Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологии использования холода. Физико-технические основы холодильной обработки пищевых продуктов. Учебное пособие
.pdf
x
2. УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
2.1. ПЛАСТИНА С ПОСТОЯННОЙ
ТЕМПЕРАТУРОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Рассмотрим охлаждение однородной пластины толщиной l = 2R с
постоянной начальной температурой
ние всего процесса охлаждения поддерживается нулевая температура.
Определение температуры t(х, ) в последующие моменты сводится
к решению дифференциального уравнения
при начальном условии
t
. На обеих поверхностях в тече-
н
tt
τ
2
a
(18)
2
(,0)tx t
(19)
н
и граничных условиях
(,τ) 0;tR (20)
(,τ)0.tR (21)
Одно из граничных условий (20) или (21) можно заменить:
t
x
(22)
00,x
что соответствует отсутствию теплового потока в средней плоскости
пластины (при х = 0) и соблюдается вследствие симметричности температурного поля.
11
Уравнение (18) решается методом разделения переменных, сущ-
Х
ность которого заключается в том, что решение представляется в виде
произведения двух функций. Каждая из них зависит только от одной переменной:
(,τ) () (τ).tx XxT
(23)
Так как функция t(х,) должна удовлетворять уравнению (18), то,
подставляя ее в уравнение в (23), получают
ТаХТ
или, разделив обе части последнего уравнения на XT, имеют
TaX
TX
.
Левая часть последнего равенства может зависеть от или равняться
постоянному числу, а правая – от х или равняться постоянному числу.
Поэтому левая часть может быть равна правой только в том случае, когда обе они не зависят ни от , ни от х, а равны одному и тому же постоянному числу, которое можно обозначить через – :
TaX
TX
.
ω
Отсюда получим два независимых друг от друга обыкновенных
дифференциальных уравнения. Первое из этих уравнений
T
T
ω
является уравнением с разделяющимися переменными. Переписывая
его в виде
dT
d
τ
T
ω;
dT
T
d
ωτ
и интегрируя, находим
ln ωτ ln ,TC
12
откуда
X
ωτ
(24)
,TCe
где С – произвольная постоянная.
Число не может быть отрицательным, так как иначе с увеличением
времени множитель Т, а следовательно, и температура будут неограниченно возрастать, что противоречит физическому смыслу задачи.
Обозначим =
2
аn , где а – температуропроводность. Тогда вместо
(24) можно записать, что
2
τ.an
TCe
Уравнение
aX
ω
an
2
,
или
2
0,XnX
будучи обыкновенным линейным однородным дифференциальным
уравнением, имеет, как известно, общее решение (содержащее две про-
C
извольные постоянные
C
и
):
1
2
cos sinXC nxC nx
12
.
Перемножив полученные выражения для функций Т и Х и введя для
произвольных постоянных обозначения
СС
1
= А,
СС
= В, получим ре-
2
шение уравнения (9) в виде
2
τ
an
(,τ) ( cos sin ).
tx е AnxBnx
(25)
Функция (25) будет удовлетворять дифференциальному уравнению
(18) при любых значениях постоянных п, А и В, что можно проверить
непосредственной подстановкой (25) в (18). Для определения этих постоянных очевидно, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, необходимо использовать дополнительные условия (19), (20)
и (22).
13
Сначала воспользуемся граничным условием (22). Дифференцируя
x
A
R
R
по х (25), будем иметь
t
2
τ
an
enAnxnBnx
(sin cos).
Полагая x = 0, по условию (22) получим
2
τ
an
0,
eBn
откуда В = 0, и, следовательно, решение (25) примет вид
2
τ
an
(,τ) cos .
tx Ae nx
(26)
Теперь применим условие (20). Полагая в (26) x = R, будем иметь
2
τ
an
0cos.
enR
Произвольная постоянная А 0, так как иначе получили бы так назы-
ваемое тривиальное решение, обращающееся тождественно в нуль. Следовательно,
cos 0.nR
Это уравнение относительно п имеет бесчисленное (счетное) множество корней. Обозначив nR = , получим
(2 1)π
knR
μ,
2
где k = …, –3, –2, –1, 0, 1, 2,…
μ
Каждому значению k будет соответствовать свой корень
(2 1)π
k
μ;
nR
kk
2
n
k
(2 1)π
k
2
, так что
k
и
(2 1) π
ak
ω.
