Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Цифровые системы управления. Сборник задач для индивидуальных заданий. Учебное пособие
.pdf
11
О к о н ч а н и е та б л . 2.2
Номер варианта
Система разностных уравнений
15
1 1 2
2 1 2
2
( 1) 0,3 ( ) 0,6 ( ) 0,4 ( )
( 1) 0,3 ( ) 0,1 ( ) 0,7 ( )
( ) 0,5 ( )
x k x k x k u k
x k x k x k u k
y k x k
16
1 1 2
2 1 2
12
( 1) 0,8 ( ) 0,5 ( ) 0,3 ( )
( 1) 0,3 ( ) 0,6 ( ) 0,7 ( )
( ) ( ) 2 ( )
x k x k x k u k
x k x k x k u k
y k x k x k
17
1 1 2
2 1 2
12
( 1) 0,4 ( ) 0,2 ( ) 0,5 ( )
( 1) 0,5 ( ) 0,1 ( ) 0,1 ( )
( ) ( ) ( )
x k x k x k u k
x k x k x k u k
y k x k x k
18
1 1 2
2 1 2
1
( 1) 0,7 ( ) 0,6 ( ) 0,3 ( )
( 1) 0,5 ( ) 0,3 ( ) 0,4 ( )
( ) 1,5 ( )
x k x k x k u k
x k x k x k u k
y k x k
19
1 1 2
2 1 2
1
( 1) 0,7 ( ) 0,3 ( ) 0,5 ( )
( 1) 0,8 ( ) 0,4 ( ) 0,1 ( )
( ) 2 ( )
x k x k x k u k
x k x k x k u k
y k x k
20
1 1 2
2 1 2
12
( 1) 0,6 ( ) 0,2 ( ) 0,3 ( )
( 1) 0,1 ( ) 0,5 ( ) 0,4 ( )
( ) ( ) ( )
x k x k x k u k
x k x k x k u k
y k x k x k
()Wz
1
1 1 0
1
1 1 0
...
( ) ( )
()
( ) ( )
...
n
n
nn
n
b z b z b
y z B z
Wz
u z A z
z a z a z a
ПЕРЕХОД ОТ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
К РАЗНОСТНОМУ УРАВНЕНИЮ
Представим дискретную передаточную функцию
канального объекта в виде отношения полиномов:
ТЕМА 3
для одно-
.
12
От передаточной функции можно перейти к разностному урав-
( ) ( ) ( )y z W z u z
1
1 1 0
1
1 1 0
( ) ( ) ... ( ) ( )
( ) ... ( ) ( )
nn
n
n
n
z y z a z y z a zy z a y z
b z u z b zu z b u z
1 1 0
1 1 0
( ) ( 1) ... ( 1) ( )
( 1) ... ( 1) ( )
n
n
y k n a y k n a y k a y k
b u k n bu k b u k
1 1 0
1 1 0
( ) ( 1) ... ( 1) ( )
( 1) ... ( 1) ( ).
n
n
y k a y k a y k n a y k n
b u k b u k n b u k n
()Wz
Номер варианта
Дискретная передаточная функция
1
2
2
()
23
Wz
zz
2
2
4
()
3 4 5
Wz
zz
3
32
6
()
6 9 12
Wz
z z z
4
32
5
()
3 4 2 3
Wz
z z z
5
2
25
()
32
z
Wz
zz
6
2
23
()
42
z
Wz
zz
7
2
32
2 3 4
()
6 2 5
zz
Wz
z z z
нению:
Задание 3. Перейти от дискретной передаточной функции
заданной в табл. 3.1, к разностному уравнению.
,
Т а б л и ц а 3.1
13
О к о н ч а н и е та б л . 3.1
Номер варианта
Дискретная передаточная функция
8
2
32
6 5 4
()
4 3 2 1
zz
Wz
z z z
9
2
45
()
54
z
Wz
zz
10
2
3
()
2 1.5 4
Wz
zz
11
2
32
0.5 4
()
4 3 5
zz
Wz
z z z
12
2
8
()
2 6 11
Wz
zz
13
2
4
()
2 1.5
Wz
zz
14
2
4
()
3 3.5
z
Wz
zz
15
2
21
()
3 4 5
z
Wz
zz
16
32
1.5
()
3 6 12
Wz
z z z
17
32
5
()
3 6 9
Wz
z z z
18
2
32
()
1.5 0.5
z
Wz
zz
19
2
32
3 2 1
()
4 3 5 1
zz
Wz
z z z
20
2
32
21
()
5 3 2
zz
Wz
z z z
14
ТЕМА 4
1 1 0
10
( ) ( 1) ( 1) ( )
( 1) ( )
n
n
y k n a y k n a y k a y k
b u k n b u k
1 1 0
1 1 0
( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ),
( ) ( 1) ( 1) ( ).
