Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Свойства рабочих жидкостей. Гидростатика. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

характерные размеры столбов жидкости в рассматриваемом случае при-

ложения инерционных нагрузок

1,1 5h 

м ,

1, 3 7h 

м. Эпюра сил гид-

ростатического давления состоит из двух частей: первая – треугольник, катеты которого равны

(5 )gh

торой равна 0,36 м , основания равны величина результирующей ствующих на наклонную стенку,

0,65 м

Y 

и 0,79 м, вторая – трапеция, высота ко-

(5 )gh

сил P гидростатического давления, дей-

Fgb

(5 )

(5 )gh

(рис. 9). Тогда

. Центр давления

2.5. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВАРИАНТОВ И ПРИМЕР

ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТА СИЛ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО

ДАВЛЕНИЯ НА НАКЛОННУЮ КРЫШКУ РЕЗЕРВУАРА

ПРИ НАЛИЧИИ ИНЕРЦИОННЫХ НАГРУЗОК

Дан резервуар с рабочей жидкостью в поле массовых сил, направленных перпендикулярно к плоскости наклонной крышки. Исходные данные

для всех вариантов: плотность рабочей жидкости рение свободного падения

9,81 (м/с )g 

, размеры резервуара (рис. 10):

1000 (кг/м )

, уско-

а = 1 м, ширина резервуара b = 1 м. Варьируемые параметры приведены в таблице. Требуется вычислить длину наклонной крышки, значения

Рис. 10. Геометрические размеры, эпюра сил гидравлического давления, направление массовой силы к примеру расчета усилий, действующих на

наклонную крышку

столбов рабочей жидкости

,,hh

построить эпюру сил гидростатиче-

ского давления, найти величину результирующей сил гидростатического давления, получить значение центра давления.

Исходные данные: угол наклона крышки α,

значения массовой силы (Kg) (значения коэффициента K)

Номер

варианта

α, град. 30 45 60 30 45 60 30 45 60 30 45 60

3 3 3 4 4 4 6 6 6 7 7 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Пример выполнения расчета

Исходные данные: плотность рабочей жидкости ρ = 1000

м/с

ускорение свободного падения g = 9,81

, размеры резервуара

кг/м

(рис. 10): а = 1 м, ширина резервуара b = 1 м, угол наклона крышки к горизонтальной плоскости

60 , направление массовой силы вели-

чины 5g перпендикулярно к плоскости наклонной крышки.

Порядок расчета

1. Длина наклонной крышки равна

(1 / sin ( ) ) 1(1 / sin(60 )) 1, 15 мL а 

2. Величины столбов рабочей жидкости в случае нормального направления массовой силы 5g к плоскости наклонной крышки равны (рис. 10):

(sin( ) cos( )) 1(0,87 0,5) 1,37 м,

h а

 

h а

 

(1/sin())1/(0,87)1,15м.

3. Построение эпюры сил гидростатического давления, действующих на наклонную крышку (рис. 10), которая является кусочно-линейной

функцией. На участке от верхней части резервуара до

0,79

м возрастает от 0 до

1,15 0, 79 0,36 

м убывает до значения

5gh

, на участке длиной

5gh

ctg ( )Lh

LLL 

4. Определение величины равнодействующей сводится к вычисле-

нию произведения ширины резервуара на площадь эпюры сил гидростатического давления:

0,5 (5 ) (5 ) (5 ) 0, 48 10

FbLghLghgh



2212 1

5. Вычисление координаты приложения результирующей центра давления

, производится на основании равенства величины

момента сил гидростатического давления и момента силы

Н.

относи-

, т. е.

тельно оси, проходящей через верхнюю часть резервуара. Эпюра сил гидростатического давления разбивается на два треугольника и прямо-

угольник, координаты центров тяжести которых обозначим площади

(треугольник ABC),

(прямоугольник BDQE),

,,YY Y

123

(тре-

угольник DCQ) (рис. 11).

