Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологии использования холода. Физико-технические основы холодильной обработки пищевых продуктов. Учебное пособие
.pdf
(5 0,2 = 25). Применение самой простой формулы уменьшило объем
вычислительной работы в два раза, так как шаг l по оси
22
h
la
2
0,02
2510
ч
0,4
4
и уже после 12 шагов нашли распределение температур для = 4,8 ч,
а после 13 шагов – для = 5,2 ч. Однако точность вычисления была
ниже, чем по (92).
Использование формулы (94), хотя и дало более точные результаты,
но при том же шаге h увеличило объем вычислительной работы по сравнению с применением формулы (92) в 1,5 раза, так как шаг по оси был
2
2
h
равен только
la
ч. Однако следует отметить, что формулой (94)
615
все же желательно пользоваться, так как при этом для достижения одной
и той же точности можно брать h, а следовательно, и l бо´льшими, чем
при использовании всех остальных формул.
В рассмотренном примере метод сеток применен к простейшей задаче об охлаждении бесконечной плоскопараллельной пластины при
краевых условиях первого рода. Если рассматривать охлаждение тел
иной геометрической формы, например цилиндра или шара, то дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид, отличный от
(87), а следовательно, и формулы численного решения задачи будут
иметь вид, отличный от формулы (90). В тех случаях, когда рассматривается охлаждение при более сложных краевых условиях, необходимо
вывести разностные аналоги граничных условий, и для вычисления температуры в узлах, расположенных на поверхности, получится дополнительная формула. Применение метода сеток позволяет также приближенно, но с любой точностью решать и пространственные задачи, и задачи, когда теплофизические характеристики являются переменными.
Заметим также, что при численном интегрировании уравнения теплопроводности начальное распределение температур не влияет на вид расчетных формул, тогда как при точном аналитическом решении, например в задачах о двухступенчатом охлаждении мяса, могут получиться
расчетные формулы настолько сложного вида, что они будут малопригодны для практических расчетов.
В практических расчетах для численного интегрирования уравнения
теплопроводности целесообразно использовать формулы разностных
аналогов краевых условий.
61
Получен ряд формул повышенной точности численного интегрирования уравнения теплопроводности для внутренних узлов сетки. Однако если краевые условия будут заменяться разностными аналогами,
дающими меньшую точность, чем применение для внутренних узлов, то
точность решения будет снижена.
Поэтому, если для внутренних узлов применяется такая точная формула, как (94), то для вычисления температуры в узлах на поверхности,
т. е. при i = 0, рекомендуется применить следующую формулу (рис. 15):
1
TTTfkll
A
3
2()
01
α
h
h
. (95)
λ
λ
Рис. 15. Графическая схема формулы (95)
При этом необходимо, чтобы величина шага по осям определялась
2
h
соотношением
la
.
6
В случаях, когда теплофизические характеристики значительно изменяются с изменением температуры, при интегрировании можно пользоваться следующим набором расчетных формул:
(3) (1) (2)
TrTrTT
ik ik ik ik i k i k
ThrTrThrt
0, 1 0, 0, 0, 1, 0, c
kkkkkk
12λ λ λ
,1 , , , 1, 1,
12λ 2λ 2
,,,
ik ik ik
(2) (2)
k
0,
62
0
,
2
γ
hc
при
lh
min min
2λ
max
.
Здесь введены обозначения:
λλ
ik ik
(1)
λ
,
ik
(3)
λ
ik
,
1, ,
2
λλ
ik ik
,,
2
;
;
63
(2)
λ
,
r
,
ik
λλ
,1,
ik i kik
2
l
2
γ
hc
,,
ik ik
;
.
4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО
СОСТОЯНИЯ
При подмораживании, замораживании и размораживании пищевых
продуктов изменяется агрегатное состояние воды в продукте, и решение
задачи о тепловом состоянии значительно усложняется.
Впервые условие, имеющее место на границе раздела фаз, было дано
И. Стефаном в 1889 г. Приведем вывод этого условия.
Пусть левая поверхность пластины (при x = 0) находится при температуре ниже криоскопической (рис. 16, a) и за время замерзший слой
достиг положения x = , а за время d промерз еще слой толщиной d.
Все величины, относящиеся к замерзшей зоне, отметим индексом 1, а к
незамерзшей – 2.