n
n
k n a k n a k a k u k
y k b k n b k b k
12
( ) ( ), ( ) ( 1), .... , ( ) ( 1)
n
x k k x k k x k k n
12
23
0 1 1 2 1
0 1 1 2 2 1 1
( 1) ( ),
( 1) ( ),
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
n n n
n n n n
x k x k
x k x k
x k a x k a x k a x k u k
y k b x k b x k b x k b x k
( ) ( )
n
x k y k
11
1 1 0 0
1
( ) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) ( ) ( ).
( 1)
n n n n
nn
x k n a x k n b u k n
a x k b u k a x k b u k
xk
СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ,
СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
Способ 1. Для перехода от линейного разностного уравнения вида
к системе разностных уравнений первого порядка предварительно
представим заданное разностное уравнение в виде следующих двух
уравнений:
Введем новые переменные состояния:
Систему уравнений в этих переменных состояния получим в виде:
Способ 2. Полагаем
и представим заданное разност-
ное уравнение в виде
.
15
В полученном уравнении сдвинем аргумент назад на один шаг.
2 1 1 1
( 1) ( ) ( ) ( )
n
x k x k a x k b u k
1 0 0
2 1 1 1
1 1 1
( 1) ( ) ( ),
( 1) ( ) ( ) ( ),
( 1) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ).
n
n
n n n n n
n
x k a x k b u k
x k x k a x k b u k
x k x k a x k b u k
y k x k
0
()Wp
0
()
1
()
Wp
z
Wz Ζ
zp
Введем переменную:
.
Процедуру сдвига аргумента и замены переменной выполним n раз.
В новых переменных получим систему из n уравнений первого порядка:
Задание 4. Перейти от приведенного в табл. 2.1 линейного разностного уравнения (в соответствии с заданным вариантом) к системе
разностных уравнений. Изобразить структурную схему системы, реализованную на звеньях задержки.
ТЕМА 5
Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Переход к дискретной передаточной функции разомкнутой системы при шаге дискретизации T осуществляется посредством разложения передаточной функции непрерывной системы
лятором нулевого порядка на ее входе на сумму простых дробей с последующим применением Z-преобразования (табл. 5.1):
с экстрапо-
.
16
Т а б л и ц а 5.1
№ п/п
0
( )/W p p
Z-преобразование
1
1
p
1zz
2
2
1
p
2
( 1)Tzz
3
3
1
p
2
3
( 1)
2!( 1)
T z z
z
4
4
1
p
32
4
( 4 1)
3!( 1)
T z z z
z
5
1
p
,
T
z
de
zd
6
()pp
(1 )
( 1)( )
dz
z z d
7
2
1
()p
2
()
zdT
zd
8
3
1
()p
2
3
()
2!( )
z z d dT
zd
9
22
p
2
sin( )
2 cos( ) 1
zT
z z T
10
22
p
p
2
2
cos( )
2 cos( ) 1
z z T
z z T
11
22
()p
22
sin( )
2 cos( )
zd T
z zd T d
12
22
()
p
p
2
22
cos( )
2 cos( )
z zd T
z zd T d
13
( )( )pp
()
,
( )( )
T
d c z
ce
z d z c
17
О к о н ч а н и е та бл. 5.1
№ п/п
0
( )/W p p
Z-преобразование
14
2
()
p
p
2
[ (1 )]
()
z z d T
zd
15
2
()pp
2
[( 1 ) (1 )]
( 1) ( )
z T d z d Td
z z d
16
2
2
()pp
2
2
[ (1 ) )]
( 1)( )
z z d Td d d Td
z z d
17
()
( )( )
p
pp
[ ( ) ( )]
( )( )
z z d c
z d z c
()Wz
0
()Wp
()Wz
21
1
z
p
Tz
()Wz
Задание 5. Перейти, используя Z-преобразование, от математиче-
ской модели непрерывного объекта, заданной в табл. 1.1, к дискретной
передаточной функции
при заданной величине шага дискретиза-
ции по времени из той же таблицы.
