Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Техника и методы аэрофизического эксперимента. Учебник
.pdf
1.1. Условия динамического подобия потоков
33
v
v=v v+
′
–
t
v
′
v
–
t
:′v
′
= +vvv
21
tt t∆= −
2
21
tt
τρ
22
22
12
′′
=
vv
vv
1.1.2. Условия подобия сил трения
и сил инерции при турбулентном течении
Как известно, турбулентное течение является всегда течением неустановившимся, и для него, как показано на рис. 1.2, характерны пульсации скорости в каждой точке потока, т.е. изменения скорости во времени.
Рис. 1.2. Изменение скорости во времени
Таким образом, на усредненную скорость v накладываются пульсации
скорости. Поэтому скорость в данной точке потока можно представить в виде
суммы усредненной по времени скорости и пульсирующего добавка
. Математически усредненная скорость в промежутке
dt
v
∫
определяется по теореме о среднем значении
1
=
v
, а усредненное значе-
−
ние пульсационной скорости равно нулю по определению.
Из теории динамики вязкой жидкости следует, что в турбулентном потоке кроме касательных и нормальных усилий между слоями возникают дополнительные силы, вызванные переносом количества движения пульсациями
скорости. Можно показать, что если пульсации скорости не ограничены гра-
2
ницами потока, то
турб
ных потоках в нашем случае можно записать
′
~
. Из равенства коэффициентов трения в подоб-
v
и для дополни-
Глава 1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ
34
22
∞
22
∞
′′
22
12
VV
VV
∞∞
′′
2
22
21
1
1
V V dt
tt
′′
=
−
∫
12
.ε=ε
( )
( )
21 21
22 22
21 21
12
.
gz z gz z
−−
=
−−
vv vv
( )
( )
22
21 21
22 2 22 2
21 21
12
.
zz zz
gL V gL V
LL
VV
−−
=
−−
vv vv
21
zz
L
−
2
22
21
,
V
vv−
2
,
V
gL
22
12
VV
тельных касательных напряжений при турбулентном течении. Так как в подобных потоках скорости пропорциональны, то
вательно, извлекая корень из частей, получим
v
~V
и
=
~V
v
, т.е. корень здесь извлекается не из квадрата, а из инте-
грала от ее квадрата.
Таким образом, условием подобия для сил турбулентного трения и
сил инерции является равенство степени турбулентности, т.е.
2
′
V
∞
ε=
и
V
∞
1.1.3. Условия подобия сил тяжести
и сил инерции
Отношение работ этих сил на единицу веса протекающей жидкости
должно быть одинаковым для сходственных участков струек:
и, следо-
При этом
.
Заменив величины z и v, характерные для данной точки, величинами
L и V для потока в целом и для ограничивающей его поверхности, получим
Вследствие геометрического и кинематического подобия потоков долж-
ны сохраняться одинаковыми отношения
и
поэтому для обес-
печения подобия сил тяжести и сил инерции должны быть одинаковыми в
обоих потоках величины
т. е.
=
.
gL gL
1.1. Условия динамического подобия потоков
35
2
Fr =
V
gL
( )
( )
21 21
22 22
21 21
12
.
11
22
pp pp
−−
=
ρ− ρ−
vv vv
22
21 21
22 2 22 2
21 21
12
p p V pp p p V pp
pp pp
VV
∞∞ ∞∞
∞∞
∞∞
−−−−
=
−−
−ρ −ρ
vv vv
2
22
21
V
∞
−vv
21
.
pp
pp
∞
−
−
22
12
.
22
pp pp
∞∞
∞∞
−−
=
ρρ
vv
Это условие называется условием Фруда, а безразмерное число
– критерием Фруда.
Отношение чисел Фруда для двух потоков, ограниченных геометри-
чески подобными поверхностями, представляет собой отношение сил
инерции к силам тяжести.
1.1.4. Условия подобия сил давления
в несжимаемой жидкости и сил инерции
Отношение работ этих сил должно быть одинаковым на сходственных
участках траекторий:
Если вновь перейти от величин, характерных для данной точки, к вели-
чинам, характерным для всего потока и ограничивающей его поверхности, то
можно записать условие подобия в виде
.
Здесь р – давление на поверхности; p∞ – давление на бесконечности.
