Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы электротехники. Учебно-методическое пособие
.pdf
ЛФ
319 333A.II
Его активная и реактивная мощность:
3 cos 3 380 19 cos15 20 921ВТ;Р UI
ФФ Ф
3 sin 3 380 19 cos15 5605 вар.QUI
ФФ Ф
Суммарные мощности:
Р PPPP
abc
5605 вар;QQ
5500 3300 7700 20921 37 421Вт;
22 2 2
37421 5605 38160 ВА.SPQ
31
1. РЕКОМЕНДУЕМЫЙ ПОРЯДОК РАСЧЕТА
ТОКОВ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
В РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЯХ
Переходный процесс в разветвленной линейной электрической
цепи описывается системой линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами, общее решение которых находится
как сумма принужденной и свободной составляющих. В таких цепях
расчет целесообразно вести в следующем порядке.
0
1. Определяют начальные условия
считывают ток в индуктивности и напряжение на конденсаторе в режиме до коммутации. После этого на основании законов коммутации
находят искомое начальное условие:
00
ii
LL
2. Рассчитывают принужденные составляющие токов переходного
процесса и напряжения на конденсаторе, используя известные методы расчета цепей в установившемся режиме (после коммутации).
3. Находят корни характеристического уравнения данной цепи.
Для этого записывают уравнения Кирхгофа для свободных составляющих токов переходного процесса и производят их алгебраизацию.
Например, для схемы (рис. 22)
i
и
L
00.
uu
CC
0
u
. Для этого рас-
C
Рис. 22
можно записать:
ii i
123
св св св
32
;
0
di
3
св
Lriri
11 2 2
dt
св св
;
0
ri i dt
1
22 3
св св
c
.
0
Подставив в эту систему
di
11св
LLi
dt
11
,
св
idt i
33
св св
cC
,
получим систему алгебраических уравнений относительно токов
ii i
123
св св св
Lri ri
ri
22
,
11 22
св св
i
3
св
0
0
,
св
.
0
C
Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к
системе алгебраических уравнений называют алгебраизацией дифференциальных уравнений свободных токов. Полученная система
уравнений имеет решение, отличное от нуля, если определитель системы равен нулю:
Lrr
111
12
0
0.
1
r
2
C
Уравнение = 0 является характеристическим уравнением цепи.
Раскрывая определитель, получим:
2
212 12
0rLC rrC L r r
,
и корни этого квадратного уравнения
rLC
2
2
4
LC
.
33
1, 2
rrC L rr C L r r r
12 12 1 2 2
2
4. Определяют вид уравнений для свободных составляющих токов
p
А
А
p
переходного процесса.
Если корни
и 3 разные и вещественные, то:
1,2
pt p t
i
св
12
e А e А e
12 3
t
3
.
Если корни кратные:
2
pt
.
Если корни
123
1/
2,3 0
;
i
св
А t А te
12 3
комплексные и сопряженные, 1 ве-
щественный , то:
/
t
iAe t Ae
св
sin
01
t
1
или
pt
i А eA tA te
св
,,ААА постоянные интегрирования.
где
123
1
12030
cos cos ,
/
t
5. Находят значения всех свободных токов и свободного напря-
жения на конденсаторе в момент t = 0
ii i
uu u
00,
св пр
св св пр
00.
6. Находят значения первых производных всех свободных токов в
момент t = 0
7. По данным п. 5 и 6 определяют постоянные интегрирования
дифференциальных уравнений для всех токов цепи.
8. Найденные принужденные и свободные составляющие токов
соответственно складываются, т.е.
.ii i
пр св
9. Производят проверку правильности решения путем составления
уравнения Кирхгофа для любого узла или контура исходной цепи.
34
ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ
R
I
p
L
R
R
K
Задача 1-1.
В схеме на рис. 1-1 . E = 120 В, R1 = R2 = 10 Oм,
L = 10 Мг. Определить токи в цeпи после замыкания ключа К . Построить график зависимости I(t).
i
E
1
2
Рис. 1-1
Решение.
1. Выбираем положительное направление для тока , как показано
на рисунке 1-1 стрелкой.
2. Записываем дифференциальное уравнение на основании закона
Кирхгофа для момента времени после коммутации:
di
IL E
1
dt
.
Представляем искомый ток в виде суммы свободной и принуж-
денной составляющей:
пр cв
.
ii
Записываем характеристическое уравнение и находим его корни:
1
0.RpL
Решение для свободного тока ищем в виде:
iAе Aе
св
tt
1000
.
Находим принужденную составляющую тока переходного про-
цесса:
120
E
iR
пр
10
1
12 А.
