Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Свойства рабочих жидкостей. Гидростатика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

2.3. ОБЩЕЕ И ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЯ

ГИДРОСТАТИКИ

Рассматривается равновесие элементарного объема ∆X∆Y∆Z (рис. 2). Проекция сил на ось

ращение давления направлении

OY :

гичные соотношения формируются для направлений осей

OY :

XZ j XYZ РРXZ    

YY YY

– давление в направлении оси OY , при-

j

– массовая сила. Уравнение равновесия в

( )

,OX OZ

, анало-

(),

,OX OZ

. Далее производится пе-

где

Р YZ j XYZ РРYZ

    

ХХ ХХ

Р XY j XYZ РРXY

   

ZZ ZZ

– массовые силы вдоль осей

реход к дифференциальным величинам:

(1 / )( / ) , (1 / )( / ), (1 / )( / ).

j РХ j Р Yj Р Z  

Х YZ

Рис. 2. Равновесие элементарного объема

После сложения трех полученных соотношений будем иметь

(),

dP j dX j dY j dZ  

Х YZ

(2.1)

где полный дифференциал

(/ ) (/) (/).dP РХdX Р YdY Р ZdZ     

Соотношение (2.1) называется общим уравнением гидростатики.

Основное уравнение гидростатики является частным случаем общего

уравнения гидростатики:

.dP gdZ

падения):

Интегрируем полученное соотношение:

jjg 

Х YZ

(ускорение свободного

где

– атмосферное давление,

Pgzz 

(),

()zz h 

(2.2)

– расстояние от поверхно-

сти жидкости (глубина, для которой получена эта формула). Соотношение (2.2) – основное уравнение гидростатики, т. е. в любой точке жидкости на глубине

давления

h гидростатическое давление P зависит от внешнего

на свободной поверхности – это закон Паскаля.

Пример 1. По гладкой ровной горизонтальной поверхности XOY

равноускоренно движется резервуар с жидкостью (рис. 3). Ускорение свободного падения

g, ускорение резервуара а. Определить угол



между направлением движения и поверхностью жидкости.

Рис. 3. Схема примера 1

Р е ше н и е . В системе координат, связанной с движущимся резервуаром, система находится в равновесии. Тогда существует массовая сила

j, величина которой определяется из треугольника массовых сил,

следовательно, искомый угол равен

tg( ) ( / )ag . Следуя указанной

методике, можно измерять величины ускорений, например летательного аппарата.

Пример 2. Вертикально расположенный цилиндрический резервуар

ydyg



радиусом

R, наполненный жидкостью объемом V, плотностью ρ враща-

ется вокруг центральной оси с постоянной угловой скоростью ω. Атмосферное давление равно

. Осевое сечение, вид сверху резервуара, оси

координат, основные размеры показаны на рис. 4 и 5. Найти величину

– глубину воронки жидкости.



Рис. 4. Схема примера 2 (осевой разрез)

Р е ше н и е . Общее уравнение гидростатики записывается с учетом

инерционных сил: ординаты точки

М (рис. 5),

jx jy 

XM YM

dP x dx

( )

MM MM

совпадает с осью цилиндра. Так как

()2(

dr x dx

ydy

)

Получено уравнение в полных дифференциалах:

gdz

. В точке А (верхняя точка поднятия жидкости, рис. 4) давление

PР

определения величин

, следовательно,

,Hh

объем жидкости в цилиндре:

является соотношение, определяющее

(0,5 / )Hh

0,5 .VRHRh 

R 

g

, где

222



, =

dz  

0,5 ( ) –dP d r

– ко-

, ось z

, то

. Вторым уравнением для

Тогда

(2/3) 1/( ) (1/3) (1/ ),

HVR Rg



(2/3) (\ 1/( ) (1/6) (1/ ).

hV R Rg



 

222

Рис. 5. Схема примера 2 (вид сверху)

Пример 3. Гидроцилиндр привода системы управления летатель-

ного аппарата должен отклонять руль высоты с максимальным усилием 4 т. Определить требуемый диаметр поршня гидроцилиндра

если гидросистема летательного аппарата имеет насос, у которого пло-

щадь поршня равна 0,5

см

, максимальная сила перемещения состав-

ляет 1000 Н. Диаметр штока гидроцилиндра равен 40 мм.

410d

. Пор-

, уси-

Р е ш ен ие . В системе СИ: площадь поршня

лие гидроцилиндра привода

щения поршня насоса

нас

410 НF 

ГЦ

1000 НF 

, диаметр штока

0,5 10 мS

, максимальная сила переме-

шт

шень насоса создает давление в гидросистеме летательного аппарата

FS

нас П

0,25 ( )р Dd

Пример 4. Определить разность давлений

. Усилие на поршне гидроцилиндра привода

44 10 0,5 10 / (3,14 1000) 4 10 6,44 10 м.

