Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Технологии использования холода. Физико-технические основы холодильной обработки пищевых продуктов. Учебное пособие
.pdf
Рис. 11. Зависимость относительной температуры оси цилиндра
R
от критерия Fo при различных значениях критерия Bi
Пример 15
Имеется цилиндр радиусом R = 0,10 м,
2
= 16 ккал/(
= 1000
чм град
3
кг/м .
), = 0,4 ккал/(ч м град), c = 0,8 ккал/(кг град),
Найти температуру на поверхности цилиндра
t
= 35 C,
н
t
и в центре
п
2 ч после начала охлаждения.
Вычислим:
τ
λ
a
0,0005 м /ч
cγ
2
,
aR
Fo 0,1, Bi 4.
2
t
= –5 C, =
c
λ
ц
через
t
ц
На рис. 10 на кривой Bi = 4 находим точку
Fo = 0,1. Ордината этой точки
п
35 5
5
t
п
На рис. 11 на кривой Bi = 4 находим точку
5
t
Ее ордината
ц
поэтому
ц
35 5
0,93,
t
0,31,
= 32 C.
ц
A, абсцисса которой
откуда
t
=7,4 C.
п
B с абсциссой Fo = 0,1.
Для тех же условий определить время, в течение которого на поверхности будет достигнута температура
tt
кр c
п
tt
нc
t = –1 C.
кр
51
15
35 5
0,1.
На рис. 10 на кривой Bi = 4 находим точку C с ординатой
Абсцисса этой точки Fo = 0,38. Поэтому
2
Fo
R
τ7,6 ч.
a
Среднеобъемная температура вычисляется по формуле
R
2
(τ) ( ,τ) ,
trtrdr
2
R
0
а после соответствующих преобразований
где
B
k
μμ Bi
tt
2
4Bi
22 2
kk
.
c
tt
нc
k
1
Be
k
2
μFo
k
,
= 0,1.
п
52
M
3. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
МЕТОДОМ СЕТОК
Метод конечных разностей, иначе называемый методом сеток, основан на приближенной замене производных, входящих в дифференциальное уравнение теплопроводности.
Замену производных через разностные отношения можно выполнить следующим образом. Пусть дана функция ( ),
торой показан на рис. 12. Если обозначить через
образован касательной к кривой, проведенной в точке
yfx график ко-
угол, который
i
(, )
xy
ii
Рис. 12. Схема замены производных
разностными отношениями
53
с положительным направлением оси абсцисс, то производная при
x
x
x
A
A
M
x
x
определится по формуле
tg .
y
ii
На кривой возьмем две соседние точки
xxxh
так, чтобы разности
11ii i i
(, )
Ax y
11
ii
(, )
Px y
и
11
ii
были бы достаточно малы.
Тогда угловой коэффициент касательной можно приближенно заменить
угловым коэффициентом секущей
MP или AP, т. е. соответственно при-
нять
y у
1
ii
y
i
h
(85)
,
1
или
yy
11
ii
y
i
h
2
Приближенное значение второй производной
x
при
ной линией
можно получить, если кривую на участке
i
MP , имеющей в точке
.
2
y
i
функции
()yfx
P заменить лома-
два наклона:
i
yyyy y yy
1
y
hh h
В формулах (85) и (86)
1111
iiii i ii
,
1
2
33
, и
стремятся к нулю при
3
2
2
h
.
(86)
0.h
Рассмотрим применение метода сеток для расчета теплового состояния охлаждаемой неограниченной плоскопараллельной пластины толщиной
L с начальным распределением температуры в виде функции
(),fx когда изменение температуры боковых поверхностей описыва-
ется в виде функций
()
и
()
.
Математическая модель задачи при постоянных теплофизических
характеристиках состоит в отыскании функции
(,)tx из дифференци-
ального уравнения теплопроводности:
tt
2
(0 , τ 0)
axL
2
54
(87)
при начальном условии
(,0) ()tx f x
и граничных условиях первого рода
Так как функция
(0, ) ( );t (,) ().tL
t(x, ) зависит от двух переменных x и , рассмот-
рим сетку прямоугольного типа (рис. 13). На оси абсцисс откладываем
отрезок длиной
оси абсцисс обозначим через
L и делим его на n равных частей. Полученный шаг по
h.
