Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебно-методическое пособие по «Математическому анализу». Для бакалавров по направлению подготовки 080100 «Экономика» заочное отделение 2 курс
.pdf
Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и ин-
nxdxxf cos)(
n
n
nn
adxnxnxbnxanxdx
a
1
2
0
)sincoscos(cos
2
,...2,1;cos)(
1
nnxdxxfa
n
,...2,1,sin)(
1
nnxdxxfb
n
,...2,1,0;cos)(
1
nnxdxxfa
n
,...2,1,sin)(
1
nnxdxxfb
n
2
)0()0( xfxf
тегрируем в пределах от - до .
Отсюда получаем:
Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx
и интегрируем в пределах от - до .
Получаем:
Выражение для коэффициента а
является частным случаем для выра-
0
жения коэффициентов an.
Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2, непрерывная на отрезке [-; ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригономет-
рический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье.
Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2 и на
отрезке [-;
рода, и отрезок [-;
] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого
] можно разбить на конечное число отрезков так, что
внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции
f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции
f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна
, т.е. среднему арифметическому предельных значений сле-
ва и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-;].
41
Теорема. Если функция f(x) имеет период 2, кроме того, f(x) и ее про-
2
)0()0( xfxf
четнаяxfdxxf
нечетнаяxf
dxxf
a
a
a
)(,)(2
)(,0
)(
0
,...)2,1,0(cos)(
2
cos)(
1
0
nnxdxxfnxdxxfa
n
,...)2,1(;0sin)(
1
nnxdxxfb
n
1
0
cos
2
)(
n
n
nxa
a
xf
,...)2,1,0(cos)(
2
0
nnxdxxfa
n
1
;sin)(
n
n
nxbxf
,...)2,1(;sin)(
2
0
nnxdxxfb
n
3
)( xxf
изводная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-;] или имеют конечное
число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции
f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сум-
ма равна f(x), а в точках разрыва она равна
. При этом ряд
Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется ку-
сочно – гладкой на отрезке [-;].
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
1)
2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной
функцией.
3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из оп-
ределения четности и нечетности функций.
Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:
Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:
Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:
Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
с
периодом T = 2 на отрезке [-;].
42
Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты
,...)2,1(;sin)(
2
0
nnxdxxfb
n
0
2
0
3
2
3
0
3
cos
3cos2
;
cos
;3
;sin;
sin
2
nxdxx
nn
nxx
n
nx
vdxxdu
nxdxdvxu
nxdxxb
n
0
0
23
2
sin2sin3cos2
;
sin
;2
;cos;
dx
n
nxx
n
nxx
nn
n
n
nx
vxdxdu
nxdxdvxu
;
cos
;
;sin;
sin
6cos2
0
2
3
n
nx
vdxdu
nxdxdvxu
nxdxx
n
n
n
0
0
2
3
coscos6cos2
dx
n
nx
n
nxx
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
nx
nn
n
n
n
2
33
2
0
33
3
212
)1(
cos12cos2sin6cos6cos2
1
2
3
1
3
sin
212
)1(sin
n
n
n
n
nx
n
n
nxbx
1
0
sincos
2
)(
n
nn
x
l
n
bx
l
n
a
a
xf
,...2,1,sin)(
1
,...2,1,cos)(
1
;)(
1
0
nxdx
l
n
xf
l
b
nxdx
l
n
xf
l
a
dxxf
l
a
l
l
n
l
l
n
l
l
Фурье ищем в виде:
Получаем:
.
Ряды Фурье для функций любого периода
Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей
конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:
43
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье
l
n
l
n
n
nxdx
l
n
xf
l
a
dxxf
l
a
x
l
n
a
a
xf
0
0
0
1
0
,...2,1;cos)(
2
;)(
2
;cos
2
)(
,...2,1;sin)(
2
;sin)(
0
1
nxdx
l
n
xf
l
b
x
l
n
bxf
l
n
n
n
имеет вид:
Для нечетной функции:
44
xyyyx 2)(
22
yxxy
1)(
1)0( y
yxyx
)1(
2
xyyy 2sin8124
0)0( y
0)0(
y
x
e
yyy
1
1
23
yx
dt
dy
yx
dt
dx
24
64
432
2
7
2
5
2
3
2
1
Вариант 1
Задание 1
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Задание 2
Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения первого
порядка
Контрольная работа №2
«Дифференциальные уравнения»
Задание 3
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Задание 4
Найти частное решение дифференциального уравнения
.
Задание 5
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольной
постоянной
Задание 6
Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами:
.
, удовлетворяющее начальным условиям:
,
Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристи-
ческого уравнения; 2) записать данную систему и ее решение в матричной
форме.
Задание 7
Материальная точка массой m = 2 г. погружается в жидкость, сила со-
противления которой пропорциональна скорости погружения с коэффициен-
том пропорциональности k = 0,002 кг/с. Найти скорость точки через 1 с. после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.