35
Находим значение тока переходного процесса в момент t = 0 на
основании первого закона коммутации:
00 6А.
ii
E
RR
12
Определяем постоянную интегрирования A:
012 6, 6.i АА
Записываем окончательное выражение для тока переходного про-
цесса:
1000
t
12 6 .
i е
По полученному уравнению строим график I(t) (рис. 1.2, а).
12
6
t, c
Рис. 1-2, а
Задача 1-2. Решить задачу 1-1 для случая размыкания ключа K.
Построить график зависимости I(t).
Решение.
1. Записываем дифференциальное уравнение на основании закона
Кирхгофа для момента времени после коммутации:
() .
iR R L E
12
di
dt
Представляем искомый ток в виде суммы свободной и принуж-
денной составляющей:
пр cв
.
Ii i
36
Записываем характеристическое уравнение и находим его корни:
p
12
0.RR pL
Решение для свободного тока ищем в виде:
iAeAe
св
tt
2000
.
Определяем принужденную составляющую искомого тока пере-
ходного процесса:
i
пр
E
RR
12
Находим значение тока переходного процесса в момент
6А.
.
t=0 на ос-
новании первого закона коммутации:
00 12А.
ii
E
R
1
.
Определяем постоянную интегрирования A:
06 12А, 6А.i АА
.
Записываем окончательное выражение для тока переходного про-
цесса:
2000
t
66 .
ie
По полученному уравнению для тока i строим график
i (t)
(рис. 1.2, б).
12
6
t, c
Рис. 1-2, б
37
Задача 1-3.Определить ток I в цепи конденсатора (рис. 1-3, а), ес-
R
E K R
R
ли , E=200 V , C=200 Мкф ,R1=R2=10 Ком, Uc=100 V . Построить
графики зависимости .K
i
C
1
2
Рис. 1-3, а
1. Условно принимаем положительные направления для токов и
напряжения на конденсаторе и отмечаем их стрелками.
2. Записываем дифференциальное уравнение на основании второ-
го закона Кирхгофа:
dU
c
iR U E I C
2
.
c
dt
поэтому
dU
c
CUE
2
dt
.
c
3. Представляем напряжение на конденсаторе в виде суммы сво-
бодной и принужденной составляющей.
4. Записываем характеристическое уравнение и находим его кор-
ни:
10.PR C
2
5. Решение для свободной составляющей напряжения на конден-
саторе ищем в виде:
50
t
UAe
св
.
6. Находим принужденную составляющую напряжения на кон-
денсаторе:
200.UE
пр
38
7. Находим значение переходного напряжения на конденсаторе в
момент T = 0 на основании второго закона коммутации:
U
(0) = Uc(0–) = 100 В.
c
8.Определяем постоянную интегрирования А:
200 100, 100.
UAA
c
Записываем уравнение для переходного напряжения:
50
t
200 100
U е
c
.
9. Ток I в цепи конденсатора найдем как
dU
iC l e A
c
65050
2 10 100 50 0,01 .
tt
dt
10. По полученным уравнениям для тока и напряжения строим
графики (рис. 1.3, б).
Uc, В
200
Uc(t)
100
t, c
Рис. 1-3, б
Задача 1-4. Рассчитать ток в цепи конденсатора и напряжение на
конденсаторе через время t = 0.04 после размыкание ключа к для задачи 1-3 .
1. Записываем дифференциальное уравнение на основании закона
Кирхгофа для цепи после коммутации:
dU
c
( ) , ,
iR R U E I C
12
c
dt
39
поэтому
dU
() 0.
RRC U
12
c
dt
c
2. Представляем напряжение на конденсаторе в виде суммы сво-
бодной и принужденной составляющей:
UU U
c
пр св
.
3. Записываем характеристическое уравнение и находим его
корни:
()10.PR R C
12
4. Решение для свободной составляющей напряжения на конден-
саторе ищем в виде:
25.t
UAе
ccb
5. Находим принужденную составляющую напряжения на кон-
денсаторе:
0.UE
пр
6. Находим значение переходного напряжения на конденсаторе в
момент T = 0 на основании второго закона коммутации:
(0) = Uc(0–) = 200 В.
U
c
7. Определяем постоянную интегрирования А:
UAA
0 200, 200.
c
8. Записываем уравнение для переходного напряжения:
25
t
200
U е
c
.
Напряжение на конденсаторе через время t = 0,04 c равно
U е
c
200 73,6 В.
0.04
25 0,04
t
200
е
9. Ток I в цепи конденсатора найдем как
dU
iC ее
c
6502
210 100 1 .50 0,0
tt
dt
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]