Рис. 13. Сетка прямоугольного типа для приближен-
ного решения уравнения теплопроводности
Точки деления (узлы) на оси 0x имеют абсциссы
x = 0; x = h; x = 2h; …, x = nh = L.
По оси ординат отложим значения времени через равные промежутки
l. Проведя через полученные на осях координат точки прямые,
параллельные координатным осям, получим прямоугольную сетку.
Приближенное численное интегрирование уравнения (87) методом
сеток заключается в нахождении приближенного значения функции
каждом узле сетки. Значения
нат и на прямой
x = L, находятся из начального и граничных условий.
t в узлах, расположенных на осях коорди-
55
t в
Обозначим через
x
x
стины
x = ih в момент времени = kl, т. е. в узле, отмеченном на рис. 13
символами i, k.
t истинное значение температуры в точке пла-
,ik
Заменим частную производную
шением по формуле (85):
tt t
, , 1 ,
ik ik ik
τ
а вторую частную производную
2
муле (86):
Здесь через
2
tt tt
, 1, , 1,
ik i k ik i k
22
t
,ik
показано значение
2
h
2
значение
Тогда в узле (
tx
в той же точке.
2
ih, kl) дифференциальное уравнение (87) можно заме-
нить арифметическим соотношением
tt t tt
,1 , 1, , 1,
ik ik i k ik i k
l
εε
a
13
в точке (ih, kl) разностным отно-
τt
ε
, (88)
l
t
в той же точке (
2
1
ih, kl) – по фор-
.
ε
3
t
в точке (ih, kl), а через
2
2
h
,
2
tx
,2ik
–
или
2
al al
где
Ra.
,31
ik
ttttlR
εε
,1 , 1, 1, ,
ik ik i k i k ik
1
22
hh
56
, (89)
Исключив в соотношении (89) остаточный член
ностное уравнение
2
al al
TTTT
,1 , 1, 1,
ik ik i k i k
1()
22
hh
lR , получим раз-
,ik
, (90)
в котором через
t в том же узле (ih, kl).
,ik
T обозначено уже приближенное значение величины
,ik
Формула (90) позволяет вычислять значения T в узлах горизонтального ряда (k + 1) по значениям T, находящимся только в одном предшествующем ряду (k). Поэтому с помощью формулы (90) можно найти значения T в узлах первого горизонтального ряда (при = l) по известным
из начального и граничных условий значениям температуры в узлах самой оси 0x (при = 0).
Определив таким образом значения T в первом ряду, по формуле
(90) находим значения T в узлах второго горизонтального ряда (при
= 2l). Таким же образом можно продолжить расчеты и далее, по-
скольку значения температуры в узлах, расположенных на прямых x = 0
и x = L, будут известны из начальных условий.
Формулу (90) можно переписать в более простой и удобной форме,
если воспользоваться схемой, показанной на рис. 14.
2
al al
1()
TTTT
A
012
22
hh
. (91)
Выбирая различные соотношения между шагами l и h, из формулы
(91) можно получить множество частных формул.
2
h
la
Так, при
3
TT T
2
h
la
при
T
A
102
,
3
4
2
TTT
102
T
A
4
, (92)
57
р
Рис. 14. Графическая схема формулы (91)
2
и вообще при
h
l
a
(2)
TpTT
102
T
Особенно простой вид приобретает формула (91) при
A
p
.
2
h
la
, так как
2
в этом случае первое слагаемое в формуле (91) обращается в нуль,
TT
T
A
12
.
2
Чем больше величина шага l, тем меньше объем вычислений, но при
этом уменьшится точность результатов. Однако теоретические исследования показывают, что увеличивать шаг l можно лишь до определенных
пределов. Прежде всего возникает вопрос о сходимости вычислительного
процесса, который заключается в том, что при h 0 величина
деляемая по формуле (90), будет стремиться к точному решению
что
lim 0
tT
,,
ik ik
0
h
.
