Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологии использования холода. Физико-технические основы холодильной обработки пищевых продуктов. Учебное пособие
.pdf
Умножим левую и правую части соотношения (70) на
A
R
R
тем проинтегрируем в интервале [0, R]:
sinirnr
, а за-
RR
sin sin sin .
tr nrdr A nr nrdr
н
00
ikki
1
k
(71)
Таким образом, значения всех интегралов в правой части выражения
(71) равны нулю, кроме значения при k = i. Для вычисления A
получаем
i
формулу
2(sinμμcosμ)
tR
Подставляя значение
(,τ)
tr t e
н
k
н
A
i
μ(μ sinμ cosμ)
ii i i
в (69), находим решение задачи в виде
i
2(sin μ μ cos μ )
μsinμcosμ
1
kkk
При температуре среды, отличной от нуля (
новки
vtt
получим вместо (72)
c
tt
c
tt
нc
ii i
sinμ
kk k
μ
r
k
sin
Ae
k
1
R
k
μ
r
k
.
r
R
μ
k
μFо
k
r
2
k
2
μFо
k
. (72)
0t
), после подста-
c
(73)
,
где введено обозначение
2(sin cos )
A
k
В табл. 3 приведены значения первых трех корней
фициентов
, , AAA
123
для некоторых значений критерия Bi.
kk k
sin cos
kkk
,,
123
и коэф-
41
Пример 13
R
Радиус шара R = 0,10 м,
t
= 35 C,
н
t
= 0 C, = 16 ккал/(
c
= 0,4 ккал/(ч м град), c = 0,8 ккал/(кг град); = 1000
делить температуру шара на поверхности
t
, в центре
п
r = 0,05 м через 4 ч после начала охлаждения ( = 4 ч).
τ
λ
0,0005 м /ч
γaC
2
,
aR
Fo 0,2, Bi 4.
2
λ
2
чм град
3
кг/м . Опре-
и в точке
t
ц
),
Для Bi = 4 из табл. 3 находим
1,2253,A
2
μF
2
10
2
2,4557 0,2
0,29936,ee
μ 2,4557,
1
1,7201,A
1
2
μFо
2
2
5,2329 0,2
0,00418.ee
μ 5,2329,
2
Ограничиваясь двумя членами ряда в (73), вычислим температуру в
точке r = 0,05 м.
μμ
rr
12
sin sin
Θ
AeA e
12
μμ
12
22
μFо μFо
RR
12
rr
RR
откуда 0,3940 =
1,7201 0, 29936
sin(2,4557 0,5)
2,4557 0,5
1,2253 0,00418 0,3940,
sin(5,2329 0,5)
5,2329 0,5
t
и t = 13,8 C.
35
t
Для определения температуры на поверхности
и в центре шара
п
t
ц
можно воспользоваться номограммами (рис. 8 и 9), на которых даны зависимости относительной температуры поверхности и центра шара для
некоторых значений Bi.
На рис. 8 на кривой, соответствующей Bi = 4, находим точку
цисса которой Fo = 0,2. Ордината этой точки
42
A определяет величину
A, абс-
t
A
A
A
= 0,13. Поэтому
п
0,13
кривой, соответствующей Bi = 4, находим точку
Fo
= 0,2. Ордината точки B определяет величину
t
ц
0,5
и
35
= 17,5 С.
t
ц
п
и
35
t
= 4,5 С. Аналогично из рис. 9 на
п
B, абсцисса которой
= 0,5, отсюда
ц
Таблица 3
Bi
1
*
1
2
0 0,0000 1,0000 4,4934 –0,0000 7,7253 0,0000
0,5 1,1656 1,1440 4,6042 –0,2216 7,7899 0,1292
1 1,5708 1,2732 4,7124 –0,4244 7,8540 0,2546
2 2,0288 1,4793 4,9132 –0,7673 7,9787 0,4899
3 2,2889 1,6223 5,0870 –1,0288 8,0962 0,6993
4 2,4557 1,7201 5,2329 –1,2253 8,2045 0,8811
5 2,5704 1,7870 5,3540 –1,3540 8,3029 1,0363
7 2,7165 1,8673 5,5378 –1,5731 8,4703 1,2776
10 2,8363 1,9249 5,7172 –1,7381 8,6587 1,5141
101 3,1105 1,9993 6,2211 –1,9962 9,3317 1,9915
3,1416 2,0000 6,2832 –2,0000 9,4248 2,0000
*
2
3
*
3
Рис. 8. Зависимость относительной температуры поверхности шара
п
от критерия Fo при различных критериях Bi
43
Рис. 9. Зависимость относительной температуры центра шара
от критерия Fo при различных значениях критерия Bi
ц
При определении расхода тепла сначала находится среднеобъемная
температура по формуле (44), которая при переходе к сферическим координатам имеет вид
R
3
(τ) ( ,τ) .