В силу кинематического и динамического подобия соответственно долж-
ны быть равны в сходственных точках рассматриваемых потоков величины
и
Следовательно, в случае подобия сил давления должны быть одинаковы-
ми в обоих потоках отношения:
Глава 1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ
36
2
1/2
pp
P
V
∞
∞
−
=
ρ
22
21
,
2g
−vv
( )
( )
( )
2
2 1 21
1
22 22
22
21 21
21
2
22
1.
kds
p p gz z−−
=−− −
−−
ρ−
∫
vv vv
vv
( )
Re, Fr, .Pf= ε
2
22
1122
12
2121
pp
κκ
+=+
κ− ρ κ− ρ
vv
22
21
2
−vv
Это и есть условие подобия сил давления, которое называется усло-
вием подобия Эйлера, а безразмерная величина
называется
коэффициентом давления или числом Эйлера в данной точке.
Если разделить уравнение энергии для несжимаемой жидкости почленно
на
получим
Следовательно, в несжимаемой вязкой среде коэффициент давления P
зависит от чисел Фруда, Рейнольдса и степени турбулентности ε, т. е.
Таким образом, если числа Re, Fr и ε одинаковы в двух потоках, ограни-
ченных геометрически подобными поверхностями, то в сходственных точках
этих потоков будут одинаковыми и коэффициенты давления.
1.1.5. Условия подобия сил давления
в сжимаемой жидкости и сил инерции
Предположим сжимаемую среду идеальной, тепловой процесс – адиаба-
тическим, а силами тяжести будем пренебрегать. Тогда уравнение энергии
можно записать в виде
v
1
+
2g
Здесь
есть работа инерциальных сил, а разность пропорциональна ра-
боте сил давления, приходящейся на единицу веса газа. Если два потока газа
подобны, то отношения этих работ на сходственных участках траектории
должны быть одинаковыми, т. е.
.
1.1. Условия динамического подобия потоков
37
22 22
21 21
21 21
21 21
12
pp pp
−−
=
−−
ρρ ρρ
vv vv
( )
22
21
−vv
2
V
∞
21
21
pp
−
ρρ
,
p
∞
∞
ρ
22
12
.
//
VV
pp
∞∞
∞∞ ∞∞
=
ρρ
2
pa
∞∞
∞
=
ρκ
12
VV
aa
∞∞
∞∞
=
V
a
∞
∞
12
MM
∞∞
=
сж
P
cж
τ
( )
Re;M;Fr; ;PF= ε
( )
Re;M;Fr; .fτ= ε
.
Перейдем от величин, характерных для данной точки, к величинам, ха-
рактерным для всего потока в целом. Вследствие кинематического подобия
потоков разность
давлений и плотностей разность
пропорциональна
, а вследствие подобия полей
пропорциональна
причем
коэффициенты пропорциональности одинаковы для сходственных участков
траекторий. Сокращая эти коэффициенты в обеих частях последнего равенства, получим из него следующее соотношение:
Используя определение скорости звука
и полагая показатель
адиабаты одинаковым для среды 1 и среды 2, получим следующее условие подобия сил давления и сил инерции в сжимаемой среде:
.
Это отношение
обозначается буквой М∞, и, следовательно,
.
Таким образом, число М∞ является не только характеристикой
сжимаемости потока газа, но и критерием динамического подобия для сил
давления и инерции.
Можно доказать, что коэффициент давления
в сжимаемой среде зависят не только от чисел Фруда, Рейнольдса и сте-
пени турбулентности ε потока, но также и от числа М, т. е.
и коэффициент трения
Глава 1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ
38
( )
,,,f xyzt=v
( ) ( )
;;x xt y yt= =
( )
z zt=
d dx dy dz
dt x dt y dt dz dt t
∂∂∂∂
= +++
∂∂ ∂
vv v v v
d
∂ ∂ ∂∂
=+++
v v v vv
12
xyz xyz
xyz xyz
tt
∂∂∂ ∂∂∂
++ ++
∂∂∂ ∂∂∂
=
∂∂
∂∂
vvv vvv
vvv vvv
vv
x
v
y
v
z
v
/VL
1.1.6. Условия подобия сил инерции
при неустановившемся течении
До сих пор рассматривались силы давления, трения, тяжести и инерции в
установившемся потоке. Если же два динамически подобных потока являются
неустановившимися, то кроме перечисленных условий должно выполняться
еще одно условие, имеющее чисто кинематический характер.