Количество теплоты, которое передается из зоны 2 через элемент
n
поверхности dF за время d в направлении потока тепла
воположно положительному направлению оси абсцисс) по закону
Фурье, будет
(оно проти-
tt
dQ dFd dFd
22 2
22
λτλ τ
nx
ξ
x x
ξ
. (96)
Количество теплоты, которое выделится при промерзании слоя d,
будет
ργ ξdQ dFd
32
, (97)
где – удельная теплота льдообразования.
64
Все количество теплоты, которое пройдет через замерзший слой в
x
окружающую среду, будет
tt
а б
dQ dFd dFd
11 1
Рис. 16. Распределение температуры в пластине:
а – при промерзании; б – при подмораживании
11
nx
xx
. (98)
Так как
dQ dQ dQ
123
λτλ τργξ
12 2
, то
tt
12
dFd dFd dFd
х x
ξξ
xx
,
или
tt
12
12 2
xx
xd
d
. (99)
Полученная зависимость (99) называется условием Стефана.
Сформулируем теперь задачу о симметричном промерзании плоскопараллельной стенки толщиной 2R (рис. 16, б). Поместив начало координат на левую поверхность пластины (при x = 0) и считая, что на центральной плоскости в начальный момент (при x = 0) будет известно
распределение температур
(, 0) ()tx fx
2
, получившееся, когда на
плоскости x = 0 была достигнута криоскопическая температура (т. е.
при = 0
tt ), получим, что для определения двух температурных
1кр
65
функций
x
x
x
(,τ)tx
1
и
(,τ)tx
(в зонах 1 и 2 соответственно) необходимо
2
решить совместную систему дифференциальных уравнений
cx
cxR
22 2
при начальном условии
граничном условии
условии симметрии
и условиях сопряжения:
21 2
tt
11
11 1
tt
22
2
t
1
x
(ξ,τ) (ξ,τ)tt t; (105)
12кр
2
(0 )
2
2
()
2
(,0) ()tx fx
(0,τ)
tt
1c
λ
1
t
2
x
tt
12
xx
0
xR
, (100)
(101)
, (102)
, (103)
(104)
. (106)
x
Здесь = WL; W – относительное влагосодержание; – относительное количество вымороженной воды; L – удельная теплота плавления льда.
Решение задачи (100)–(106) в общем виде не может быть получено.
Поэтому к ее решению приходится применять приближенные методы,
дающие точность, пригодную для инженерных расчетов. Один из таких
методов заключается в подборе приближенных аналогов температурных кривых. При этом можно получить приближенные зависимости
продолжительности подмораживания от толщины замороженного слоя.
66
Простейшую зависимость продолжительности подмораживания от
x
x
x
толщины замороженного слоя можно получить, если вместо условия
Стефана (105) взять упрощенное условие
t
1
12
x
которое получается из (106), если принять
d
, (107)
d
t
2
, т. е. считать, что в
0
незамерзшей зоне температура t
В замерзшей зоне температуру t
будет постоянной относительно x.
2
считаем изменяющейся по линейному
1
закону:
Так как при этом при любом x
tCxC. (108)
12
1
t
1
получим
При x = t
Ct t
11 c
=
t и поэтому вместо (108) будем иметь
1
кр
tttC
кр 1 c 2
λ
(0,τ)
λ
1
(0,τ) ξ
1
и
tt txt
. (109)
11 c кр
(0,τ) ( ξ)
λ
1
В соотношении (109) полагаем x = 0, так как
лученное уравнение относительно t
(0,τ)
t
1
(0, ), будем иметь
1
ξ
t
c
λ
1
1
λ
, из краевого условия (102)
C
1
.
(0, ).tt
11
t
кр
.
ξ
1
Решая по-
67
Подставляя найденное значение
(0, )t
в (109), получаем искомое
1
распределение температур в замерзшей зоне:
ttx
()(ξ)
кр c
tt
1кр
λ
1
ξ
. (110)
tt
Так как отсюда
t
1
x
кр с
, то условие (107) примет вид
λ
1
ξ
λ( )
tt
1кр с
λ
1
ξ
ργ
ξ
d
.
