Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретическая механика. Учебно-методическое пособие для тестового контроля
.pdf
твердого тела линия действия равнодействующей всех активных сил
должна проходить через неподвижную точку. В противном случае
происходит опрокидывание твердого тела.
Для определения условии, обеспечивающих равновесие твердого
тела с одной неподвижной точкой, к которому приложена плоская
система сходящихся сил, необходимо направить линию действия
равнодействующей активных сил через точку пересечения линий
действия активных сил и неподвижную точку.
Эти же задачи можно решать с помощью теоремы Вариньона,
записанной относительно неподвижной точки. Так как при этом момент
равнодействующей активных сил, проходящих через неподвижную точку,
равен нулю, то сумма моментов всех активных сил, относительно
неподвижной точки также равна нулю:
(11)
Равнодействующая к пространственной системы сходящихся сил
приложена в точке пересечения линий действия слагаемых сил и является
замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на этих
силах, т. е.
(12)
В отличие от соответствующей плоской задачи силовой
многоугольник не является плоским, т. ё. он представляет собой ломаную
пространственную линию.
Проекции равнодействующей силы R из оси декартовых координат
х, у, z равны суммам проекций слагаемых сил на соответствующие оси,
т. е.
(13)
Модуль равнодействующей R равен
(14)
направляющие косинусы даются формулами:
(15)
Для равновесия твердого чела, к которому приложена пространственная система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы
равнодействующая равнялась нулю: R=0, т. е. чтобы силовой
многоугольник был замкнут. При этом уравнения равновесия имеют вид
(16)
Задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более трех (предполагается, что все силы не лежат
на одной прямой или в одной плоскости). Так, если известны направления
всех сил, то можно определить модули трех сил.
21
При решении задач на равновесие твердого тела, находящегося под
действием пространственной системы сходящихся сил, надо выполнить
четыре первых пункта, указанных в начале.
Затем:
убедиться в том, что задача является статически определенной, т. е.
что число алгебраических неизвестных величин не более трех;
выбрать систему осей декартовых координат х, у, z ;
составить уравнения равновесия (5) твердого тела в проекциях на
оси декартовых координат;
8) решить полученную систему уравнений, т. е. определить неиз-
вестные величины.
Если требуется найти равнодействующую пространственной си-
стемы сходящихся сил, то после выполнения первых шести пунктов
следует определить проекции Rx, Ry, Rz равнодействующей R по формулам (2), затем вычислить модуль равнодействующей R и направляющие косинусы по формулам (3), (4).
Начало осей декартовых координат рекомендуется выбрать в точке
пересечения линий действия слагаемых сил, а координатные оси направить параллельно либо перпендикулярно к большинству этих сил.
Иногда при определении проекции силы на координатную ось,
например силы F на ось х, бывает неизвестен угол между осью х и линией
действия силы, но зато задан угол , образованный силой F и
координатной плоскостью ху (рис. 2.12), а также угол между осью
проекций х и проекцией Fxy силы F на координатную плоскость ху. (Не
следует забывать, что, в то время как проекция силы на ось является
алгебраической величиной, проекция силы на плоскость есть вектор.) В
этом случае для определения проекции Fх силы F на ось х надо, вопервых, найти. проекцию Fxv силы F на координатную плоскость ху, а
затем вычислить проекцию вектора Fxv на ось x, т. е.
(17)
Рисунок 2.12
22
Аналогично проекция силы F на ось у имеет вид
(18)
Далее,
Итак, (19)
Не следует смешивать понятия проекции силы на ось и составляющей силы (рис. 2.13), Составляющая силы является вектором, равным
произведению соответствующей проекции силы на орт оси проекций, т. е.
Разложение силы F по ортам осей декартовых координат имеет вид
(20)
Если проекция силы на ось отрицательна, то соответствующая
составляющая силы направлена в сторону, противоположную
положительному направлению этой оси.
Рисунок 2.13
23
3 Примеры решения задач
Задача 3.1. Определить давление цилиндра на горизонтальную
плоскость.
Решение. Рассмотрим равновесие несвободного цилиндра М (рис.