В случае неустановившегося движения скорость v в данной точке изменяется с течением времени, следовательно, скорость частицы зависит от коор-
динат X, Y, Z и от времени: t
, т. е. при движении частицы
ной функции находим ускорение частицы:
или
Если два потока 1 и 2 динамически подобны, то отношение величины
инерциальной силы, происходящей от перемещения частицы, к величине нестационарности потока должно быть одинаковым в сходственных точках обоих потоков и в сходственные моменты времени, т. е. должно выполняться равенство
Перейдем от величин, характерных для данной точки, к величинам, характерным для всего потока в целом. Вследствие кинематического подобия
потоков скорости
. По известному правилу дифференцирования слож-
,
vvv
dt x y z t
,
xyz
∂ ∂ ∂∂
,
пропорциональны V, причем коэффициенты
.
.
пропорциональности одинаковы в сходственных точках и в сходственные моменты времени. Вследствие кинематического и геометрического подобия потоков производные от v по координатам пропорциональны
и коэффици-
1.1. Условия динамического подобия потоков
39
xyz
xyz
∂∂∂
++
∂∂∂
vvv
vvv
~
V
tT
∂∂v
12
VT VT
LL
=
VT
L
/S =VT L
енты пропорциональности в сходственных точках и в сходственных моментах
времени одинаковы. Поэтому
~ V2/L.
Выбирая какой-нибудь промежуток времени Т, характерный для рассматриваемого движения, и выражая t∆ через Т с помощью безразмерного коэффициента пропорциональности, одинакового для сходственных моментов
времени, найдем, что
.
Подставляя найденные выражения в исходную пропорцию и сокращая
величины, состоящие из одинаковых коэффициентов пропорциональности,
получаем следующее условие подобия для сил инерции в неустановившемся
потоке:
.
Это условие подобия называется условием Струхаля, а безразмерная
величина
– критерием Струхаля и обозначается через
.
Особое значение критерий подобия Струхаля имеет для периодических
движений в жидкости. Например, для движения, вызванного вращающимся
воздушным винтом с поступательной скоростью V и т.п. В этом случае за характерный промежуток времени принимается период явления, т. е. время одного оборота винта или величина, обратная периоду, – частота n. Если за характерную длину принять диаметр винта D, то условие подобия для
воздушных винтов будет иметь вид S = V/nD и называется коэффициентом
скорости или режимом работы винта. Все характеристики семейства геометрически подобных винтов (коэффициент тяги, коэффициент мощности, КПД)
будут одинаковыми при равных значениях S. Если это не выполняется, то все
характеристики винтов являются функциями числа Струхаля.
даться также подобие аэродинамических сил и сил упругости обтекаемых тел.
Например, при изучении на моделях вибраций крыльев или винтов или
1.1.7. Условия подобия
аэродинамических сил и сил упругости
Иногда кроме подобия сил, действующих в жидкости, должно соблю-
Глава 1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ
40
( )
3( )
12
PP
E
∞
−
ψ=± − ϕ
ϕ−
12
PP PP
EE
∞∞
−−
=
/2
22
12
VV
EE
ρρ
=
2
ρ=V
C
E
в случае, если модель под действием аэродинамических нагрузок деформируется. В этих случаях модель должна быть упругоподобной. Вывод этого условия основывается на выражении для объемного относительного растяжения
или сжатия упругого тела, вызываемого всесторонним давлением (Р – Р∞).
Вспомним из теории сопротивления материалов формулу для величины относительного объемного растяжения или сжатия упругого тела
, где
коэффициент поперечного сжатия (коэффици-
ент Пуассона).
В случае если силы давления в потоке и силы упругости тел подобны, то относительная объемная деформация должна быть одинаковой для
тел, находящихся в потоках 1 и 2. Так как обычно коэффициент Пуассона
можно считать одинаковым для обоих тел, то справедливо равенство
в сходственных точках обоих потоков. Но так как из-
быточные давления в несжимаемой жидкости пропорциональны
2
Vρ
, то
должно также выполняться равенство
,
т. е. модули упругости при растяжении или сжатии Е (модуль Юнга) обо-
их тел должны быть связаны со скоростями потока и плотностью среды.
Это условие подобия Коши, а безразмерная величина
назы-
вается критерием Коши.