2
τ
d
Интегрируя это уравнение с разделяющимися переменными при
условии, что = 0, если = 0, получим
ργ ξ
τ
кр c 1
ξ1
2
2λtt
. (111)
При полном замораживании пластины будем иметь
R
ργ
τ
0
tt
кр c 1
R
2λ
1
. (112)
2
Последняя формула и есть широко известная формула Планка, которая была получена им несколько другим путем еще в 1913 г.
Пример 17
Определить время полного промерзания пластины толщиной 2R =
= 0,2 м, если
3
= 1000
кг/м ,
t
= –30 C, крt = –1C, = 20 ккал/(
c
= 1,2 ккал/(
1
2
мчград
), W = 0,7, = 0,8.
2
мчград
По формуле (112) получим
0,7 0,8 1000 80 0,1 0,1 1
0
130 21,2 20
τ 14,2
68
ч.
),
=
2
Аналогичные формулы для шара и цилиндра радиусом R имеют вид:
ργ
R
τ
0
2
3( ) 2λ
tt
кр c 1
1
R
;
τ
0
ργ
2( ) 2λ
tt
кр c 1
R
2
1
R
.
В холодильной технологии уже давно пользуются формулой
Планка, так как она очень проста. Однако для получения расчетных
формул, дающих более точные результаты при холодильной обработке
пищевых продуктов, приходится искать новые решения задач. Один из
возможных примеров решения основан на том, что функции, аппроксимирующие распределение температур в замерзшем и незамерзшем слое,
подставляют в интегральное условие Стефана на границе раздела фаз:
ttt
d
ξ
ργ λ γ γ
21 11 2
dx
τττ
112
x
0
ξ
CdxC dx
0ξ
R
2
.
Тогда формула для определения по толщине будет значительно
сложнее, чем (111):
2ξ
1
τξ
2
2 λ()2λ3λ()
γλ λ λ
C
111 1 1
2
2
1
ln 1 ξ ,
ργ γ λ
211 1
tt Rtt
1кр c 1 1кр c
ξ
λ9λ( )
11крc
C
4γ( )
Ctt
22 ц кр
Rt t
4γ( )
Ctt
22 ц кр
R
33
но точность при ее применении будет больше.
Следует отметить, что при замораживании пищевых продуктов от
криоскопической температуры в центре пластины до заданной более
низкой температуры, например до –20 С, на процесс существенно влияет количество вымороженной воды , которое можно приближенно
определить по формуле
t
кр
ω1
.
t
По этой причине значительно изменяются и такие теплофизические
характеристики, как теплопроводность и теплоемкость. Поэтому один
из возможных подходов к решению задачи состоит в том, что в этом
случае следует применять полуэмпирические формулы.
69
Например, для рыбы можно воспользоваться зависимостями
x
λ1,06
0,5
;
8,89
0,18Ct
.
t
В практике холодильной технологии встречаются с такими ситуациями, когда на противоположных поверхностях подмораживаемого объекта различны температуры, или различны коэффициенты теплоотдачи.
В связи с этим бывает необходимо рассчитать положение подвижной
границы, характеризующей криоскопическую температуру. Значение
времени полного промерзания пластины
при краевых условиях пер-
0
вого рода рассчитывается по формуле
2
2ργ
2
,
2
где
τ
0
λRtt tt
1 кр01 кр02
t
t
и
01
– температуры поверхностей.
02
При краевых условиях третьего рода положение подвижной границы получается при решении квадратного уравнения. Для краевых
условий второго рода при различных переменных тепловых потоках
()q
1
и
()q
время
2
2ργ (τ) (τ) τ
τ
находится из приближенной формулы
0
τ
0
Rqqd
212
0
2λ ( )τ
tt
2н кр 0
R
. (113)
Даже при табличном или графическом задании тепловых потоков
составляется таблица значений интеграла, входящего в (113), для раз-
личных значений
,,,
123
, которая наращивается до тех пор пока
правая часть равенства (с учетом второго слагаемого) не станет равна
левой.
При размораживании условие Стефана записывается несколько
иначе, чем при замораживании. А именно: если индекс 1 отнести теперь
к величинам, соответствующим размороженному слою, а индекс 2 –
к внутренней замерзшей части, то дифференциальное условие Стефана
на границе раздела фаз будет иметь вид
tt
d
ξ
ργ λ λ
21 2
dx x
τ
12
ξξ
70
. (114)
x
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]