3.1, а). К цилиндру приложены две активные силы: Р — вес, Г — вер-
тикальная сила давления. Вес цилиндра приложен в его центре тяжести
Сн направлен но вертикали вниз. Сила давления совпадает, но
направлению с весом цилиндра.
На цилиндр наложена одна связь — гладкая горизонтальная пло-
скость, препятствующая перемещению цилиндра по вертикали вниз.
Применив закон освобождаемое та от связей, заменам действие горизонтальной плоскости на цилиндр соответствующей реакцией R
(рис. 3.1, б).
Рисунок 3.1
Направим реакцию Rв сторону, противоположную тому
перемещению, которое ограничено горизонтальной плоскостью, т. е. но
вертикали вверх. Теперь данное несвободное твердое тело можно
рассматривать как тело свободнее, к которому приложены активные силы
Р и R и реакция горизонтальной плоскости R. Эти три силы лежат на одной прямой.
Если все слагаемые силы лежат на одной прямой, то вершины силового многоугольника сказываются расположенными на той же прямой.
Изобразим вектор, равный силе Р, поместив его начало и произвольной точке. Из конца его, то есть из точки А, проведем вектор, равный
силе F. В конце его, то есть в точке В, находятся начало вектора R
(рис. 3.1, в).
Так как при равновесии твердого тела сумма сил Р, F и R должна
быть равна нулю, то коней вектора R должен совпасть в точке О с
началом первой слагаемой силы Р (на рис. в для ясности изображения
линии действия сил Р и F в силы R несколько смещены друг относительно
24
друга). Как следует из рис. в R = Р+F. Подставив численные значения,
подучим R=70 кГ.
Давление твердого тела на горизонтальную плоскость равно по
модулю реакции R этой плоскости и направлено ей противоположно, т. е.
по вертикали вниз.
Задача 3.2. Однородный шар весом Р = 20 кг опирается в точке А на
гладкую наклонную плоскость, образующую угол = 60° с горизонтом, а
в точке В на выступ, находящийся на одной горизонтали с точкой А.
Определить опорные реакции наклонной плоскости и выступа.
Решение. Рассмотрим равновесие шара. К шару приложена одна
активная сила — его вес Р, направленный по вертикали вниз. Шар
находится в равновесии при наличии двух связей: наклонной плоскости и
выступа. Применив закон освобождаемости, заменим действие на шар
мысленно отброшенных связей соответствующими реакциями. Реакция
RA гладкой наклонной плоскости направлена к ней перпендикулярно. В
точке В проведен касательную (рис. 3.2, б) и направим опорную реакцию
перпендикулярно к касательной. Следовательно, линия действия RB
проходят через центр тяжести шара С.
Рисунок 3.2
Теперь можно рассмотреть шар как свободное твердое тело, находящееся в равновесии под действием плоской системы трех сил: Р, RА
и RB, линии действия которых пересекаются в точке С. Для равновесия
шара необходимо и достаточно, чтобы сумма эхах трех сил равнялась
нулю. Поэтому силы образуют замкнутый силовой треугольник.
25
Построение силового треугольника начнем с силы Р, известной как
по величине, так и по направлению. Из произвольной точка О (рис. 3.2, в)
проведем вектор, который равен силе Р.К концу силы Р надо приложить
начало силы RА или RB. Выбираем в качестве следующей стороны
силового треугольника реакцию выступа RB. Так как направление силы
RB известно, то проведем через точку А прямую АК, параллельную
линии действия реакции RB. Для последующего построения силового
треугольника надо к концу RВ приложить начало силы RА. Сделать это
невозможно, так как модуль силы RB неизвестен. Несмотря на возникшее
затруднение, построение силового треугольника можно успешно
завершить. Следует учесть, что при равновесии шара силовой
треугольник должен быть замкнут. При этом конец вектора реакция RА
должен совместиться с началом вектора силы Р, т, е. попасть в точку О.
Поэтому проведем через точку О прямую OL, параллельную линий
действия силы RА. Точка В пересечения прямых АК и OL определяет
положение третьей вершины В силового треугольника ОАВ. В
построенном силовом треугольнике должно иметь место единое
направление стрелок, т. е. в каждой из вершин треугольника должен быть
расположен копен только одной на трех сил.