     



, тогда

шт

0,5

4/()

DFS F d





ГЦ П нас шт

44 24 2



0,5

( )РР Р 

наг обр

F 

ГЦ

в по-

дающей и обратной магистральных трубах, если разность уровней ртути

в U-образном манометре равна 500h мм. Плотность ртути и воды

рт

ния

13,596 10 кг/м 

9,81 м/сg 

1, 0 10 к г/ м 

, ускорение свободного паде-

Р е ше н и е . Уравнение равновесия столбов жидкостей в U-образном манометре:

Р ghР gh

  

наг в обр рт

( )( )

РР Р gh

    

9,81(13,596 10 1,0 10 )0,5 0,6178 10 (Па) 4, 4мм рт. ст.



наг обр рт в

33 5

Пример 5. Резервуар вертикальный стальной (РВС) наполнен керо-

сином

880 кг/м

жидкости равна H = 10 м, ускорение свободного падения

, диаметр резервуара равен 20 мd  . Высота взлива

9,81 м/сg 

Найти результирующие сил давления на боковую стенку и дно резервуара.

Р е ше н и е . Результирующая сил давления, действующая на дно резервуара, равна весу жидкости:

FgdH

0,25 3,14 9.81 880 20 10 2 7120 000 2712 .

 

0,25

 

дно

Нт

При вычислении результирующей сил гидростатического давления на боковую стенку резервуара рассматривается площадь данного

объема «в свету», т. е.

SHd

свет

, гидростатическое давление ли-

нейно возрастает, таким образом, эпюра этих усилий имеет вид треугольника. Тогда

FgdH

бок.ст

0,5 9,81 880 20 10 8632 000 863,2 .

   

0,5

 

Нт

Пример 6. Найти результирующие сил давления на плотину длиной

1000L  м, высоты со стороны водохранилища и реки равны:

100Н 

м,

10Н 

м соответственно, плотность воды

свободного падения

1000 кг/м

9,81 м/сg 

, ускорение

Решение. Результирующая сил давления со стороны водохранилища:

0,5 0,5 9,81 1000 100 1000 4,9 10 49 МтFgН L Н  

2210

Результирующая сил давления со стороны реки:

0,5 0,5 9,81 1000 10 1000 4,9 10 0, 49 МтFgН L Н   

228

Таким образом, тело плотины находится не только в состоянии сжатия, но и изгиба, так как сила

а сила

– на высоте (1/3)

приложена на высоте (1/3)

= 3,3 м.

= 33,3 м,

Пример 7. Рассматривается домкрат (схема устройства домкрата

показана на рис. 6). Диаметры поршней: большого D = 300 мм, малого – d = 30 мм, длина рычага L = 1000 мм, расстояние от оси вращения рычага

до штока малого цилиндра а = 100 мм, величина усилия, приложенного к рычагу, равна G = 250 Н. Вычислить значение усилия на большом цилиндре, определить отношение перемещений (H/h) на малом и большом цилиндре.

Решение. Определяется величина усилия на штоке малого поршня:

равно

( / ) 250(1000/100) 2500 НFGLа F 

4 / ( ) 42 500 / (3,141 0, 03 ) 35,4 10 ПаР Fd  

225

большом цилиндре:

250 000 Н

. Отношение перемещений на малом и большом цилиндре

0,25 0,25 3,141 0,3 35,4 10FDР   

225

. Давление в домкрате

. Усилие на

определяется при условии малой сжимаемости рабочей жидкости

/(/)(0,03/0,3)0,01Hh dD 

, т. е. при «выигрыше» в величине

усилия на большом цилиндре получается «проигрыш» в величине перемещений в данном случае в сто раз.

Закон Архимеда может быть получен из основного уравнения гидростатики. Пусть тело в форме параллелепипеда размерами а × b × h погружено в жидкость. Выталкивающая сила, действующая на глубине h, равна F = (аb)gρh. Если эта величина равна весу тела, тогда тело плавает. Произведение аbh равно объему тела, следовательно, выталкивающая

сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна весу вытесненного объема жидкости (закон Архимеда). Для тел произвольной формы выполняется предельный переход: часть тела, произвольно погруженная в жидкость, заменяется набором параллелепипедов, у которых высота равна глубине погружения данной части тела, а площадь сечения аb мала. Полученная сумма объемов параллелепипедов в пределе сходится к объему тела произвольной формы, поскольку эта сумма может быть рассмотрена как интегральная (условия интегрируемости Коши выполнены).