Изложенными здесь критериями подобия не исчерпываются все условия
механического подобия, с которыми приходится иметь дело в аэродинамике.
Всякий физический фактор, влияющий на характер протекания явления, определяет соответствующее условие подобия. Рассмотренные критерии динамического подобия потоков позволяют установить, от каких безразмерных параметров зависят аэродинамические коэффициенты для тел данной формы.
В этом их практическое значение. Они являются основой для научно поставленного эксперимента и, кроме этого, позволяют правильно обрабатывать результаты опытов. Таким образом, необходимым и достаточным условием подобия двух явлений является постоянство численных значений безразмерных
критериев.
1.2. Условия теплового подобия потоков
41
,
T
T
dQ dS
n
∂
= −λ
∂
/Tn∂∂
p
CT
,
k np
dQ dSC T= ρv
p
C
( )
α
ср
T
пов
Т
k
dQ
T
dQ
12
()()
ТТ
nn
∂∂
λλ
∂∂
1.2. Условия теплового подобия потоков
Увеличение скорости полета значительно расширяет круг физических явлений, изучаемых аэродинамикой. К таким явлениям относятся
аэродинамический нагрев вблизи поверхности летящего тела и передача
тепла от газа к телу. Законы теплопередачи при больших скоростях движения тела в газовой среде, способы управления потоками тепла и, в
частности способы охлаждения поверхности тела, изучаются наукой, которая называется аэротермодинамикой.
Рассмотрим законы подобия при передаче тепла. Количество тепла,
которое проходит в единицу времени вследствие теплопроводности через
площадку dS соприкосновения двух тел, выражается законом Фурье:
где λ – коэффициент теплопроводности;
– градиент
температуры по нормали к площадке.
Количество тепла, которое проходит в единицу времени вследствие конвекции сквозь площадку в жидкой или газообразной среде, равно произведению массового расхода через эту площадку на количество тепла, заключенное
в единице массы, т. е. на
:
где
– коэффициент теп-
лоемкости при постоянном давлении.
В тех случаях, когда неизвестны поля температур и скоростей вокруг тела, можно воспользоваться другим выражением:
dQ T Т dS=α−
k
ср пов
где
,
= f (природы среды; формы и материала тела; скорости и режима течения) –
коэффициент теплопередачи из эксперимента;
жающей тело;
– температура поверхности в данном месте. Если для двух
– температура среды, окру-
геометрически подобных тел имеет место тепловое подобие, то соотношения
между
и
должны быть одинаковыми в сходственных точках поверх-
ности обоих тел. Следовательно,
α− α−
T Т TТ
ср пов ср пов
=
.
Так как температурные поля подобны, то, вводя характерную разность
температур ∆Т и характерный размер L, можно записать, что
Глава 1. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ
42
( )
ср пов
~,T ТТ−∆
~,
ТT
nL
∂∆
∂
12
LLαα
=
λλ
Nuα=
λ
L
12
pn pn
CT CT
TT
nn
ρρ
=
∂∂
λλ
∂∂
vv
12
рр
VC L VC Lρρ
=
λλ
/ρλ
р
VC L
Pe =
VL
a
λ
а
причем коэффициент пропорциональности одинаков в сходственных точках.
Переходя к величинам, характерным для тела и среды, и сокращая одинаковые
коэффициенты пропорциональности, получаем условие теплового подобия
.
Это условие подобия теплопередачи, а безразмерная величина
называется критерием Нуссельта.
Если температурные поля в двух потоках, обтекающих геометрически
подобные тела, подобны, то должно быть одинаковым в сходственных точках
и отношение количеств тепла, которые проходят через элементарную площадку в единицу времени в результате теплопроводности и конвекции. Это означает, что в сходственных точках должно выполняться равенство
.
Перейдем от величин, характерных для данной точки, к величинам, характерным для тела и потока в целом. Тогда получим условие подобия в виде
.
Безразмерная величина
пературных полей, а критерий подобия
является условием подобия тем-
называется критерием
Пекле.
Здесь
a
=
– коэффициент температуропроводности данного газа.
C
ρ
p
Если в двух потоках, обтекающих геометрически подобные тела, имеет
место подобие температурных и скоростных полей, то для этих потоков одинаковы и числа Пекле, и числа Рейнольдса. Следовательно, для таких потоков
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]