Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Техника и методы аэрофизического эксперимента. Учебник
.pdf
1.2. Условия теплового подобия потоков
43
Pe
Pr
Re
p
Caµ
ν
= = =
λ
Nu (Re; Pe)f=
Nu (Re; Pr)F=
Nu
CV
α
M
,
Re
V cl l
a VL a L L
µρ
= = ≈
ρρ
l
St
p
CV
α
=
ρ
Kn
l
L
=
будут одинаковыми и отношения этих чисел Pe/Re. Отношение этих чисел является критерием Прандтля и обозначается Pr:
.
Иными словами, критерий Прандтля представляет собой величину,
характеризующую отношение количества тепла, выделившегося в результате вязкого трения, к количеству тепла, отведенному в результате
теплопроводности.
В отличие от критериев Re и Pe критерий Прандтля зависит только от
физических свойств среды. Из кинетической теории газов следует:
• для одноатомных газов Pr = 0,67;
• для воздухa и других двухатомных газов Pr = 0,65…0,75;
• для трехатомных газов Pr = 0,85;
• для четырехатомных газов и более Pr = 1,0.
Действительные значения чисел Pr реальных газов несколько отличаются
от этих значений в зависимости от температуры и давления.
Если выполняется условие подобия по критериям Pe и Re, то выполняются необходимые и достаточные условия динамического и теплового подобия в потоках вязкой и несжимаемой жидкости, т. е. будут одинаковы и критерии Nu. В противном случае для геометрически подобных тел
или
.
В ряде случаев из комбинаций критериев подобия также можно получить
физически обоснованный критерий. Рассмотрим, например, комбинации
,
St
= =
RePr
ρ
или
p
где a – скорость звука; c – средняя скорость теплового движения молекул, а
– длина свободного пробега молекул. Таким образом, мы получили критерий
теплового потока Стантона
характеризует четыре области течения в высотных слоях атмосферы:
• сплошная среда, Kn < 10
–2
и критерий Кнудсена
,
, который
• течение со скольжением, Kn ≤ 10–1,
• разреженный газ, Kn ~ 1,
• свободномолекулярное течение, Kn >> 1.
Глава 1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ
44
0
t
0
v
0
l
c
t
c
t
0
t
00
(, , , , , , , , , )
c
fxyz l a gϑ= ϑ µ ρ ρ βv
0
,ttϑ= −
0cc
ttϑ= −
[ ]
град ,
c
ϑ=ϑ =
[ ]
0
м,xyzl= = = =
[ ]
0
м/c ,=v
2
м /c ,a
=
[ ]
кг / c м ,µ= ⋅
3
кг / м ,
ρ=
22
кг / м с градg
ρ β= ⋅ ⋅
Можно было бы продолжить рассмотрение различных критериев подобия. Известен критерий Грасгофа Gr, характеризующий подъемную силу, возникающую в жидкости за счет разности плотностей при естественной конвекции и др. Во всех случаях число критериев меньше числа размерных
параметров, и в этом одно из преимуществ теории подобия.
1.3. Метод размерностей. π-теорема
Необходимой предпосылкой теории подобия является наличие математического описания изучаемого процесса в виде дифференциальных или интегродифференциальных уравнений и условий однозначности. Если же рассматривается новый и сложный процесс, для которого аналитического описания
еще нет, выявление критериев подобия может производиться методом анализа
размерностей. В этом случае необходимо сначала установить полный перечень
физических величин, существенных для данного процесса, т.е. тех величин,
которые должны были бы войти в дифференциальные уравнения и условия
однозначности, если бы математическое описание процесса было известно.
Рассмотрим следующий пример (рис. 1.3). Пусть поверхность твердого
тела омывается несжимаемой жидкостью, температура и скорость которой
вдали от тела постоянны и равны соответственно
и
. Размеры тела
и
другие заданы. Температура поверхности равна
мем
>
. Будем полагать для простоты, что физические параметры жидко-
. Для определенности при-
сти постоянны (учтем только подъемную силу, возникающую в результате зависимости плотности от температуры). Теплота трения не учитывается.
Рассматриваемый процесс является стационарным. Для этой задачи можно
написать следующую функциональную связь между физическими величинами:
Здесь
а
. Определим безразмерные величины. В списке
. (1.1)
величин, существенных для данного процесса, представлено 11 переменных.
Единицы измерений этих величин:
.
1.3. Метод размерностей. π-теорема
45
2n ≥
1m ≥
()nm−
,,LTθ
Число критериев подобия может быть установлено с помощью так называемой π-теоремы, которая доказывается в теории размерностей [5].