T , опре-
,ik
t , так
,ik
Для сходимости вычислительного процесса необходимо, чтобы при
выборе шага для формулы (91) выполнялось условие
2
h
la
. (93)
2
58
При выполнении условия (93) погрешность применения формулы
(91) будет не ниже второго порядка малости относительно h.
2
h
Если принять
la
, формула (91) примет вид
6
4
TTT
102
T
A
6
(94)
.
В этом единственном случае погрешность будет уже четвертого порядка малости относительно h.
Дальнейшее уменьшение шага l вновь снижает точность. Поэтому
формула Микеладзе–Панова (94) является самой точной из всех возможных.
Поясним применение формулы (92) на примере.
Пример 16
Рассмотрим численное решение задачи об охлаждении мясного
t
блока толщиной L = 0,20 м с начальной температурой
Пусть охлаждение происходит в среде с температурой
= 35 C.
н
t
= 5 C кон-
с
тактным способом с двух сторон, так что температура на обеих охлаждаемых поверхностях поддерживается равной температуре среды.
Определить температурное поле мясного блока через 5 ч после начала
охлаждения.
Если считать, что длина и высота блока велики по сравнению с толщиной, то аналитически задачу об охлаждении мясного блока можно
рассматривать как задачу об охлаждении бесконечной плоскопараллельной пластины при краевых условиях первого рода.
Примем коэффициент температуропроводности для мяса равным
2
a = 0,0005
тогда шаг по оси абсцисс будет равен
м/ч. При численном решении разделим L на десять частей,
0,2
h
м. Если начало ко-
0,02
10
ординат поместить в середине пластины, то узлы, в которых необходимо определять температуру, будут иметь абсциссы: –0,10; –0,08;
–0,06; –0,04; –0,02; 0; 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,10 м.
Вычисления проводим по формуле (92), тогда для шага l по оси
получим
22
a
0,02
4510
ч.
0,2
4
h
l
4
59
Результаты вычислений температуры по формуле (92) приведены в
табл. 7 для значений x от 0 до 0,10 м, так как значения температуры в
узлах сетки, симметричных относительно прямой x = 0, будут равны
между собой.
Таблица 7
= 5,0
= 1,4
= 1,2
= 1,0
= 0,8
= 0,6
= 0,4
= 0,2
= 0,0
* Число, взятое в рамку, выражается через подчеркнутые числа следующим
образом:
25,248 24,279 21,446 16,990 11,320 5,000
25,742 24,755 21,864 17,303 11,488 5,000
26,245 25,240 22,294 17,627 11,663 5,000
34,557 33,916 31,444 25,947 16,782 5,000
34,795 34,319 32,231 26,994 17,568 5,000
34,942 34,648 33,037 28,203 18,535 5,000
35,0 34,883 33,828 29,609 19,766 5,000
*
35,0 35,0 34,531
35,0 35,0 35,0
35,0 35,0 35,0 35,0 27,500 5,000
35,0 35,0 35,0 35,0 35,0 5,000
x = 0
(середина)
T
A
x = 0.02 x = 0,04 x = 0,06 x = 0,08
2
TTT
102
44
35,000 2 33,125 23,750
31,250
21,406 5,000
33,125 23,750 5,000
x = 0,10
(поверхность)
31, 250.
Сравнение результатов табл. 7 с теми, которые получаются при точном решении задачи, дает хорошее совпадение. Для пояснения сравним
некоторые значения табл. 7 с теми, которые дает монограмма, показанная на рис. 2.
Для середины пластины и точки, расположенной от поверхности на
расстоянии 0,04 м, через 5 ч после начала охлаждения в табл. 7 приведены значения 25,248 и 16,990 C, в то же время по монограмме найдем
соответственно 25,3 и 17 С.
В примере, имеющем иллюстративный характер, использовалась
формула (92), и для получения значений при = 5 ч при выбранном шаге
h = 0,02 м необходимо провести вычисления температуры в 25 строках
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]