Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Свойства рабочих жидкостей. Гидростатика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

3.6. НОРМАЛЬНЫЕ И КАСАТЕЛЬНЫЕ





НАПРЯЖЕНИЯ В ЖИДКОСТИ

Экспериментальный и теоретический анализ полей напряжений и деформаций в жидкости показывает наличие нормальных и касательных напряжений: вдоль оси OY нормальное напряжение

2–(2/3)

p е 

ской вязкости, относительная деформация

()/ ()/ ()/

формация ются нормальные напряжения вдоль других осей координат:

 

где

Касательные напряжения

  

Рассматривается динамическое равновесие малого объема ΔxΔyΔz, в котором действуют массовые силы

тельные напряжения. Вдоль оси OY

е V х VyVz     

XX ZZ

()/

XY X Y

3.7. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ–СТОКСА

XYZ

p е p е  

(( )/ ( )/ )

VyV

, где p – давление, μ – коэффициент динамиче-

()/

Vy 

. Аналогично формиру-

, объемная де-

2–(2/3), 2–(2/3)

()/

Vz 

(( )/ ( )/ ).

YZ Y Z

  

XZ X Z

VzVy  

(( )/ ( )/ )

VzV

, нормальные и каса-

/(1/)(/)(/)()/

dV dt j р yVх

(1 / 3)( / ) ( ) / ( ) / ( ) /

Аналогичные соотношения получены для других направлений. Окончательно система уравнений Навье–Стокса имеет следующий вид:

/ (1/ )( / ) ( )( ) (1/ 3)( ) ( ) / ;

dV dt j

YY Y Y

/ (1/ )( / ) ( )( ) (1/ 3)( ) ( ) / ;

dV dt j

XX X X

 

YY Y

2222



()/ ()/

Vy Vz

    



2222

VyхVy Vyz   

XYZ

yV divVy   

х VdivVх   



/ (1/ )( / ) ( )( ) (1/ 3)( ) ( ) / ,

х y

dV dt j

ZZ Z Z

где оператор Лапласа

zV divVz   

222222

( )/ ( )/ (...)/

z   

Плюс шесть граничных условий и три начальных, а также уравнение неразрывности – задача замкнута. На практике указанная задача Коши решается для слабо сжимаемых жидкостей (например, вода). Конечноразностные методы показали свою эффективность применительно к системе уравнений Навье–Стокса.

3.8. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ–СТОКСА

Частным случаем системы уравнений Навье–Стокса является система уравнений Эйлера, которая моделирует течение идеальной жидкости без учета явлений турбулентности и вязкости:

/(1/)(/);

dV dt j

/(1/)(/);

dV dt j

/(1/)(/).

dV dt j

y

х

z

Система уравнений Эйлера преобразуется в уравнение Бернулли. Пусть

VdV j

XX X

VdV j

ZZ Z

равен

,0,

jjg

XY Z

0,5 (1/ ) 0dV dр gdz  

(1 / ) ( / )

dV V dV V dV V dV

2( )

алов, где

/( ) (1/2 )PgН V Н   

dхV dt dy V dt dz V dt

(1 / ) ( / ) ,

XYYZZ

. После суммирования полученных трех уравнений:

()zz



XYZ

х

z

. Дифференциал квадрата полной скорости

, тогда

VdV j

YY Y

(1 / ) ( /

, полагаем: массовые силы

, после интегрирования полных дифференци-

, получается уравнение Бернулли

пол

y

3.9. ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ

(С ДВИЖУЩЕЙСЯ ВЕРХНЕЙ СТЕНКОЙ)

Рассматривается одномерное стационарное течение несжимаемой вязкой жидкости в плоском канале высотой Н. Верхняя стенка канала

движется со скоростью

. Силой тяжести пренебрегаем. Массовых

сил нет.

Рис. 13. Схема течения Куэтта

Давление на входе в канал равно

, на выходе –

. Градиент дав-

ления не изменяется вдоль канала. (ΔР/Δх) – отрицательный, если

Р

. Скорость потока зависит от одной координаты

ничные условия: скорость

шение

(1 / ) ( / ) ( / ) ( ) /

х dV dy 



где

/(2 )( / )РН V Рх

(0) 0, ( )VVНV



/ ) (1 (1 / )VyН V Р y Н

. Интегрируется соотно-

. Тогда

– безразмерный градиент давления. Вари-

()VVy

. Гра-

ант А течения потока (рис. 13) – градиент давления отрицательный,

– положительная. Вариант В – градиент давления равен нулю,

положительная. Вариант С – градиент давления положительный,

–

положительная. В последнем варианте наблюдается обратное движение жидкости. Течение Куэтта в плоском узком канале моделирует процессы в подшипнике скольжения и является первым этапом в расчетах сил трения в соприкасающихся парах при наличии смазки.

