k u k
y k x k
1
2
0,0,
0,15
z
z
2
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
1
( 1) 0.1 ( ) 0.4 ( ) 0.2 ( ) 0.1 ( )
( 1) 0.2 ( ) 0.3 ( ) 0.3 ( ) 0.2 ( )
( 1) 0.1 ( ) 0.2 ( ) 0.1 ( ) 0.1 ( )
( ) ( )
x k x k x k x k u k
x k x k x k x k u k
x k x k x k x k u k
y k x k
1
2
0,0
0,1
z
z
3
2
32
0.4 0.04
( )
0.2 0.6 1.2 0.8
zz
Wz
z z z
1
2
0,0,
0,0
z
z
4
2
32
2 0.6 0.2
( )
0.5 1.5 1.2 1.8
zz
Wz
z z z
1
2
0,0,
0,01
z
z
5
1 1 3
2 1 2 3
3 1 2 3
1 2 3
( 1) 0.2 ( ) 0.4 ( ) 0.2 ( )
( 1) 0.4 ( ) 0.3 ( ) 0.5 ( ) 0.1 ( )
( 1) 0.2 ( ) 0.3 ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( )
( ) ( ) ( ) 2 ( )
x k x k x k u k
x k x k x k x k u k
x k x k x k x k u k
y k x k x k x k
1
2
0,0,
0,05
z
z
6
12
23
3 1 2 3
1 2 3
( 1) ( )
( 1) ( )
( 1) ( ) ( ) ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x k x k
x k x k
x k x k x k x k u k
y k x k x k x k
1
2
0,05,
0,1
z
z
7
2
32
2 0.2 0.12
( )
0.6 1.5 0.8
zz
Wz
z z z
1
2
0,05,
0,1
z
z
40
П р о д о л ж е н и е т а б л . 15.1
Номер
варианта
Математическая модель объекта
Желаемый
набор корней
наблюдателя
8
2
32
0.5 0.2 0.02
( )
0.6 1.2 0.8
zz
Wz
z z z
1
2
0,2,
0,2
z
z
9
1 1 2 3
2 2 3
3 1 2 3
13
( 1) 0.1 ( ) 0.2 ( ) 0.2 ( ) 0.3 ( )
( 1) 0.3 ( ) 0.3 ( ) 0.2 ( )
( 1) 0.2 ( ) 0.4 ( ) 0.5 ( )
( ) ( ) ( )
x k x k x k x k u k
x k x k x k u k
x k x k x k x k
y k x k x k
1
2
0,1,
0,1
z
z
10
1 1 2 3
2 1 3
3 1 2 3
1
( 1) 0.1 ( ) 0.4 ( ) 0.2 ( )
( 1) 0.2 ( ) 0.3 ( )
( 1) 0.1 ( ) 0.2 ( ) 0.1 ( ) 0.1 ( )
( ) ( )
x k x k x k x k
x k x k x k
x k x k x k x k u k
y k x k
1
2
0,0,
0,0
z
z
11
2
32
0.1 0.05 0.02
( )
0.6 1.82 0.8
zz
Wz
z z z
1
2
0,1,
0,1
z
z
12
2
32
0.1 0.03 0.01
( )
0.6 1.82 0.8
zz
Wz
z z z
1
2
0,0,
0,1
z
z
13
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
1 2 3
( 1) 0.1 ( ) 0.2 ( ) 0.2 ( ) 0.3 ( )
( 1) ( ) 0.3 ( ) 0.3 ( )
( 1) 0.2 ( ) 0.4 ( ) 0.5 ( ) 0.2 ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x k x k x k x k u k
x k x k x k x k
x k x k x k x k u k
y k x k x k x k
1
2
0,0,
0,1
z
z
14
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
1
( 1) 0.1 ( ) 0.3 ( ) 0.2 ( ) 0.3 ( )
( 1) 0.2 ( ) 0.5 ( ) 0.6 ( ) 0.1 ( )
( 1) 0.3 ( ) 0.4 ( ) 0.1 ( ) 0.2 ( )
( ) 2 ( )
x k x k x k x k u k
x k x k x k x k u k
x k x k x k x k u k
y k x k
1
2
0,0,
0,1
z
z
15
2
32
0.7 0.1
( )
0.6 0.8 1
zz
Wz
z z z
1
2
0,0,
0,0
z
z
16
2
32
0.3 0.1
( )
0.6 1.2 0.8
zz
Wz
z z z
1
2
0,0,
0,0
z
z
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]