Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологии использования холода. Физико-технические основы холодильной обработки пищевых продуктов. Учебное пособие
.pdf
5
x
R
Применяя формулу (37), получим
0,3707
t
, откуда t = 16,1 °С.
35 5
В приведенных примерах с помощью формулы (39) нашли температуру в любом месте пластины по заданному значению времени (Fo).
Между тем в практических расчетах часто приходится решать обратную задачу: определять продолжительность охлаждения , т. е. то
время, по прошествии которого в той или иной точке пластины будет
достигнута заданная температура. Эту задачу можно просто решить
только тогда, когда в разложении (39) можно ограничиться одним первым членом, а остальные члены отбросить из-за их малости. Как показывают вычисления, это будет иметь место при Fo > 0,5.
Действительно, тогда из соотношения
2
πFo
4π
сos
π2
x
4
e
(40)
R
можно найти Fo как явную функцию от и
.
Прологарифмировав обе части равенства (40) и решив полученное
уравнение относительно Fo, получим
44 π
Замечая, что
Fo ln ln cos ln .
4
, модуль перехода от десятичных лога-
2
π
2
π2
π
0,40528
рифмов к натуральным равен 2,3026 и ln
x
(41)
R
4
= 0,10491, получим
π
π
Fo 0,0979 0,9332 lg cos lg .
x
2
R
(42)
Особенно просто найти продолжительность охлаждения центральной плоскости, так как в этом случае x = 0 и lg cos 0 = 0. Тогда вместо
(42) получим
2
R
τ 0,0979 0,9332 lg .
att
21
tt
c
нc
(43)
Следует еще раз подчеркнуть, что формулами, подобными (40)–(43),
R
x
R
R
x
R
можно пользоваться в практических расчетах, когда Fo > 0,5. Когда Fo
мало, эти формулы дают большую погрешность и тогда полезно обратиться к графическим методам.
Для того чтобы каждый раз не проводить громоздких вычислений,
можно воспользоваться графиками, составленными по формуле (39) и
аналогичным ей при любых значениях критерия Fo.
Для задач при различных условиях имеется довольно большой набор
этих графиков, называемых диаграммами или номограммами (Е. Вильямсон, Л. Адамс, Г. Гребер, Г. Пешль, Г. Бахман, Г. Карслоу, И. Егер,
М. Хейслер, Д. Будрин, П. Шнейдер, У. Григулль и др.). Конечно, эти
номограммы не могут дать большой точности, но они вполне пригодны
для решения большинства практических задач.
На рис. 3 показана одна из таких номограмм, взятая из книги
А.В. Лыкова.
Пример 5
Пусть имеется пластина, для которой R = 0,12 м,
t
= 3 C, a = 0,0005
c
2
м/ч. Определить температуру в точке х = 0,06 м
t
= 40 C,
н
через 4 ч после начала охлаждения. Получим
x
0,5
;
На pис. 3 показаны кривые для различных значений величины
По оси абсцисс отложены значения
x
10,5
. На кривой, соответствующей этому значению, находим
Fo
точку А с абсциссой
= 0,14 и графически определяем величину ор-
динаты = 0,65. По формуле (37) получим
0,0005 4
Fo 0,14.
2
0,12
Fo
, по оси ординат – . В примере
3
t
40 3
0,65 ,
1
.
откуда
t = 27 С.
Особенно полезны подобные номограммы для приближенного опре-
деления
Fo пo заданным значениям
и в случаях, когда само Fo
мало (меньше 0,5).
22
R
R
R
x
R
Рис. 3. Зависимости относительной температуры пластины
от критерия Fo при различных значениях величины 1 – x/R
Пример 6
Пусть R = 0,10 м,
t
= 35 C,
н
t
= 0 C, a = 0,0005
c
2
м/ч. Вычислить,
через сколько времени в точке х = 0,07 м температура будет равна 20 С.
Вычисления будем проводить с точностью до двух цифр после запя-
той. Тогда
x
0,70,
x
10,30,
20 0
На кривой для
0,57.
35
x
10,3
мое значение критерия Фурье Fo = 0,073. Поэтому
найдем точку В с ординатой = 0,57. Ее абсцисса и даст иско-
0,073 0,01
τ1,46
ч.