Задание 8
Найти общий член ряда:
45
Задание 9
1
3
2
3
n n
n
1
!
)1(
n
n
n
1
3
!
)1(
n
n
n
x
n
n
1
0
3
2
dxe
x
)(xyy
2
cos yxy
1)0( y
1)( xxf
);(
222
)1(2)1( xxyyx
yyxy lnsin
ey
2
0)()(2
42
yyyy
Исследовать сходимость числового ряда:
Задание 10
Исследовать сходимость знакопеременного ряда:
Задание 11
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость
на концах интервала сходимости:
Задание 12
Вычислить определенный интеграл
с точностью до 0,001, раз-
ложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав
его почленно.
Задание 13
Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения
творяющего начальному условию
дифференциального уравнения
.
, удовле-
Задание 14
Разложить функцию
в ряд Фурье на интервале
.
Вариант 2
Задание 1
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Задание 2
Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения первого
порядка
Задание 3
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
46
Задание 4
396
2
xxyyy
3
4
)0( y
27
1
)0(
y
x
x
e
e
yy
3
3
1
9
3
yx
dt
dy
yx
dt
dx
32
45
12
0
V
60V
10001
4
1001
3
101
2
11
1
1n
n
n
e
1
1
)1(
n
n
n
Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям:
.
Задание 5
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольной
постоянной
Задание 6
Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами:
Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристи-
ческого уравнения; 2) записать данную систему и ее решение в матричной
форме.
Задание 7
Моторная лодка двигалась в спокойной воде со скоростью
км/ч.
,
На полном ходу ее мотор был выключен, и через 10с скорость лодки умень-
шилась до
км/ч. Сила сопротивления воды пропорциональна скорости
движения лодки. Найти скорость лодки через 1мин после остановки мотора.
Задание 8
Найти общий член ряда:
Задание 9
Исследовать сходимость числового ряда:
Задание 10
Исследовать сходимость знакопеременного ряда:
47
Задание 11
1 )1(
2
n
n
n
x
nn
1
0
cos dxx
)(xyy
2
yey
x
0)0( y
1)(
2
xxf
)2;2(
x
y
yyx ln
xxyy 2sin
2
1
cos
00 y
x2sintgxyy
x
eyy24
0)0( y
0)0(
y
xctgyy 284
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость
на концах интервала сходимости:
Задание 12
Вычислить определенный интеграл
с точностью до 0,001,
разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегриро-
вав его почленно.
Задание 13
Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения
ряющего начальному условию
дифференциального уравнения
.
, удовлетво-
Задание 14
Разложить функцию
в ряд Фурье на интервале
.
Вариант 3
Задание 1
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Задание 2
Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения первого
порядка
Задание 3
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Задание 4
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальным условиям:
,
.
,
Задание 5
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольной
постоянной
48
Задание 6
yx
dt
dy
yx
dt
dx
8
3
смV /400
0
17
мk
с001,0
16
5
8
4
4
3
2
2
1
1
2
1)12(
1
n n
1
2
1
1
!)1(
n
n
n
n
1
)!2(
n
n
n
x
n
n
5,0
0
arctgxdxx
Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами:
Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристи-
ческого уравнения; 2) записать данную систему и ее решение в матричной
форме.
Задание 7
Пуля, двигаясь со скоростью
, ударяется о достаточно тол-
стую стену и начинает углубляться в нее, испытывая силу сопротивления
стены, эта сила сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное
квадрату ее скорости с коэффициентом пропорциональности
скорость пули через
после вхождения пули в стену.
Задание 8
Найти общий член ряда:
Задание 9
Исследовать сходимость числового ряда:
Задание 10
Исследовать сходимость знакопеременного ряда:
Задание 11
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость
на концах интервала сходимости:
. Найти
Задание 12
Вычислить определенный интеграл
с точностью до 0,001,
разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегриро-
вав его почленно.
49
Задание 13
)(xyy
2
yyy
3)0( y
2
)(xxf
);(
3yyx
xx
x
y
y sin
12
y
2
y
1
y xx
x
xeyyy
2
52
1)0( y
0)0(
y
x
xe
yyy12
yx
dt
dy
yx
dt
dx
58
36
Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной
ряд решения
дифференциального уравнения
ряющего начальному условию
Задание 14
Разложить функцию
Задание 1
Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Задание 2
Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения первого
порядка
Задание 3
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Вариант 4
.
в ряд Фурье на интервале
, удовлетво-
.
Задание 4
Найти частное решение дифференциального уравнения
.
Задание 5
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольной
постоянной
Задание 6
Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами:
.
, удовлетворяющее начальным условиям:
,
Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристи-
ческого уравнения; 2) записать данную систему и ее решение в матричной
форме.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]