Рис. 6. Схема примера 7 (устройство и основные размеры домкрата)

Пример 8. Определить наличие примеси в самородке золота, если

его вес в воздухе равен

возд

ность золота принять равной

вода

10 кг/м

, ускорение свободного падения равно

9,65 НG 

, вес в воде

зол

19,3 10 кг/м 

9,15G 

вода

Н, плот-

, плотность воды

9,81м/сg 

Р е ше н и е . Получим расчетное соотношение, определяющее плотность самородка. Плотность самородка равна

– объем самородка,

сам

GGG   

сам возд вода возд вода

= 9, 65 10 / (9,65 9,15) 19,3 10 (кг/м ),

333



()/()VGG g 

сам возд вода вода

/( )

сам возд сам

/( )GgV

, тогда

, где

т. е. с заданной точностью задания исходных данных плотность самородка равна плотности чистого золота.

Пример 9. Найти высоту выступающей над уровнем воды части пла-

вающего колокола радиусом

5 НG  . Плотность воды принять

свободного падения

9,81 м/сg 

0,05R 

м, высотой

1000 кг/м

вода

, атмосферное давление

0,1 мH 

, весом

, ускорение

10 ПаР 

(рис. 7).

Р е ше н и е . Определим величину

– расстояние от поверхности

воды в колоколе до уровня воды (рис. 7):

| ( ) 5 /(1000 9,81 3,1416 0,05 ) 0,0649 м.hG gR     

2вода

Рис. 7. Схема плавающего колокола

Произведение давления и объема воздуха в колоколе величина постоянная, тогда

h Р H Р gh h

10 0 вода2 2

/ ( ) 10 0,1/ (10 1000 9,81 0,0649)

0,0649 0,03446 м.



Вода поднялась от нижней части колокола на высоту

312

0,1 0,0649 0,03446 0,00064 м 0, 64 мм.hHhh    

2.4. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА НАКЛОННЫЕ

ПЛОСКИЕ СТЕНКИ РЕЗЕРВУАРОВ.

ЦЕНТР ДАВЛЕНИЯ

Рассматривается резервуар с боковой наклонной плоской стенкой, наполненный жидкостью плотностью ρ. Система находится в поле сил тяжести. Ширина резервуара равна b, наклонная стенка длиной L накло-



нена к горизонтальной плоскости под углом жести указано на рис. 8. Определить величину

. Направление силы тя-

и координату

приложения результирующей сил P гидростатического давления, действующих на наклонную стенку.

Рис. 8. Схема резервуара с плоской наклонной стенкой

Координата Y и глубина h удовлетворяют соотношению

Тогда величина результирующей действующих на наклонную стенку, будет

сил P гидростатического давления,

F 

0,5 sin( ) Н

sin( )hY

bL 

. По-

лученное значение результирующей можно рассматривать как произведение

точки А – верхней части наклонной крышки берется по площади наклонной крышки, элемент площади

Центр давления пределенных сил давления и результирующей

(gsin())

на статический момент площади относительно

SYdS

, где интеграл



dS bdY .

находится из условия равенства моментов от рас-

относительно любой

точки, например точки А:

(1/3) sin() /(0,5 sin() ) (2/3)

bL L 

м.

С другой стороны, произведение

(sin())g

на

JYdS



– момент инерции сечения относительно

равно произведению

произвольной оси, в данном случае проходящей через точку А. По теореме об изменении величины момента инерции сечения при переходе от

()

произвольной оси к центральной: сечения;

– расстояние от центра тяжести площади сечения до оси,

YbL J

проходящей через точку А (в данном случае оно равно

, где bL – площадь

);

– мо-

0,5L

мент инерции в центральных осях (проходящих через центр тяжести се-

/12JbL

чения), для прямоугольного сечения

Пример 10. Рассматривается летательный аппарат, в котором рас-

положен резервуар с боковой наклонной плоской стенкой, наполненный жидкостью плотностью ρ. Ширина резервуара равна b, наклонная стенка длиной 1,15 м наклонена к горизонтальной плоскости под углом

60 . Остальные размеры резервуара: длина верхней крышки –

1,58 м, нижней – 1 м, левой вертикальной стенки – 1 м. При совершении маневра летательным аппаратом массовая сила (перегрузка) равна 5g и направлена перпендикулярно плоскости наклонной крышки резервуара

(рис. 9). Определить величину

и координату

приложения ре-

зультирующей сил P гидростатического давления, действующих на наклонную стенку при совершении маневра летательным аппаратом.

Рис. 9. Схема резервуара, направление массовой силы, эпюра усилий

от гидростатического давления (к примеру 9)

Р е ше н и е . Для построения эпюры сил гидростатического давле-

,hh

ния на наклонную крышку резервуара необходимо определить

–

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]