2
rrdr
3
R
0
Подставив вместо (
r, ) его выражение из (73) и проинтегрировав
почленно ряд, получим
c
k
где
B
k
22
μμ Bi
kk
2
6
Bi
2
Bi
tt
tt
нc
.
В табл. 4 даны первые три коэффициента
1
Be
k
2
μFo
k
,
,,BBB
123
для некоторых
значений Bi.
Для условий Fo = 0,2, Bi = 4 вычислим количество теплоты, отданное
единицей объема шара за время охлаждения.
44
Таблица 4
Bi B
0,10 0,9997 0,0001 0,0000 4 0,8829 0,0890 0,0180
0,50 0,9959 0,0034 0,0004 5 0,8533 0,1075 0,0245
1,0 0,9855 0,0122 0,0016 7 0,8068 0,1319 0,0360
2,0 0,9534 0,0380 0,0057 10 0,7667 0,1496 0,0485
3 0,9171 0,0655 0,0115
B2 B3 Bi B1 B2 B3
1
0,6079 0,1520 0,0675
Достаточно взять один член ряда, так как уже второй член содержит
B
малый множитель. Подставляя вместо
и
1
их значения из табл. 3
1
и 4, получим
2
μFo
1
1
0,8829 0,2673; 9,36 СBe e t
Поэтому единица объема шара (
2
2,4557 0,2
V = 1) отдает количество теплоты,
.
равное
1 0,8 1000(35 9,36) 20 510
Q
V
ккал.
2.3. ЦИЛИНДР
Решение дифференциального уравнения (62) для цилиндра (при
Г = 1) не может быть выражено через элементарные функции. Общий
интеграл уравнения
1
2
0yynу
r
имеет вид
где функции
() (),ycJnr cYnr
10 20
()J
0
и
()Y
называются бесселевыми функциями нуле-
0
вого порядка соответственно первого и второго рода.
Функции Бесселя табулированы, и поэтому вычисление выражений,
содержащих эти функции, не представляет затруднений. Заметим,
что функция
Первые три корня этой функции имеют значения:
= 5,5201,
()J
0
= 8,6537.
3
имеет бесчисленное (счетное) множество корней.
45
= 2,4048,
1
=
2
Функция
()J
представляет собой сумму степенного ряда, содер-
0
жащего только четные степени аргумента:
24 6
μμ μ
222222
224246
Функция
(μ) 1 ...
J
0
()Y
значительно сложнее, в ее выражение входит лога-
0
рифм, и поэтому при 0 будем иметь
0
()Y
.
В связи со сказанным решение уравнения теплопроводности (15)
2
a
2
r
1ttt
rr
по формуле (61) будет иметь вид
2
τ
an
(,τ) () (),
tr e AJ nr BY nr
00
(74)
а так как при
нечной, то в уравнении (74) не должна содержаться функция
r = 0 температура для любого значения должна быть ко-
()Ynr
, и
0
поэтому решение принимает вид
2
τ
an
(,τ) ( ).
tr Ae J nr
(75)
0
При определении температурного поля сплошного цилиндра используется функция Бесселя первого порядка первого рода, которая обознача-
ется символом
()J
и связана с функцией
1
() ().JJ
01
()J
зависимостью
0
Эта функция также табулирована, и некоторые ее значения приведены в табл. 5.
Ограничимся приведением некоторых окончательных результатов и
практическим использованием их.
Для определения температуры
t(r, ) любой точки цилиндра беско-
нечно большой длины в любой момент при постоянной температуре
constt
среды
c
при начальных условиях
(, 0)tr t
н
46
(76)
() J1()
0
J0() J1()
J
0,0 +1,0000 +0,0000 3,5 –0,3801 +0,1374
0,5 +0,9383 +0,2423 4,0 –0,3971 –0,0660
0,954 +0,7851 +0,4248 – – –
1,0 +0,7652 +0,4401 4,5 –0,3205 –0,2311
1,2 +0,6711 +0,4983 5,0 –0,1776 –0,3276
1,5 +0,5118 +0,5579 5,5 –0,0068 –0,3414
2,0 +0,2239 +0,5767 6,0 +0,1506 –0,2767
2,4 +0,0025 +0,5202 6,5 +0,2601 –0,1538
2,405 –0,0001 +0,5191 – – –
2,5 –0,0484 +0,4971 7,0 +0,3001 –0,0047
3,0 –0,2601 +0,3391 – – –
и граничных условиях
(,)tR t
(77)
с
решение имеет вид
tt r
tt J R
нc 1
c
2.
k
1
μ(μ)
1
k
2
μFo
k
eJ
k
μ
k
0
(78)
Таблица 5
μ
Так как корни
возрастают довольно быстро, то при не слишком
k
малом значении критерия Фурье можно ограничиться несколькими членами разложения (78), а при достаточно большом Fo (Fo > 0,5) – одним
членом разложения. Тогда получим
так как
J
22
μ(μ) 2,4050,5191
JR
11 1
(2,405) = 0,5191 (см. табл. 5).