0,0005
На приведенной номограмме показаны кривые, соответствующие
14 значениям параметра
1
. Для промежуточных значений прихо-
дится применять графическое интерполирование, мысленно намечая
промежуточную кривую. Разумеется, что при этом точность решения
понижается.
23
В практических расчетах охлаждения тел определяют среднюю температуру
Q
, которое отдает тело при его охлаждении за некоторый промежу-
V
()t
по всему объему тела V, а также количество теплоты
ток времени.
Если известна температура t как функция координат х, у, z и вре-
()t
мени , то средняя интегральная температура
по всему объему тела
вычисляется по известной теореме о среднем
1
() (, , ,) .
ttxyzdv
V
()
V
Для пластины толщиной 2R при симметричном распределении температур получим
R
ttxdx
1
() (,τ) ,
R
0
(44)
а для средней относительной температуры
R
1
(τ) .
R
0
будем иметь
dx
(45)
Подставив в последнюю формулу вместо ее значение из (39), получим
22
(2 1) π
k
R
4(21)π
π21 2
Rk R
(1)
1
k
0
1
k
edx
Fo
4
kx
cos ,
(46)
и, поскольку
(1)
R
0
1
k
R
(2 1)π 2 (2 1)π
kx R kx
cos sin
0
dx
2(21)π2
Rk R
2(21)π2
Rk R
(2 1)π 2 (2 1)π
kk
sin ,
24
вместо (46) будем иметь
22
(2 1) π
k
81
22
π
1
k
k
(2 1)
e
Fo
4
.
Быстрота сходимости полученного ряда также зависит от величины Fo: члены этого ряда убывают быстрее, чем члены ряда (39). Вычисления показывают, что уже при Fo > 0,l можно ограничиться только
одним членом ряда:
2
πFo
tt
c
tt
нc
8
4
.
e
2
π
(47)
Существует несколько способов определения количества теплоты,
отдаваемой телом при его охлаждении. Воспользуемся одним из них,
основанным на предварительном нахождении среднеобъемной температуры.
Если за время температура элемента объемом dV изменится от
t
0
до t, то этот элемент при охлаждении отдаст количество теплоты, равное
( )с ttdV
0
Общее количество теплоты
.
, отдаваемое телом некоторого ко-
Q
V
нечного объема V, определится по формуле
γ( ),
cttdV
Q
V
()
V
0
что при введении средних интегральных температур по формуле (44)
даст
Q
V
γ( ).
cVt t
Если начальная температура тела
(48)
0
t
была постоянной (
0
t
t
=
н
=
0
= const), то вместо (48) можно написать
Q
V
γ( ).
cVt t
(49)
н
25
Пример 7
Пусть имеется пластина, для которой R = 0,10 м,
= 5 C, a = 0,0005
2
м/ч, = 1000 3кг/м , с = 0,8 ккал/(кг град). Опреде-
t
= 40 C,
н
t
с
=
лить количество теплоты, которое будет отдано телом за 10 ч с момента
начала охлаждения.
Вычислим критерий Фурье:
0,0005 10
Fo 0,5
.
0,01
Теперь найдем среднюю относительную температуру
по фор-
муле (47):
2
πF
0
88
ππ
Поэтому
4
ee e
22
5
t
40 5
0,236
2
0,125π 1,234
0,8106 0,8106 0,2911 0, 2360.
и
13,3 C.t
Так как 31 м ,V то по (49)
общее количество теплоты будет
0,8 1000 1 (40 13,3) 21360 ккал.
Q
V
В холодильной технологии важное значение имеют задачи, в которых известна температура не на поверхности тела, а окружающей
среды
,t
причем
c
t
может быть постоянной в течение всего процесса
c
охлаждения или переменной. Процесс охлаждения характеризуется
конвективным теплообменом между поверхностью тела и окружающей
его средой.
Важнейшим и простейшим законом, описывающим этот теплообмен,
является закон Ньютона. По этому закону количество теплоты dQ, которой
обменивается тело с охлаждающей средой через элемент поверхности dF
за промежуток времени d, можно записать в следующем виде:
где
– коэффициент теплоотдачи;
t
– температура окружающей среды.
с
()τ,dQ t t dFd
пс
t
– температура поверхности тела;
п
26
(50)
По закону сохранения энергии количество теплоты, выражаемое
x
формулой (50), должно равняться тому количеству теплоты, которое
подводится к поверхности по закону Фурье (1).