Рис. 11. Схема расчета центра давления

Момент от сил гидростатического давления: треугольник (АВС):

АВС

(1/ 3)(5 )

М gbL h 

0,333 1000 5 9,81 1 0,79 1,37 0,14 10 

2 22

Н ꞏ м,

прямоугольник (BDQE):

М ghL L L  

ВDQE

(5 ) ( 0,5 )

21 2 1

1000 5 9,81 1,37 0,36(0,79 0,5 0,36) 0, 235 10   

(Н ꞏ м),

треугольник (DCQ):

М gL h h L L   

DСQ

0,5(5 ) ( )( / 3)

12 1 2 1

0,5 1000 5 9,81 0,36(1,37 1,15)(0,79 0,36 / 3) 0,0177 10      

Н ꞏ м.

Тогда центр давления равен

()/()

Y ММ М F  

D АВС В DQE DСQD

(0,14 10 0,235 10 0,0177 10 ) / (0,48 10 ) 0,8 

55 55

м.

2.6. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ

НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Пусть система координат состоит из осей OX, OY, расположенных на свободной поверхности жидкости, ось OZ направлена вертикально вниз. Рассматривается неподвижная непроницаемая криволинейная пластина, у которой толщина много меньше других размеров. Вес пластины считается бесконечно малым. Так как поверхность пластины криволинейна, то приращения полного давления dP, приходящегося на элементарные площадки dS, образуют систему непараллельных сил. Эта система сил уравновешена, так как пластина находится в равновесии. Достаточно рассмотреть одну сторону пластины. Такая система усилий в общем случае сводится к главному вектору и одной паре сил. Проекции dP на оси коорди-

нат имеют следующий вид: на ось

dP рdS

площадки

cos

, на ось

–cos

OZ dP рdS

,cos ,cos ,cosdS 

– направляющие косинусы внешней нор-

OX dP рdS 

, где р – давление на глубине

cos

, на ось OY –

мали к площадке dS. Сумма проекций элементарных сил определяет равнодействующую R:

cos , cos ,

R рdS R рdS   

222

R рdS R R R R    

ZXYZ

cos ,



0,5

Задача существенно усложняется, если поверхность пластины не

RgdVg

может быть задана аналитически:

RRR

как определенные интегралы, которые вычисляются по пло-

(,,)SSXYZ . Поэтому выразим

щадям проекций поверхности пластины на координатные плоскости:

натную плоскость YOZ), сти пластины на координатную плоскость XOZ),

dS



(интеграл по проекции поверхности пластины на коорди-

dS



(интеграл по проекции поверхно-

dS

(интеграл



по проекции поверхности пластины на координатную плоскость XOY). Заметим, что

поверхности пластины на плоскость YOZ соответственно;



равен силе давления жидкости на всю проекцию

– на



плоскость XOZ. Поэтому

XC X Y YC Y

где

CYC

– центры тяжести проекций поверхности пластины на со-

RghSRghS 

ответствующие координатные плоскости, величины которых равны

. Вертикальная проекция результирующей силы

hdS



, где h – глубина погружения площадки dS под уровень сво-

бодной поверхности. Но элементарный объем

V 

ями



, т. е. вертикальная проекция результирующей силы

, где V – объем вертикального цилиндра с основани-

R рdS



dV hdS

, тогда

равна

весу жидкости в объеме вертикального столба, опирающегося на заданную криволинейную поверхность и ограниченную плоскостью свободной поверхности.

Пример 11. Рассматривается напорный круговой цилиндрический

резервуар, ось которого параллельна свободной поверхности и находится на глубине Н (рис. 12). Длина резервуара вдоль образующей равна 1 м. Вдоль всей образующей выполнена съемная крышка АВ. Найти величину силы R давления жидкости на съемную крышку.

Решение.

222



RR RR

XYZ

0,5

где

YXXCXX

кость YOZ, т. е. прямоугольник с центром тяжести

XC Х X Х XZ

0,5( ) . ( 0,5( ) ) ,

АВ RgНАВSR gV   

– проекция съемной крышки на плос-

. Величина

(объем V

0, ,

RRghSS

показан на рис. 12). Направление полной силы R определяется из усло-

tg( ) /

вия

RR

, где угол  – угол между вектором R и горизонталь-

ной осью OX.