2
an
kk
22
4
2
Числа
лами, а функции
ω
называются собственными характеристическими чис-
k
ω
k
cos cos
nx x
k
– собственными функциями
a
14
задачи. Все различные между собой собственные функции соответ-
A
A
ствуют значениям k = 1, 2, 3,...
Таким образом, можно найти счетное множество функций вида (26):
2
τ
an
( ,τ) cos ( 1, 2,...)
tx Ae nxk
kk k
k
.
Сумма таких решений также будет решением уравнения (18), что является свойством интегралов линейного дифференциального уравнения. Можно показать, что и бесконечный ряд
2
τ
an
(,τ) cos
tx Ae nx
kk k
k
(27)
будет решением ypaвнения (18), если он сходится и его можно почленно
дифференцировать два раза по х и один раз по .
Остается найти коэффициенты
из начального условия (19). По-
k
лагая в (27) = 0, будем иметь
tAnx
н
cos .
kk
1
k
(28)
Для определения коэффициентов
можно воспользоваться мето-
k
дом, применяемым в теории рядов Фурье, а именно умножением обеих
частей равенства (28) на
cosinx
и интегрированием в пределах от 0 до
R, предполагая, что почленное интегрирование полученного ряда допустимо:
RRR
cos cos cos
при всех k
tnxdx A nxnxdx
000
i,
RR
cos cos cos( ) cos( )
00
ikki
н
n x n xdx n n x n n x dx
ki ki ki
sin( ) sin( )
1
2
kk
11
1
2
nnx nnx
ki ki
nn nn
ki ki
15
(29)
R
0,
0
так как
R
А
x
( ) (2 1) (2 1)
nnR k i
ki
π
2
является числом, кратным .
Поэтому из всех членов в правой части равенства (29) останется
только один (при k = i) и формулу (29) можно переписать следующим
образом:
RR R
t nxdx A nxdx nxdx
cos cos (1 cos2 ) .
н
iii i
00 0
2
A
i
2
Вычисляя интегралы, получим
R
sin sin 2
nx A nx
tx
ii i
н
nn
ii
2
0
2
,
0
или
sin
nR AR
t
н
n
i
ii
,
2
откуда
2sin
tnR
н
A
i
nR
ii i
22
tt
i
нн
(2 1)π
i
sin ( 1) .
μ2μ
1
i
(30)
0кончательное решение задачи получим, подставляя значение
22
(2 1) π τ
ak
1
k
4
t
(,τ) cos .
tx e
н
π21 2
k
(1) (2 1)π
kR
1
2
4
R
kx
Если температура на обеих поверхностях равна константе
в (27):
k
(31)
(const)t
c
,
отличной от нуля, то необходимо решить задачу:
tt
τ
2
16
(32)
;
a
2
x
f
x
(,0) ;tx t
(,τ) ;
tR t
(,τ) .
tR t
н
c
c
(33)
(34)
Она может быть сведена к задаче (18)–(22) с помощью подстановки
tt v
.
c
Действительно, вместо (32)–(34) будем иметь:
vv
τ
2
(,0) ;vx t t
;
a
2
с
н
(,τ) 0;vR ( , τ) 0,vR
и решение задачи по (31) будет
22
(2 1) π τ
ka
1
k
kR
1
(,τ) ( ) cos .
tx t t t e
4 ( 1) (2 1) π
cнc
π21 2
k
2
4
R
kx
Если начальная температура непостоянна и является некоторой
частной функцией f(х), вместо формулы (28) получим
() cos ,
xAnx
1
k
kk
вместо (30) –
R
2
Afx dx
k
()cos ,
RR
0
μ
x
k
(35)
и решение при
0t
будет
c
τ
a
2
μ
k
k
2
R
1
2
(,τ) cos ()cos .
tx e f x dx
RRR
R
μμ
kk
0
x
(36)
Как видно из решения (35), температура t(x, ) зависит от начальной
температуры t
, температуры на поверхности
н
t
, толщины пластины 2R,
c
коэффициента температуропроводности а, координаты х и времени .
