Физика. Электромагнетизм. Оптика. Элементы квантовой механики. Учебное пособие

Проведем вычисления:

F

(р

72 5

dF

0



dl



410 110 410 Н

   

0,35 0,35 м



53

11, 43 10 0,11 10



.

Ответ:

dF

0



dl

0,11 10

Н

3



.

м

Пример 7. Три прямых проводника с

токами расположены параллельно друг другу, как изображено на рис. 23. Про-

водники с токами

I

= 10 А и

1

I

= 30 А

2

бесконечно длинные, а проводник с током

I

= 40 А имеет длину l = 2 м. Расстояние

3

а

между проводниками

а

= 40 см. Определить силу, действую-

2

щую на проводник с током

Дано:

I

= 10 А

1

I

= 30 А

2

I

= 40 А

3

l = 2 м

а

= 0,3 м

1

а

= 0,4 м

2

– ?

F

3

Решение

Для решения поставленной задачи применим принцип суперпозиции сил:

где током ствующая на проводник с током

ис.24).

= 30 см и

1

I

.

3

FF F

33132

– сила Ампера, действующая на проводник с

31

I

со стороны тока

3

Рис. 23

,

I

;

1

– сила Ампера, дей-

32

I

со стороны тока

3

I

2

Рис. 24

41

Модуль силы



F





F



F

косинусов:

F

может быть найден с использованием теоремы

3

331323132

Сила, действующая на участок проводника длиной стороны длинного проводника с током

но первому на расстоянии

22

 . (6.19)

2cosFFF FF

l с током I

*

,I

расположенного параллель-

от него, определяется выражением

d



24II

0



.

l

d

Следовательно, для модулей сил

24II



31



031



где

F

,

l

r

31

raa. (6.21)

31 1 2

32

22

F

и

31



032





имеем:

32

24II

а

, (6.20)

l

2

cos можно найти из пространственного треугольника токов:

а a

cos

22

 

r

31

22

aa

12

. (6.22)



Подставляя выражения (6.20), (6.21) и (6.22) в (6.19), получим:

со

 

Fll



3

 







22



4



22

 

44

0



II II

031 032

22



aa



12

2

Il

3

2

  

IIа

122

22 22

aa aa

12 12

42

a

2



2

a

2







В



В

03



2



IIII

 

22

aa

12





Il

2

1212



2

 

a

2



21

22

()

aa



12

22

aa



12





03

2

а



Il

()()

Ia Ia Ia



22 12 21

2

Выполним проверку по размерности:

Гн

Ам



м

F



3

Вб

2

A



А

 

Вб А Тл м А



мм

2

22 2

Ам ГнА





2

м

TлмА

мм м

Проведем вычисления:



F

3

Ответ:

410 1402

 

F

7

   

 

2 0, 4 0, 09 0,16

9633,3 10 0,96 10 Н

.

3

0,96 10 Н

 .

3



30 0,4 10 0,4 30 0,3

 



73



.



Нс Кл

мН

 

.

Кл м с

22

Пример 8. В магнитное поле, меняющееся по закону

cos

В t



,

где

0

= 0,1 Тл, ω = 4 рад/с, помещена квадратная рамка со стороной

0

a = 50 см, причем нормаль к рамке образует с направлением поля

угол 45°. Определить ЭДС индукции, возникающую в рамке через

5 с.

43

Дано:

В

cos

В t

0

= 0,1 Тл

0

ω = 4 рад/с

a = 0,50 м

 = 45°

t

= 5 c

1



– ?

1

Решение

В замкнутом неподвижном контуре возникает электродвижущая сила при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур (рис. 25). Значение ЭДС определяется законом Фарадея:

()



i

d

t

dt

Рис. 25

Ф

. (6.23)

Магнитный поток, пронизывающий рамку, определяется выражением

Ф cosВS

.

В нашем случае

S а

2

,

45 

,

cos2

2

,

cosВВ t

0

.

Следовательно, зависимость магнитного потока от времени будет задаваться выражением

Ф() ( cos ) cos

t В ta t  

0

2

0

. (6.24)

2

aB

2

Подставляя (6.24) в (6.23), получим

Ф

()

 

i

d

t

dt

Тогда для момента времени

аВ

 

11

t

1

2

0

2

аВ

имеем



2



0

sin



t

.

2

sin

t

.

Выполним проверку по размерности:

22

мТл м Вс

   



1



сс

44

м

.

В

2

Проведем вычисления:





В



0, 25 0,1 4 1,414



1

Ответ:



2

65,4 10 В.



1

sin(4 5) 0,0707 sin(20 рад) 0,0707 0,913



3





 

3

0,0645 65,4 10 В.



Пример 9. На соленоид длиной l = 20 см и площадью поперечного

сечения ид имеет

S = 30

см

надета катушка с числом витков

N

= 320 витков, и по нему течет ток

с

I

= 3 А. Какая средняя

1

к

10N

. Солено-

2

ЭДС индуцируется в надетой на соленоид катушке при изменении тока в соленоиде до

I

= 1 А за время Δt = 1 мс?