ТЕМА 6
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТАСТИНА
Преобразование Тастина используется для перехода от непрерывной
дующей подстановки:
к дискретной передаточной функции
путем сле-
где T – шаг дискретизации по времени.
Задание 6. Используя преобразование Тастина, перейти от матема-
тической модели непрерывного объекта, заданной в табл. 1.1, к дискретной передаточной функции
дискретизации по времени из той же таблицы. Составить структурную
схему дискретной системы, реализованную на звеньях задержки.
,
при заданной величине шага
18
ТЕМА 7
1 1, ,
i
z i n
i
z
( ) 0Az
1
1
z
( ) 0Az
( ) 0A
1 1 0
10
( ) ( 1) ( 1) ( )
( 1) ( ).
n
n
y k n a y k n a y k a y k
b u k n b u k
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ
Способ 1. Устойчивость дискретных систем анализируется с по-
мощью непосредственной проверки условия
где
– корни характеристического уравнения
дискретной
системы.
Способ 2. Выполняя билинейное преобразование
для характеристического уравнения
лучаем характеристическое уравнение
дискретной системы, по-
с аргументом , для
которого используются методы анализа устойчивости непрерывных
систем, например критерий Гурвица.
Задание 7. Замкнуть объект, математическая модель которого за-
дана разностным уравнением в табл. 2.1, единичной отрицательной
обратной связью и проверить устойчивость замкнутой системы: способом 1; способом 2. Используя билинейное преобразование, найти отображение корней z замкнутой системы на псевдоплоскость .
ТЕМА 8
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ
ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ (ЛИС)
Способ 1. Дискретная система задана линейным разностным урав-
нением:
19
Сдвинем аргумент в исходном разностном уравнении, получим
1 1 0
10
( ) ( 1) ( 1) ( )
( 1) ( ).
n
n
y k a y k a y k n a y k n
b u k b u k n
0k
(0)y
( 1), ( 2),..., ( )y y y n
(0), (1), (2), (3),...u u u u
0, 1, 2, 3,...k
(0), (1), (2), (3),...y y y y
( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k
0
(0) , (0), (1),..., ( 1)x x u u u k
0
20
(1) (0),
(2) (1) (1) (0) (1),
...
x Ax Bu
x Ax Bu A x ABu Bu
0 1 2
( ) ( 1) ( 1)
(0) (1) ... ( 2) ( 1).
k k k
x k Ax k Bu k
A x A Bu A Bu ABu k Bu k
расчетное соотношение
Управляющее воздействие подается на вход объекта в момент времени
, до этого момента оно равно нулю. Для расчета
, как
видно из последнего уравнения, необходимо задать начальные условия, а именно:
,
и последовательность управляющих воздействий
.
Изменяя аргумент в расчетном соотношении
ходим значения выхода
Способ 2. Дискретная система задана исходной системой линейных разностных уравнений
При известных начальных условиях и заданной последовательности управляющих воздействий
процессы в системе рассчитываются на основе исходной системы разностных уравнений:
, на-
.
20
Задание 8.1. Рассчитать и построить переходный процесс в ЛИС,
( ) 1 0, u k k
0,...,5k
( ) 2 0, u k k
0, ...,5k
( 1) ( ) ( ),
( ) ( ).
x k Ax k Bu k
y k Cx k
1
, , ,
n
U B AB A B
11
, ,
n
x R y R u R
det 0U
(0)x
()xn
1
{ ( ) (0)}
n
u U x n A x
T
{ ( 1), , (1), (0)}u u n u u
заданной разностным уравнением из табл. 2.1, в соответствии с вариантом. Заданы нулевые начальные условия,
.
Задание 8.2. Рассчитать и построить траекторию движения изображающей точки на фазовой плоскости ЛИС, заданной системой разностных уравнений из табл. 2.2, в соответствии с вариантом. Заданы
нулевые начальные условия,
.
ТЕМА 9
АНАЛИЗ УПРАВЛЯЕМОСТИ
Матрица управляемости для линейной дискретной системы
имеет следующий вид:
.
Если
ем), то последовательность управляющих воздействий, обеспечиваю-
щих переход системы из состояния
найти по формуле
где
Задание 9. Для объекта, математическая модель которого задана
системой разностных уравнений в табл. 2.2, проверить управляемость
и вычислить управление для перевода данного объекта из заданного
начального состояния в конечное в соответствии с табл. 9.1.
и
(т. е. объект управля-
в состояние
, можно
,
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]