17
Для облегчения анализа соотношения (35) его приводят к безразмер-
R
R
x
R
ному виду, содержащему наименьшее количество переменных. Для
этого вместо температуры t(x, ) вводят относительную температуру :
(,τ)
tx t
где
– безразмерная величина, причем 0 1.
При = 0 температура пластины во всех точках равна
= 1. С течением времени температура пластины меняется. Причем
и
tt
нc
c
(37)
,
t
, t(x, 0) =
н
t
н
чем больше времени прошло от начала процесса охлаждения, тем ближе
t(х,) к температуре среды
Если , то t(х, )
Если известны относительная температура
t
.
c
t
и 0.
c
, а также
t
t
и
, то по
н
c
(37) легко вычисляется t(х,).
В показателе степени у показательной функции в выражении (35)
находится множитель
τ,a
являющийся безразмерной величиной. Как
2
известно, эта величина называется критерием Фурье и обозначается
символом
τ
a
Fo .
(38)
2
Пример 1
Пусть, например, а = 0,0005
2
м/ч; = 2 ч, R = 0,1 м. Тогда по фор-
муле (38)
0,0005 2
Fo 0,1.
0,01
Если известны
Отношение
Fo
, а и R, то из (38) легко найти .
,
входящее в выражение (35) и являющееся также без-
размерной величиной, называют относительной координатой.
Теперь решение (35) можно записать в виде
22
(2 1) π
k
1
k
4 ( 1) (2 1) π
π21 2
k
kR
1
18
Fo
4
kx
cos ,
(39)
e
и относительная температура будет функцией только двух переменных
x
R
xeR
Fo
и :
x
f
R
.
, Fo
Исследовать зависимость вида (39) проще, чем (35).
Бесконечный ряд (39) является сходящимся. Быстрота сходимо-
Fo
сти этого ряда зависит от величины
. Если Fo велико, то ряд (39)
сходится быстро и для вычисления достаточно взять один-два члена
Fo
ряда. Если
очень мало, то приходится брать несколько (иногда
очень много) членов ряда и решение оказывается малопригодным для
расчетов.
Перепишем формулу (39) в развернутом виде:
22
πFo 9πFo
4π13π
Θcos cos
π232
44
ee
222
25π Fo 49π Fo 81π Fo
15π17π19π
444
eee
527292
xxx
cos cos cos ...
RRR
xx
RR
и рассмотрим несколько примеров.
Пример 2
Вычислить относительную температуру осевой плоскости (x = 0),
если Fo = 0,6.
2
π
Fo
4
ee
0,15π
2
0,2276;
2
9π Fo
4
1,35π
2
0,000 002.ee
Второй член ряда по сравнению с первым очень мал, и поэтому можно
ограничиться одним членом ряда:
2
πFo
4π
Θcos
4
.
π2
19
При x = 0 получим
R
4
Θ 0,2276 0,2897.
π
Если Fo = 0,05, то
2
π
F
o
ee e
22 2
25π Fo 49π Fo 81π Fo
0,045 76, 0,00 237; 0,000 046.
ee e
44 4
44
0,0125 π
2
0,8839; 0,3295;
2
9π Fo
Для решения задачи с точностью до четырех цифр после запятой
следует брать четыре члена ряда.
Пример 3
Вычислим относительную температуру, если 0,5 :
4π13π15π17π
Θ 0,8839cos 0,3295cos 0,04576cos 0,00237cos
π4345 47 4
1,2732 0,7071 0,8839 0,1098 0,0092 0,0003 0,8860.
x
Пример 4
Пусть имеется пластина толщиной 2R = 0,2 м,
t
Коэффициент температуропроводности а = 0,0005
= 35 °С,
н
2
м/ч. Определить
t
= 5 °С.
c
температуру в центре пластины (x = 0) через 10 ч после начала охлаждения.
0,0005 10
Fo 0,5.
0,01
Fo достаточно велико, поэтому можно ограничиться одним членом
ряда
2
0,5
4
4
сos0 1,273 1,273 0, 2912 0,3707.ee
1,2337
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]