3.10. ТЕЧЕНИЕ ХАГЕНА–ПУАЗЕЙЛЯ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ



Рассматривается стационарное ламинарное течение в круглой трубе вязкой несжимаемой жидкости. Радиус трубы R, плотность жидкости ρ, коэффициент динамической вязкости μ, градиент давления ΔР/Δх – постоянный, отрицательный, силой тяжести пренебрегаем, течение осесимметричное. Система уравнений Навье–Стокса сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, допускающего понижение порядка на единицу:

(/) / (1|)/ ,



х dV dr rdV dr 

где r – текущий радиус (расстояние от оси трубы), граничные условия: r = 0, dV/dr = 0 (в центре трубы скорость жидкости наибольшая), r = R, V = 0. Понижается порядок уравнения на единицу, полученное соотно-

шение решается методом вариации произвольных постоянных. Выполнение первого граничного условия упрощает задачу, так как убирается слагаемое общего решения, содержащее отрицательную степень r. В итоге получается распределение скоростей в следующем виде:

, где

SR

сеч

. Средняя скорость потока равна

– площадь поперечного сечения трубы,

V 

сред

(1 / 4 ) ( / ) ( )V РхRr 

(1 / )SVdS

сеч



2dS rdr – элемент площади, интеграл берется по площади сечения.

Пусть длина трубы равна l, тогда постоянный градиент давления равен

//Рх Рl . Средняя скорость в трубе равна

Число Рейнольдса

0,5(64/ Re)( / ) ( )Р ld V 

Re /Vd

сред

, где d = 2R, μ = ρν, тогда

. Полученное соотношение называется

(/8)(/)VRРl

сред

формулой Дарси–Вейсбаха, λ = 64/Re – коэффициент Дарси (коэффициент линейного сопротивления). Для турбулентных течений применяется

( 0,25)

коэффициент Блазиуса

/( )h

равны

лин

g 



0,3164(Re)



. Линейные потери напора

3.11. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УКЛОН.

ДИНАМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ ПОТОКА

Рассматривается круглая труба длиной l, радиусом R, градиент давления отрицательный, течение происходит с постоянной скоростью. Следовательно, разность давлений уравновешивается трением жидко-

сти о внутреннюю поверхность трубы:

()(2)Р RRl 

, где τ – каса-

тельные напряжения, действующие на внутренней поверхности трубы. Гидравлический радиус трубы равен

(/)Р l

трубопровода:

V

пограничного слоя мала и равна

. Гидравлический уклон – потери напора на единицу длины

/hl

, тогда

лин

называется динамической скоростью потока. Пусть толщина

динам



погр

гидр

gR 

гидр

(пристенный слой, в котором ско-

рость жидкости возрастает от нулевой до скорости теза Ньютона вязкого трения имеет следующий вид:

. Тогда

0,5RR

. Величина

пленки

(/ )R

гидр

0,5

()gR 

), тогда гипо-

(/).V 

пленки погр

Из экспериментальных исследований известно, что отношение

(/)( /)constVV V N

пленки динам динам погр

– постоянная, например,

для некоторых жидкостей N = 11,6. Оценка толщины пограничного слоя

погр динам

/NV

. Следовательно

пропорционально (1/Re), т. е.



погр

чем больше скорость потока, тем меньше толщина пограничного слоя. Указанная зависимость хорошо согласуется с результатами экспериментальных исследований.

3.12. ТУРБУЛЕНТНАЯ ВЯЗКОСТЬ. ФОРМУЛА ПРАНДТЛЯ

Рассматриваются две малые равные коллинеарные площадки ΔS в

турбулентном потоке (рис. 14). Скорость нижней площадки

ней –

. Поперечная скорость между слоями равна U – скорость пере-

, верх-

мещения. Расстояние между площадками Δy. Плотность жидкости равна ρ.

Перемещение жидкости между слоями оценивается с помощью сохранения количества движения. Масса жидкости, ушедшая из верхнего слоя в нижний за время Δt, равна Δm = ρUΔSΔt. Изменение количества

Рис. 14. Схема оценки турбулентной вязкости

движения слоев сти за время Δt: τΔSΔt. Тогда равенство

( ).mV V

Импульс сил трения между слоями жидко-

()UV V 

преобразуется к

следующему виду с учетом экспериментальных данных: скорость перемещения

()UVVV  

()( / )

  

равна квадрату глубины перемещения

(/)

следующий вид:

  

. Объединение полученного соотноше-

. Формула Прандтля примет

. Величина

(y)

ния с касательными напряжениями при ламинарном течении жидкости записывается как

ной вязкости равен

(/)( )Vy   

турб

(/ )

, где коэффициент турбулент-

турб

Vy

. Формула Прандтля имеет

важное значение в области моделирования турбулентных потоков, расчетов сил трения, величин потерь давления.