Рис. 12. Схема напорного кругового цилиндрического резервуара

Пример расчета сил давления, действующих на напорный круговой цилиндрический резервуар, приводится ниже.

Пусть Н = 2 м, дуга АВ равна 45°, радиус цилиндра r = 0,5 м,

(g) 9810кг/мс 

. Проекция площади съемной крышки АВ на верти-

кальную плоскость YOZ равна

0,353 м , ( 0,5( ) )

SRgНАВS

XX Х X

98 10(2 0,5 0,353)0,353 6314,6 Н,

   

объем

0,257 м , 9810 0,257 2521,2 Н, tg( ) =

VRgV



/ 2521,2 /6314,6 0, 4, 21,4 .

 

3. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ.

УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ–СТОКСА

3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Движущаяся жидкость моделируется отдельными линиями тока – пространственными линиями, касательные к которой в данной точке параллельны местным скоростям жидкости. Поверхность, нормальная к линиям тока в настоящий момент, называется живым сечением. Для анализа движения жидкости достаточно применения законов сохранения массы жидкости, количества движения, сохранения механической энергии. Основные модели жидкости:

 модель идеальной жидкости, в которой сжимаемостью и вяз-

костью пренебрегаем. Эта модель применяется для исследования основных закономерностей движения жидкой среды. В качестве примеров можно указать систему уравнений Эйлера движения идеальной жидкости, уравнения Бернулли для идеальной жидкости;

 модель несжимаемой и вязкой жидкости применяется при моде-

лировании влияния сил трения на параметры потока. Большинство прикладных расчетов выполняется в рамках этой модели;

 модель сжимаемой и невязкой жидкости используется при моде-

лировании динамических эффектов в жидкой среде, например, гидроударе;

 модель реальной жидкости учитывает сжимаемость и вязкость и

отображает основные свойства реальных движущихся жидких сред. Использование этой модели связано с формированием сложных математических соотношений. Используется для анализа сил трения и динамических явлений в потоке.

Принципиальным является проблема подобия течений жидкой среды. Основным параметром подобия движения жидкости является

число Рейнольдса Re /Vd, где V – скорость; d – характерный раз-

мер;

– коэффициент кинематической вязкости жидкости в данном се-



чении потока жидкости. Различают ламинарное течение, при котором Re ≤ 2300, переходный режим потока, в этом случае 2300 < Re < 4000, 4000 < Re – турбулентный режим течения жидкости. Каждый режим течения жидкости характеризуется соответствующими величинами внутреннего трения, т. е. параметрами линейных потерь, потерь напора. Переходный режим течения жидкости, как правило, является нерасчетным.

3.2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Рассматриваются два сечения потока идеальной жидкости, пара-

,PP

метры которых: давления

, скорости

сительно определенного нулевого уровня кости, g – ускорение свободного падения, Объемный расход не изменяется от сечения к сечению: время Δt через первое и второе сечение пройдут

,VV

, высоты сечений отно-

, НН

, ρ – плотность жид-

,SS

– площади сечений.

VS V S

11 2 2

SV t

. За

SV t

массы жидкости. Закон сохранения механической энергии имеет следующий вид:

PSV t S V Н SV tV

     

111 11 1 11 1

PSV t SV Н SV tV



222 22 2 22 2

tg (1/ 2)

tg (1/ 2) ,

с учетом соотношения сохранения объемного расхода получаем:

11 12 2 2

(1 / 2) (1 / 2) .PgН VP

Н V      

Обычно уравнение Бернулли записывается как

/( ) (1/2 ) /( ) (1/2 ) .PgН VP

1112 22

Н V      

Размерность уравнения м. ст. раб. ж., сумма двух слагаемых

/( )PgНН 

напор –

(1 / 2 )V Н

называется статическим напором, скоростной

стат

. Тогда полный напор

скор

ННН

пол стат скор

Таким образом, уравнение Бернулли – уравнение сохранения механической энергии для удельного количества жидкости.