Рис. 1.3. Обтекание тела несжимаемой
жидкостью при t
> t0
c
Согласно π-теореме физическое уравнение, содержащее
мерных величин, из которых
величин имеют независимую размер-
раз-
ность, после приведения к безразмерному виду будет содержать
безразмерных величин.
Обычно различают первичные величины с независимой размерностью и
вторичные физические величины, которые определяются косвенным путем,
т.е. являются производными от основных независимых величин. Величины с
независимой размерностью нельзя получить друг из друга. В нашем случае
независимыми друг от друга величинами являются температура, длина, время
и масса. При этом первичная величина, например длина, может быть измерена
в различных единицах измерения: метрах, сантиметрах, миллиметрах и т. п.
Несмотря на то что абсолютное значение измеряемой величины не зависит от
выбора единицы измерения, ее численное значение при этом изменяется. В зависимости от выбора единиц измерения первичных величин изменяются и
числовые значения вторичных, зависимых величин. От выбора единиц измерения не зависят только значения безразмерных величин.
Перейдем в нашем примере к новым единицам измерения первичных ве-
личин. Пусть единицы измерения температуры, длины, времени и массы соответственно в
и M раз меньше прежних. Численные значения размер-
Глава 1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ
46
,,,,
c
xL yL zLϑθ ϑ θ
,,LTθ
,,LTθ
0
1,lL= 1,
c
ϑ θ=
M / 1,TLµ=
3
M / 1.Lρ=
3
0
11 M
, , ,M .
c
L
LT
lL
µ
= θ= = =
ϑρ
2
0
T
l
µ
=
ρ
3
0
1
M.
l=ρ
,,LTθ
00 0
22
000
, , , 1, 1, , 1, , 1, .
//
/
c
c
l gl
xyz a
f
lll
βϑ
ϑ
=
ϑ µρ µρ
µρ
v
/µ ρ=ν
Pr ,
a
ν
=
( )
, , , Re, Pr, FX Y Z Gθ=
ных величин при этом будут равны
. Но физический про-
цесс не зависит от выбора единиц измерения, поэтому исходная функциональная зависимость должна сохранить свою структуру при различных значениях
масштабов
ϑθ = ϑ θ
Выберем масштабы
и M. Поэтому мы можем записать:
f xL yL zL l L
, , , , , , , , ,
00
c
L aL g
v
T T TL
2
µ ρ ρβ
MM M
и M так, чтобы под знаком функции содер-
3 22
L LT
. (1.2)
θ
жалось наименьшее количество величин. Наименьшему количеству переменных отвечают безразмерные переменные. Для уменьшения числа переменных
будем исходить из условий:
Следова-
тельно,
Так как последние два масштаба для Т и М содержат масштабы других
величин, то подставим соответственно в масштаб Т значения масштабов М и L,
а в масштаб М – значения L. Тогда
и
Подставив значения
и M в уравнение (1.2), получим
Так как
и
ϑ
f
=
ϑ νν
c
то
xyz a
, , , , ,
lll
000
vl g l
00 0
v
βϑ
ν
3
c
2
или
.
Аналогичный результат можно получить методом масштабных преобразований математического описания рассматриваемого процесса. Мы же здесь
1.4. Полное и частичное подобие
47
нм
Re ;
VL VL
= =
νν
нм
М;
VV
aa
= =
22
нм
Fr ;
VV
gL gL
= =
нм
S;
VT VT
LL
= =
22
нм
.
VV
VV
′′
ε= =
нм
.LL>
н мн м
,.aaν=ν =
мн
VV>
мн
VV<
нм
VV=
воспользовались π-теоремой. Она весьма полезна для контроля правильности
приведения математической формулировки задачи к безразмерному виду и особенно, когда рассматривается процесс, для которого еще нет математического
описания.
1.4. Полное и частичное подобие
Из теории динамического подобия и размерности следует, что аэродинамические коэффициенты (давления и трения) двух геометрически подобных
тел будут одинаковыми, если при движении этих тел в воздушной среде без
теплоотдачи одновременно выполняются условия подобия Рейнольдса, Маха,
Фруда, Струхаля и равенство степеней турбулентности, т. е.
Обычно в аэродинамическом эксперименте необходимо соблюдать равенство первых трех уравнений или три неизвестные величины: скорость потока, размер модели и одну из физических констант, т. е. ν или a. Иными
словами, надо определить условия эксперимента так, чтобы были выполнены
одновременно условия подобия Рейнольдса, Маха, Фруда. Однако в действительности дело обстоит намного сложнее. Во-первых, натурные объекты имеют во много раз большие размеры, чем это можно экономично осуществить на
моделях, т. е.