3.13. МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ. ФОРМУЛА БОРДА

Рассматривается течение жидкости плотностью ρ при внезапном увеличении диаметра трубопровода (рис. 15). Для сечений 1-1, 2-2 применяется соотношение сохранения количества движения относительно сечения 2-2.

рости

,РР

– величины давлений;

,VV

в сечениях 1-1, 2-2 соответственно. Импульс сил давления

,DD

– диаметры трубопровода, ско-

за время Δt равен изменению количества движения жидкости:

( ) 0, 25 0, 25 ( ) .РР DtV DVVt

12 2 2 221



Преобразуем полученное соотношение

//РРVVV  

12212

к виду

уравнения Бернулли:

/(1/2) /(1/2)(1/2)( )Р ggVР ggV gVV    

112 212

где потери на трение

222

трения 1 2

(1 / 2 )( )hgVV

– один из вариантов фор-

мулы Борда. Объемный расход жидкости не меняется вдоль трубопровода:

0,25 0,25 VDV D 

112 2

трения 1 1 2

, тогда

(1/2 ) 1 ( / )hgVDD



Рис. 15. Схема внезапного расширения трубопровода

Величина



1( / )DD 

называется коэффициентом местного

сопротивления. В гидравлике любое изменение геометрических параметров трубопровода рассматривается как местное сопротивление. Как правило, величины местных сопротивлений определяются опытным путем. Конкретные данные приведены в специальной литературе.

3.14. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ

ТРУБОПРОВОДОВ

3.14.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В предлагаемом случае расчета трубопроводных систем необходимо учитывать потери на трение и местные сопротивления. Потери напора потока на трение определяется по формуле Дарси–Вейсбаха:

 – коэффициент гидравлического сопротивления; l – длина трубы;

где

d – диаметр трубы;

– скорость потока жидкости; g – ускорение сво-

тр



, (3.1)

бодного падения. Для расчета местных гидравлических сопротивлений (сужение и расширение, поворот потока, краны, задвижки, клапаны, шайбы и другие местные препятствия течению) используют модифицированную формулу Дарси–Вейсбаха:



где

– коэффициент местного гидравлического сопротивления.

 , (3.2)

Таким образом, суммарные потери равны

Пусть

hh h 

тр м

 – объемный вес жидкости;

. (3.3)

,PP

– давления в сече-

ниях 1, 2 (рис. 16).

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1 и 2:

pw p w

11 2 2

zz h

Пьезометрическую высоту

если он неизвестен, и располагаемым напором

  



назовем потребным напором

расп

. (3.4)

потр

, если он задан.

Из уравнения (3.4.) можно найти

нимается жидкость. Пусть

– пьезометрическая высота в конце трубо-

()zz

– высоту, на которую под-

провода (давление, которое должен преодолеть поток жидкости на выходе из трубопровода). Сумма этих высот называется статическим напором и представляет собой эквивалентную высоту подъема жидкости:

Рис. 16. Схема простого трубопровода

Сумму потерь

можно представить как степенную функцию объ-



емного расхода жидкости

()

Hzz

ст 2 1

. Тогда уравнение Бернулли принимает

, (3.5)



вид так называемого напорно-расходного уравнения:

потр(расп) ст

HKQ

(3.6)

где

– сопротивление трубопровода и m – показатель степени (оба па-

раметра зависят от режима движения жидкости в трубопроводе).

Для турбулентного режима



  



 

80,316

,,2.

24 4



(3.7)

Рассматривается гидравлический расчет разветвленного трубопро-





вода. Система напорно-расходных уравнений в случае разветвления основного трубопровода на две ветви приведена ниже (3.8):

(3.8)

Hz

ст1 1

, (3.9)



где

коэффициенты

 ,

число Рейнольдса



HH KQ

 

HH KQ

 

QQ Q

 

Hz

ст2 2

,KK

вычисляются по соотношениям (3.7). Вначале

Rewd

определяется по данному расходу Q (рис. 17).



нст111



нст222







Можно сразу принять коэффициент

 = 0,02 для нулевого приближе-

ния, но это может привести к увеличению числа итераций.

Соотношения (3.8) с учетом (3.9) являются нелинейными относи-

тельно неизвестных

. В данном случае систему (3.8) можно пре-

образовать к одному алгебраическому уравнению второго порядка:

исключить



выразить



относительно

первом трубопроводе находится число Рейнольдса



2320 ламинарный







4000 турбулентный





равлического сопротивления

после вычитания второго уравнения из первого;

QQQ

. После вычисления скорости потока жидкости в

. Далее решается квадратное уравнение





 

. Полученное значение коэффициента гид-



 (3.7) сравнивается с найденным ранее. За-



тем вычисляется величина полного расхода в точке ветвления трубопровода (3.6). Если относительная погрешность полученных значений коэффициентов гидравлического сопротивления превосходит 3 %, тогда решение задачи продолжается методом последовательных приближений. В рамках следующего шага необходимо найти относительную погрешность

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]