3.3. КОЭФФИЦИЕНТ КОРИОЛИСА.



МОЩНОСТЬ РЕАЛЬНОГО

И УСРЕДНЕННОГО ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ

Рассматривается мощность реального и усредненного потока жидкости. Мощность статической составляющей уравнения Бернулли для элемента площади ΔS:

(/( ) )NPgН



расход сечении

усредненного потока равны. Мощность скоростного напора усредненного потока

реального потока

Кориолиса, т. е. мощность реального потока в усредненного потока. В качестве примера рассматривается течение в плоском канале (длина L и ширина b канала много больше его высоты h). Безразмерное распределение скорости в канале следующее:

() ( )Vt V t t

bhdt

Тогда данным принята модель более равномерного распределения скоростей

в ядре течения, поэтому коэффициент Кориолиса не превосходит 1,2. В развитых турбулентных потоках значение коэффициента Кориолиса принимается равным единице.

VdS V S



, т. е. мощности статической составляющей реального и

сеч

/()/()NN VdSVS 

еал сред сред сеч

, 01t,

1,557

VdS

сред сеч

сред сред сред сред

, где

. Для турбулентных течений по экспериментальным

(1 / 2 ) ( ) 0, 5N V gV dS gV S  



реал





0средсеч0

Sbh

сеч

(/( ) )NPgНgV S   

(интеграл по площади сечения), объемный

, где

(1 / 2 ) ( )N V gVdS



– средняя скорость потока в данном

сред

называется коэффициентом

const. (1/ ) ( )VVSVttdS 

сред 0

(1 / 6)VV

, для всей площади

, мощность

. Отношение мощностей

раз больше мощности





323

() (( ))VdS Vtt dS



, где dS 

3.4. ИНЕРЦИОННЫЕ НАПОРЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА

Трубопровод постоянного сечения с осевой линией произвольной геометрии, в котором поток жидкости движется со скоростью V, имеет ускорение а, направленное противоположно ускорению свободного падения. На единичную массу жидкости действует инерционная сила

F а

ин

, работа которой на элементарном участке

cos( )Аа l 

где θ – угол между вектором, соответствующим Δl, и вектором ускоре-

ния а (т. е. произведение cos(θ)Δl равно проекции элемента трубопро- вода на вертикальное направление). Работа удельного количества жид-

cos( )

кости на участке трубопровода длиной L равна

cos( )

ldl



– приведенная длина трубопровода – проекция осевой

а dl 



линии трубопровода на направление вектора ускорения а. В размерности уравнения Бернулли инерционный напор первого рода равен

/( ) ( / )

g а gl

. Инерционный напор первого рода – удельная

энергия, затрачиваемая на преодоление инерционных сил в ускоряющемся трубопроводе.

На практике имеют место случаи неустановившегося движения жидкости в трубопроводе, т. е. определенный объем жидкости изменил скорость на величину ΔV за короткое время Δt. По закону сохранения ко- личества движения существует равнодействующая массовых сил, им-

пульс которой

FtV

масс

На участке Δl элементарная работа равна

(/)А lV t 

. В размерности уравнения Бернулли инерционный

напор второго рода равен

(для единичного объема жидкости).

Vl F l 

(/ )( / )hlgdVdt

. Инерционный напор вто-

масс

, тогда

рого рода учитывает изменение удельной энергии при неустановившемся движении потока жидкости на длине l трубопровода.

3.5. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Рассматривается элементарный объем ΔxΔyΔz. За время Δt вдоль оси OY входит масса жидкости

остается в объеме:

zV t   

3m2 Y

()/ / 0

Vy t     

. Следовательно,

осей, суммируем их:

( )mxzy

221

. Такие же равенства получаются для других

/div()0tV    

Для несжимаемой жидкости:

mxzVt 

11 Y

, вышла из объема масса

mmm

123

– уравнение неразрывности.

const, div( ) 0V 

, часть жидкости

. В пределе,

(V – вектор полной

скорости).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]