аэродинамической трубе, то можно положить
Если при этом сохраняется воздушная среда в натуре и
Выясним, ка-
кова же в этих условиях должна быть скорость потока в аэродинамической
трубе. Нетрудно заметить, что подобие по критерию Рейнольдса выполняется
при
мо, чтобы
. Для выполнения правила подобия по критерию Фруда необходи-
, а для выполнения подобия по числу Маха должно быть
, т. е. скорость в эксперименте должна равняться скорости полета
натурного аппарата. Таким образом, нельзя выбрать скорость для эксперимента с уменьшенной моделью так, чтобы удовлетворить всем трем правилам по-
Глава 1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ
48
добия, поскольку они противоречат друг другу. Это становится особенно невозможным в общем случае, когда необходимо учитывать и силы упругости
модели, и нестационарность потока, и явления теплопередачи.
Итак, полное подобие, т. е. подобие по всем параметрам (Re, Fr, M и др.),
при испытании уменьшенных моделей, вообще говоря, невозможно. Но нет и
практической необходимости иметь в эксперименте полное подобие с натурой.
Дело в том, что не все факторы, для которых мы составили условия подобия,
имеют в каждом эксперименте существенное значение. Если, например, полет
натуры осуществляется с малой скоростью < 100 м/c, то сжимаемостью среды
можно пренебречь и, следовательно, можно не моделировать число Маха. Поэтому на практике осуществляют лишь частичное подобие, т. е. подобие по
одному или нескольким параметрам, наиболее важным в данном эксперименте
или главным для моделирования изучаемого явления.
Таким образом, каждое из правил подобия имеет свою область преимущественного применения. Так, в аэродинамике малых скоростей основное значение имеет правило подобия Рейнольдса, поскольку сопротивление среды в
этих условиях происходит главным образом от сил трения. Силами тяжести,
т. е. критерием Фруда, при этом можно пренебречь. Критерий Рейнольдса ока-
зался важнейшим параметром динамического подобия геометрически подобных систем. Однако при приближении к звуковой скорости сжимаемость становится существенной, и возникает необходимость согласовать числа М
полноразмерного тела и его модели. Они имеют доминирующее значение для
многих дозвуковых и сверхзвуковых задач, т. е. в условиях, когда воздух ведет
себя как идеальный газ. В этом случае подобие критериев Re и М является основным условием моделирования.
Итак, до настоящего времени при моделировании различных явлений в
аэродинамических трубах пока редко удается обеспечить полное подобие даже
при небольших сверхзвуковых скоростях. Ибо для реализации натурных чисел
Re требуются аэродинамические трубы с большими размерами и/или с очень
большими давлениями.
Воспроизведение высоких чисел Re возможно за счет как увеличения линейных размеров, так и увеличения давления. Однако этот соблазнительный
путь помимо технических трудностей имеет два принципиальных ограничения. Во-первых, пограничный слой на малых моделях очень тонок, что затрудняет его диагностику. Во-вторых, малый масштаб линейных размеров приводит к существенной разнице единичных чисел Рейнольдса модели и натуры.
В этом случае трудно моделировать уровень и масштаб возмущений свободного потока.
1.5. Трубы переменной плотности
49
3
2
bF
Nρ= λ
v
v
нм
нм
,
PP
=
ρρ
нм
aa=
нм
VV=
нн мм
нм
LLρρ
=
µµ
нм
µ=µ
нн мм
LLρ=ρ
нм
мн
РL
РL
=
нн мм
PL PL=
1.5. Трубы переменной плотности
В целях расширения диапазона моделирования по числам Re без увеличения размеров рабочей части целесообразно предусматривать возможность
варьировать плотность потока. Сравнивая выражения для мощности на валу
привода трубы
и числа Re в рабочей части
Relρ=
, легко заме-
µ
тить, что при увеличении числа Re за счет скорости мощность растет пропорционально скорости в кубе. А при увеличении числа Re за счет линейных размеров мощность растет пропорционально квадрату линейного размера. В то
же время при увеличении числа Re за счет давления мощность растет прямо
пропорционально плотности. Поэтому для увеличения числа Re всегда выгодней повышать давление. Хотя увеличение давления в трубе усложняет ее конструкцию, но это окупается снижением требуемой мощности. Такие установки
называются трубами переменной плотности. В них можно достигать подобия
модели и натуры по числам Re и M.