Приравнивая правые части равенств (1) и (50), получим формулу
t
n
п
().
tt
λ
пс
(51)
Индекс «п» означает, что соотношение (51) справедливо для поверхности тела (граничные условия третьего рода).
Если направить ось абсцисс перпендикулярно поверхностям охлаждаемой пластины толщиной 2R и ввести в рассмотрение частную про-
t
,
изводную
то для левой поверхности пластины краевое условие
третьего рода следует записать в виде
t
x
xR
tR t
(,τ) ,
λ
с
а для правой –
t
x
xR
tR t
(,τ)
λ
.
с
Из краевого условия третьего рода при = получается краевое
условие первого рода.
При = 0 из краевого условия (51) получим
tn
0.
п
Последнее условие характеризует краевые условия второго рода.
Следует отметить, что соотношение (50) не полностью отражает
действительную зависимость количества теплоты от температуры, физических свойств и размеров тел, находящихся в тепловом взаимодействии.
В действительности величина не является постоянной, она зависит
от физических характеристик охлаждающей среды, состояния потока,
омывающего тело, шероховатости поверхности и процесса испарения
27
влаги. Таким образом, надежность результатов расчетов зависит от точности принятого значения коэффициента теплоотдачи . Сочетанием
многочисленных экспериментальных исследований с теоретическими
изысканиями достигнута удовлетворительная для практических целей
точность определения .
Расчет температурного поля охлаждаемой бесконечной пластины,
во всех точках которой в начальный момент ( = 0) температура
constt
н
, сводится к нахождению функции t (x, ), удовлетворяющей
уравнению теплопроводности (9), начальному условию:
(,0)tx t
(52)
н
и граничным условиям третьего рода, записываемым при температуре
0 C
охлаждающей среды
:
t
x
xR
t
x
xR
tR
(,τ);
λ
tR
(,τ).
λ
(53)
(54)
Вместо условия (53) запишем
t
x
00.x
Решаем уравнение (9) таким же способом, как и уравнение (18), для
получения (31):
(55)
(,τ) cos .
tx Ae nx
2
an
Подставляя (55) в условие (54), получаем
22
an an
Ane nR Ae nR
sin cos
,
λ
или
sin cos .
nnR nR
λ
28
R
Приняв обозначения μ, Bi
nR
для определения собственных
λ
характеристических чисел, получим уравнение
μsin μ Bi cos μ ,
или
ctg μ μ.
1
(56)
Bi
Для нахождения приближенных значений корней уравнения (56) по-
строим графики функций
ctg μy и
y
μ
Абсциссы точек пересече-
.
Bi
ния этих графиков и дадут корни уравнения (56) (рис. 4). Для каждого
значения Bi уравнения (56) имеется свое счетное множество вещественных корней:
μμμ μ
1234
...
Рис. 4. Графическое решение уравнения
ctg μBi
μ
Графически приближенное значение какого-либо корня уравнения (56) находится с весьма ограниченной точностью. Его значение
уточняют одним из методов численного решения уравнений. Таблицы
29
корней представлены во многих руководствах по теплопроводности.
A
В частности, в монографии А.В. Лыкова приведена обширная таблица
первых шести корней этого уравнения для сорока значений Bi.
Каждому значению
μ
будет соответствовать функция вида (55):
k
2
τ
an
(,τ) cos ,
tx Ae nx
kk k
k
(57)
которая удовлетворяет и самому дифференциальному уравнению (9), и
граничным условиям (53) и (54).
Составляем ряд из частичных решений (57):
(,τ) cos
tx Ae nx
Для нахождения коэффициента
k
1
2
τ
an
k
kk
k
. (58)
этого ряда воспользуемся
начальным условием (52). Подставив в (58) = 0, получим
tAnx
н
cos
kk
1
k
. (59)
Здесь система функций
cos , cos , cos , ... nx n x n x
123
будет ортогональной в промежутке [–R, R], т. е.
R
cos cos 0
при всех
ij .
Тогда умножая обе части равенства (59) на
nx n xdx
ij
R
cosinx
и интегрируя
почленно в пределах от – R до R, найдем, что все члены ряда обратятся
в нуль, кроме одного (при k = i):
RR
cos cos
tnxdxA nxdx
н
RR
ii i
2
.
Произведя необходимые вычисления, получим
sin sin2
nR nR
tAR
2
ii
н
nn
ii
i
30
2
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]