Для определений модулей опорных реакций RА в RB остается
решить силовой треугольник ОАВ. Нетрудно видеть из рис. в, что углы,
образованные линией действия силы Рс линиям» действия реакций RА в
RB равны 60˚, таким образом, силовой треугольник оказывается
равносторонним и, следовательно, RA — RB = Р= 20 кГ.
Если бы при построении силового треугольника мы к концу силы Р
приложили начало силы RА(а не RB как это было сделано выше), то
получили бы силовой треугольник GAD (рис. г), равный силовому
треугольнику ОАВ. Решение этого силового треугольника, естественно,
привело бы к тем же результатам.
Задача 3.3. Через гвоздь, вбитый в стену, переброшен трос (рис. 3.3,
а). Один конец троса прикреплен к иолу под углом 30е к горизонту. К
другому концу троса подвешен груз, вес которого Р=100 кГ.
Определить величину реакции стены, в которую вбит гвоздь. Весом
гвоздя пренебречь. Трос расположен в вертикальной плоскости.
Решение. Предварительно рассмотрим равновесие груза (рис. 3.3,
б), К грузу приложены: вес Р, направленный по вертикали вниз, и реакция
троса Г, направленная по вертикали вверх. Воспользовавшись вторым законом о равновесии твердого тела под действием двух сил, получим:
Т = Р = 100 кГ.
Переходам к рассмотрению равновесия гвоздя. Мысленно рассекая
левую и правую ветви троса вблизи гвоздя, заменим действие
26
отброшенных частей троса его реакциями Т1 и Т2 (рис. 3.3, в). Силы Т1 и
Т2равны по модулю силе Т, но различны по направлению: | Т1 |= |Т2 | = |
Т| Связью, наложенной на гвоздь, является стена.
Рисунок 3.3
Гвоздь находится в равновесии под действием активных сил Т1 и Т2
и реакция R стены, направление которой неизвестна. Так как линии
действия этих трех с ил пересекаются я одной точке, то можно построить
силовой треугольник на силах Т| Т1, Т2 и R. В данном силовом
треугольнике две силы (Т1 и Т2) известны как по величине, так и по
исправлению. Проведя из произвольной точки О силу, векторно равную
силе Т1, приложим к ее концу силу, векторно равную силе Т2 (рис. 3.3, г).
Так как при равновесии гвоздя силовой треугольник должен быть
замкнут, то, соединив начало О силы Т1 с концом В силы Т2определим
реакцию стены R. Конец силы должен находиться и исходной точке
О.При этом силовой треугольник ОАВ оказывается замкнутым.
Для решения силового треугольника ОАВ воспользуемся вспомогательными построениями. Проведем из точки В направо горизонталь и
продолжим ОА но вертикали вниз до пересечения с горизонталью в точке
D. В треугольнике ABD угол АBD равен углу наклона левой ветви троса к
горизонту, т. е. 30°. Следовательно, угол ВАD) равен 60°. Угол BAD
является внешним по отношению к силовому треугольнику ОАВ.
Замечая, что силовой треугольник ОАВ является равнобедренным (силы
Т1 и Т2, по модулю равны), имеем: ОВА= BOA= BAD = 30°. Теперь
из треугольника ОАВ без труда находим искомый модуль реакции R
стены:
R=ВО — ВA cos30˚ + АО cos30° = 2 Т cos30° = 2 · 100 173 к Г.
Задача 3.4. Два абсолютно жестких стержня АВ и АС соединены
шарниром в точке Аи прикреплены к полу шарнирами В и С, образуя с
27
полом соответственно углы 400 и 60° (рис. 3,4, а). К валику шарнира А
подвешен на нерастяжимой нити груз Д вес которого Р=100 к Г.
Определить усилия, возникающие в стержнях АВ и АС. Весом
стержней пренебречь.
Решение. Для определения усилий в стержнях АВ и АС следует
рассмотреть равновесие шарнира А.Однако непосредственно приступить
к исследованию равновесия узла А невозможно, так как он находится в
равновесии под действием трех неизвестных сил: реакций стержней АВ и
АС и реакции нити АО. Поэтому для определения реакции нити
предварительно рассмотрим равновесие груза D. Груз D находится в
равновесии под действием двух сил: веса Р и реакции нити Т. Эти силы
направлены в противоположные стороны (рис. 3.4, б). Учитывая условие
равновесия груза, получим, что Т = Р= 100 К г.