1
2
μFo
1
eJ e J
2,405 2, 405
rr
RR
μ
r
1
00
5,783Fo
1,602 ,
eJ
0
47
2
2,405 Fo
(79)
Очевидно, что в общем случае относительная температура явля-
R
R
R
ется функцией только для двух переменных
r
и Fo:
r
, Fo
f
R
и
при проведении расчетов можно, так же как и для пластины, воспользоваться специально составленными для цилиндра номограммами. С помощью этих номограмм можно находить не только значение темпера-
туры по заданным
r
и Fo, но и Fo по заданным
r
и .
Для определения температуры на оси цилиндра необходимо в (78)
подставить
r = 0. Тогда получим
2.
ц
k
1
J
μ(μ)
1
1
kk
e
2
μFo
k
(80)
Среднеобъемная температура определяется по формуле
При расчете температуры
1
k
t(r, ) любой точки цилиндра бесконечно
2
4
μFo
k
.
e
2
μ
k
(81)
большой длины, во всех точках которого температура постоянна и равна
t
в начальный момент времени ( = 0) при охлаждении в среде с посто-
н
янной температурой
t
при начальных условиях
с
(, 0)tr t
н
и граничных условиях
t
r
rR
tR t
[( , ) ]
, (82)
c
решение имеет вид
tt r
tt R
нc
c
1
k
2
μFo
k
Ae J
k
μ
k
0
,
(83)
48
где
А
μ
являются корнями уравнений
k
()
JJ
0
1
() Bi
A
,
2( )
J
1
k
22
JJ
[() ()]
01
kk k
k
.
В табл. 6 приведены значения первых трех корней
,,
АА
фициентов
Bi
0 0,0000 1,0000 3,8317 0,0000 7,0156 0,0000
0,5 0,9408 1,1142 3,9594 –0,1571 7,0864 0,0662
1 1,2558 1,2071 4,0795 –0,2901 7,1558 0,1289
2 1,5994 1,3377 4,2910 –0,4923 7,2884 0,2422
3 1,7887 1,4192 4,4634 –0,6309 7,4103 0,3384
4 1,9081 1,4698 4,6018 –0,7278 7,5201 0,4184
5 1,9898 1,5029 4,7131 –0,7973 7,6177 0,4842
10 2,1795 1,5677 5,0032 –0,9575 7,9569 0,6784
100 2,3809 1,6014 5,4652 –1,0631 8,5678 0,8505
123
2,4048 1,6021 5,5201 –1,0648 8,6537 0,8558
Как видно из табл. 6, корни
для некоторых значений критерия Вi.
1
A
1
2
быстро возрастают, а потому ряд (83)
k
A
2
,,
123
3
и коэф-
Таблица 6
A
3
быстро сходится, если величина Fo не очень мала. Если критерий Fo достаточно велик, то в решении (83) можно ограничиться одним членом
ряда:
(,τ)
tr t
c
tt R
нc
2
μFo
1
Ae J
10
μ
1
r
.
(84)
Пример 14
Имеется цилиндр радиусом R = 0,10 м, Bi = 4,
a = 0,0005
2
м/ч. Вычислить температуру в точке r = 0,05 м через 6 ч
t
= 40 C,
н
t
= 0 C,
c
после начала охлаждения:
τ0,00056
a
Fo 0,3.
2
R
49
0,01
В табл. 6 находим для Bi = 4
Из (84) получим
t
40 2
0,4931 (0,954) 0,4931 0,7851 0,3872,
так как по табл. 5
J
0
J
(0,954) = 0,7851. Поэтому t = 15,5 C.
0
μ 1,9081
1
2
1,9081 0,3
1,4698
eJ
1,4698.A
,
1
1,9081
0
Уравнение для расчета температуры на оси цилиндра (при
r = 0)
имеет вид
ц
k
1
Ae
k
2
μFo
k
.
Для решения задач об охлаждении цилиндра можно также пользоваться номограммами. Для относительной температуры поверхности и
оси цилиндра они показаны на рис. 10 и 11.
Рис. 10. Зависимость относительной температуры поверхности
цилиндра
от критерия Fo при различных значениях
п
Практическое использование этих номограмм поясняется на примерах.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]