2

Дано:

l = 0,2 м

30 10 4 мS 

N

= 10

к

N

= 320

с

I

= 3 А

1

I

= 1 А

2

t = 1·10

Δ



– ?

i

-3

с

Решение

Индукция магнитного поля, создаваемого соленои-

2

дом на его оси:

N

c

 

I

0

. (6.25)

l

Это магнитное поле пронизывает катушку, надетую на соленоид, создавая магнитный поток через ее поперечное сечение:

Ф N

кк

S

. (6.26)

Согласно закону электромагнитной индукции в катушке возникает ЭДС индукции:

Ф

d



i

Среднее значение ЭДС индукции за время Δ

к

. (6.27)

dt

t определяется выра-

жением

t



1

 

ii



t



0

45

. (6.28)

dt

С учетом (6.25), (6.26) и (6.27) получим:

t



Ф

d

1



i



tdt

BB I

22 2

1

  

i



NS

 

()

dNBS dB dI

к

 

tttl

BB I

11 1

N



0c

к

tl



NS NS

кк

II

21i

к

;



0

dt



NNS



 

;

0cк

lt



N

0c

II

21i

;

.

Выполним проверку по размерности:

Гн

2

м





   



м

i

м c сАс

A В.





Гн А В с А

Проведем вычисления:

74



4 10 1320103010

    

     

i

Ответ:

0, 2 10





i

3





3

120,6 10 В.



1 3 12057,6 10 120,6 10 В.

53



Пример 10. Плоский виток провода расположен перпендикулярно

однородному магнитному полю. Когда виток повернулся на угол 180°, по нему прошел заряд 7,2 мкКл. На какой угол повернется виток, если по нему пройдет заряд 1,8 мкКл?

Дано:



1

Q

1

Q

2



2

= 180°

7,2 10

=

1, 8 10

=

– ?

6

Кл

Решение

46

Рис. 26

1. В начальный момент виток неподвижен (рис. 26), поток вектора

В



через плоскость витка

В

Ф

Затем виток повернули на угол

Ф ВS

1

S

0

.

180



1

ФФФ 2ВS  

110

.

В соответствии с законом электромагнитной индукции получим

Ф



 

1

2

ВS

1

tt



. (6.29)

Согласно закону Ома по витку пройдет индукционный ток



1

I

1

. (6.30)



R

По определению электрического тока

где

I

Q

– заряд, прошедший по витку за время t.

1

, (6.31)

1



t

Q

1



Решая совместно систему уравнений (6.29), (6.30), (6.31), получим

QR

BS

2



2. Из начального положения виток повернули на угол

1



=>

tt

Рис. 27

2BS Q R

. (6.31)

1

(рис. 27).

2

I

:

1

Ф cosВS

22

47

.

Следовательно, магнитный поток изменится на величину

B







ФФФ cos (cos 1)ВSBSBS    

220 2 2

Аналогично (6.32) получим

(1 c os )

SQR



22

. (6.33)

Решая совместно систему уравнений (6.32) и (6.33), получим

1cos 2



2

QR

2

QR

1

=>

1cos 2

arccos



2



Q

2

=>

cos

2

Q

1



2

QQ



12



Q



1



.

2

Проверка по размерности очевидна. Проведем вычисления:

7,2 2 1,8 1



2



7,2 2





arccos arccos 60

   

 



.

2

QQ

12

Q

1

.

Ответ:

2

60 

.

Пример 11. Медный провод диаметром d = 1 мм и длиной l =

16 см согнут в виде квадрата, концы его замкнуты. Эта рамка поме-

=

щена в однородное магнитное поле с индукцией

В = 0,2 Тл, так что ее

плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по проволочной рамке при изменении ее формы из квадратной на прямоугольную. Соотношение сторон прямо-

8

угольника 1 : 3. Удельное сопротивление меди

Дано:

3

110d

м

l = 0,16 м l = 4а

В = 0,2 Тл

1

b



3

c

1, 7 10 Ом м

  

Q

– ?

i

8



Решение

По условию задачи проводник сначала согнут в виде квадрата, а затем – в виде прямоугольника. Оценим площадь, ограниченную рамкой, в обоих случаях. Ее периметр не изменился:

422al b c



48

или

 .

l

2



1, 7 1 0 Ом м

2



abc

.

По условию







В

B



1

b

, или

c

3

c



b

.

3

Следовательно,

l

b

8

3

;

l



c

8

l

;

.

a

4

Тогда для площади квадрата имеем

2

l

2

Sa

1

16

Для площади прямоугольника

33

Sbc 

2

ll l

88 64

Согласно закону электромагнитной индукции

Ф

i

, (6.34)

t

21

где

Ф

,

– магнитные потоки через площадь контура в первом и вто-

1

2



i

ФФ Ф



ром случаях.

По условию задачи угол

между n и Bравен нулю, следова-

тельно,

Ф cos

SBSB

11 1

Ф

ВSB

22

3

64

.

2

.

, (6.35)

2

l

, (6.36)

16

2

l

. (6.37)

Решая систему уравнений (6.34), (6.35), (6.36) и (6.37), получим

22 2 2



ФФ

i

21

tt t t

     



3

l l Bl Bl

 

64 16 64 64





49

(3 4)

. (6.38)

Согласно закону Ома

















I

где

– индукционный ток в рамке; R – сопротивление провода рамки.

i

IR

ii

, (6.39)

Сопротивление однородного проводника может быть найдено по формуле

l



R

. (6.40)

S

Площадь поперечного сечения провода:

2

d



S

. (6.41)

4

По определению электрического тока

где

I

i

Q

– заряд, прошедший по рамке за время

i

, (6.42)

t

.

t

Q

i



Подставляя (6.40), (6.41), (6.42) в (6.39), получим

4

lQ

i



i

Приравнивая выражение (6.43) к (6.38), выразим

2

4

Bl

64

lQ



t

2



dt



Q

i





. (6.43)

2



dt

Q

:

i

4

Bl

i

,

64

2

dBl

Q

i



,

2



d

.

256

Выполним проверку по размерности:

222

мТлммТлмВсВсВсА

i

Ом м Ом Ом В



Ом м



50

2

    



Q



сА Кл.