Рисунок 3.4
Теперь, когда одна из трех сил, приложенных к шарниру А,
известна, можно изучить равновесие шарнира А.К нему приложена одна
известная сила — реакция нити Т, направленная по вертикали вниз (на
основании закона равенства действия и противодействия Т = - Т.
Реакции ТВ и ТС стержней АВ и АС направлены вдоль стержней.
На рис. 3.4, в эти три силы изображены приложенными в шарнире А (в
общем случае трудно заранее указать,. направлены ли силы ТВ и Тс вдоль
28
стержней вверх или вниз; это будет уточнено а ходе последующего
решения задачи).
При равновесии шарнира А равнодействующая этих сил должна
быть равна нулю, следовательно, силы Т’, ТВ и ТС образуют замкнутый
силовой треугольник.
Построение силового треугольника (рис. 3.4, г) начнем с силы Т’,
известной по величине и по направлению. Взяв произвольную точку О,
приложим к ней силу Т’. Затем, проведя через начало и конец силы Т’
прямые ОL и SК, соответственно параллельные стержням АС и АВ,
получим в пересечении третью вершину Q силового треугольника OSQ.
Изобразив на сторонах треугольника SQ и QO стрелки так, чтобы сумма
трех сил Т’, ТВ и ТС равнялась нулю (в каждой из вершин силового
треугольника OSQ должен быть расположен конец, только одной из трех
сил), получим направления реакций ТВ и ТС.
Перейдя к решению силового треугольника, заметим, что
SOQ= DAC = 30° и OSQ = BAD = 450, как углы с соответственно
параллельными сторонами. Следовательно, SQO= 105°. Применив
теорему синусов, получим:
откуда
, ,
Подставив численные значения, находим:
TB= 51,8 кГ, ТC = 73,2 кГ.
Задача 3.5. На рис 3.5, а изображен механизм антипараллелограмма
ABCD, состоящий из абсолютно жестких стержней АВ, ВС и CD,
шарнирно соединенных между собой в точках В и С и прикрепленных
шарнирами Аи D к неподвижному звену AD; AD= BC, АB = CD. К валику
шарнира С приложена направленная по горизонтали налево сила FC=10
кГ. (Впредь два краткости валик шарнира мы будем называть шарниром.)
Определить величину силы FВ, приложенной в шарнире В и направ-
ленной по вертикали «низ, если механизм находится а равновесии и
положений» указанном на рисунке 3.5, а, то есть при BAD = 30° и
АВС = 90°, Весом стержней пренебречь.
29
Рисунок 3.5
Решение. Для определения величины силы FВ следует рассмотрев
равновесие шарнира В. Однако непосредственно это сделать невозможно,
так как ни одна из трех сил, приложенных к шарниру В (сила FВ и
реакции стержней АВ и ВС), неизвестна по величине. Поэтому для
определения величины реакции стержня ВС предварительно рассмотрим
равновесие шарнира С. К шарниру С приложена активная сила FC и
реакции стержней CD и СВ. Так как стержни соединены шарнирами, то
реакции направлены вдоль соответствующих стержней.
На рис. 3.5, в изображен силовой треугольник для узла С. Из произ-
вольной точка О проведена сила FC. Через начало и конец силы FC
проведены прямые ОК и EL, соответственно параллельные стержням СВ
и CD. В точке пересечения этих прямых найдем третью вершину N
силового треугольника OEN. Направим векторы ТD и ТB так, чтобы
сумма сил FC, TD и ТB оказалась равной нулю.
Для определения углов в треугольнике OEN вернемся к рис. 3.5, а.
Соединив точки В и D, рассмотрим треугольники ABD и DCВ, Эти
треугольники равны по трем сторонам, так как но условию AD = ВС, AB
= CD, а сторона BD у них общая. Воспользовавшись равенством
треугольников, найдем, что DCB = DAB = 30°. Теперь легко доказать
равенство треугольников AMD и СМВ. Действительно, AD=ВС, DAM =
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]