В аэродинамических трубах переменной плотности предусматривается
возможность как повышения, так и понижения давления относительно атмосферного. При понижении плотности число Re падает, но в ряде случаев испытания преследуют цель изучить влияние вязкости, поэтому такие качества трубы представляют большую ценность. Особенно важную роль играют трубы
переменной плотности при исследовании совместного влияния чисел Re и М
на аэродинамические характеристики.
В самом деле, при одинаковой температуре в потоках, обтекающих мо-
дель и натуру, имеет место равенство
откуда
и, следова-
тельно,
, т. е. скорость потока в АТ определяется подобием чисел Ма-
ха. Правило подобия Рейнольдса теперь можно переписать в виде
. Но так как для воздуха можно считать, что
следнего равенства вытекает
ниям, получаем
, или
и, переходя от плотностей к давле-
.
, то из по-
Таким образом, для соблюдения в трубе переменной плотности правила
подобия Re одновременно c подобием по числам Маха необходимо, чтобы
Глава 1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ
50
lg Re l
H
=
3
0
к
м
H
=
0
5
к
м
H
=
0
7
к
м
H
=
9
0 к
м
q = 75 кПа
М
20
15
10
5
0
были одинаковыми произведения давления на характерный размер модели.
Однако во многих случаях это условие удается выполнить лишь частично, так
как полное удовлетворение этого правила связано с большой затратой мощности, особенно при около- и сверхзвуковых скоростях потока. Здесь основным
является подобие по числам Маха. Поэтому при сверхзвуковых скоростях создают обычно небольшие АТ с размерами рабочих частей 0,5…1,0 м, в которых правило Рейнольдса выполняется лишь частично, а правило подобия Маха
выполняется полностью.
Рис. 1.4. Область моделирования параметров в трубах ИТПМ:
труба l модели [м]: Т-324 – 0,5; Т-313 – 0, 5; Т-325 – 0,3; Т-326 – 0,12;
Т-327 – 0,11; ИТ-302 – 0,15; АТ-303 – 0,15 и 0,3
В качестве примера на рис. 1.4 приводятся потребные числа Re некоторых натурных летательных аппаратов и области моделирования в аэродинамических трубах ИТПМ СО РАН.
1.6. Моделирование при гиперзвуковых скоростях
51
MconstVT=
0
T
1.6. Моделирование
при гиперзвуковых скоростях
Моделирование при гиперзвуковых скоростях до настоящего времени
остается наиболее нерешенной проблемой. Это прежде всего относится к области параметров, где проявляются эффекты реального газа. При больших гиперзвуковых скоростях, как правило, удается обеспечить лишь частичное подобие. Вопрос состоит в том, насколько адекватна данная степень
моделирования и какой ценой она достигается.
Расширение идеального двухатомного газа до больших чисел М приводит к большим изменениям температуры и давления. Такое расширение характерно для потока в гиперзвуковых трубах и в значительной степени усложняет
задачи, связанные с их эксплуатацией. Статическое давление Р и температура
Т сильно уменьшаются, когда поток ускоряется до гиперзвуковых скоростей
(рис. 1.5). Так как скорость
стей необходимы очень большие значения
Рис. 1.5. Изменение давлений и температур
с ростом числа Маха
, то для достижения больших скоро-
, т. е. высокая энтальпия.
Глава 1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ
52
0
P
0
P
′
0
P
С другой стороны, для воспроизведения давления торможения
при полете с большой скоростью в атмосфере
должно быть очень большим.
или
Иными словами, для моделирования течений с очень большими числами Re и
М требуются очень мощные потоки газа. При этом мощность и температура
растут экспоненциально со скоростью потока. Именно поэтому в таких случаях используют АТ импульсного типа (ударные, импульсные с разрядной камерой и др.) с продолжительностью работы порядка миллисекунд.
Одной из задач моделирования гиперзвуковых условий полета является
разработка методов воспроизведения термокинетических эффектов, которые
проявляются вне области идеального газа, когда V > 1800 м/c. При высоких
давлениях и низких температурах необходимо учитывать межмолекулярные
силы, а при высоких температурах, как известно, возникает колебательное
движение молекул и происходят диссоциация и ионизация воздуха. Для иллюстрации на рис. 1.6 приведена траектория орбитального самолета «Space
Shuttle» – зависимость высоты от скорости полета с областями зарождения и
развития диссоциации кислорода и азота.
Рис. 1.6. Диаграмма высота–скорость с областями диссоциации
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]