Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Резервы повышения звукоизоляции однослойных ограждающих конструкций. Монография
.pdf
ной волны в пластине
меньшей затратой энергии на образование новых распространяющихся волн
[36].
Рассмотрим более подробно процесс образования собственных колебаний
строительных панелей с ОПС. Под воздействием падающих звуковых волн в
шарнирно опертом ограждении возникает свободная упругая волна
eξξ
00101
yxkti
βcossinω
, (2.9)
где – угол падения свободных волн на край панели; , – составляющие начального фазового угла; k = /c – волновое число.
Скорость распространения свободной изгиб
D
4
c
ω
, (2.10)
μ
3
hE
где
D
П
– цилиндрическая жесткость ограждения с ОПС; Е – мо-
2
)ν1(12
дуль упругости материала ограждения; hП – приведенная толщина панели; –
коэффициент Пуассона; = h – поверхностная плотность панели; – объем-
ная плотность материала панели.
Отраженная бегущая изгибная волна имеет вид
αcosαsinω
eξξ
00202
yxkti
. (2.11)
Суммарное смещение в упругих волнах для разности фаз и одинаковых
амплитуд свободной и отраженной волн, получим путем преобразований, аналогичных проведенным для формул (2.2). В результате получим [36]
(x, y, t) =
где 0 = 4
001
.
tiω
sin (kx sin) sin (ky cos), (2.12)
e
0
Условия получения узлов на границах ограждающей конструкции будут
обеспечены при наличии соотношений [37]:
m
n
2a
λ
2b
λ
αsin
αcos
, (2.13)
byna
где m, n – числа длин проекций свободных полуволн по сторонам a и b пластины соответственно; – длина изгибной волны в ограждении.
С учетом этих граничных условий выражение (2.12) можно представить в
следующем виде
xm
ti
tyx
ω
0
π
sinξe),,(ξ
sin
π
. (2.14)
При воздействии диффузного звукового поля смещения прямоугольной ограждающей конструкции в направлении оси z будут описываться бесконечным рядом по числам m и n [36]:
ti
tyx
ω
nm
1,
sinξe),,(ξ
mn
0
xm
π
sin
a
yn
π
b
, (2.15)
или
где (x, y)=
nm
sinξ
mn
0
1,
xm
π
a
sin
ti
yn
π
.
b
),,(ξe),,(ξ
yxtyx
(2.16)
ω
2.3. Самосогласование волновых полей
В предыдущем разделе были рассмотрены волновые явления, возникающие в ограждении конечных размеров с ОПС при воздействии на него звуковых
волн. При этом в каждый момент времени существуют определенные условия
самосогласования (соотношения) характеристик звуковых полей с обеих сторон
панели и характеристик собственного волнового поля ограждения [36]. Эти условия можно обеспечить при совместном выполнении соотношений (2.5) и
(2.13), что обеспечит согласованную картину образования узлов на краях пластины. Действительно, можно видеть, что из соотношений (2.5) и (2.13) следуют равенства [36]:
22
thЕ
αsinθsin
0
αcosθsin
, (2.15)
0
2 a
a
αsin
M
λ
2 b
b
αcos
N
λ
2
λ
2
λ
0
0
где a, b – размеры ограждения в плане; – угол падения (излучения) звуковых
волн; , 0 – углы падения свободной изгибной волны и звуковой волны в
плоскости пластины соответственно;
M
m
m
,
0
N
n
– коэффициенты само-
n
0
согласования длин проекций свободных и звуковых полуволн по сторонам a и b
панели соответственно.
В левой части выражений (2.15) записаны условия замкнутого движения
собственных волн в ограждающей конструкции, а в правой части – условия образования форм звукового давления в плоскости ограждения.
2.4. Резонансное прохождение звука через ограждение
Из рассмотрения системы уравнений (2.15) можно видеть, что самосогласование звуковых полей и волнового поля собственных колебаний ограждения
зависит от частоты падающих звуковых волн. Для дальнейшего исследования
резонансного прохождения звука через ограждающие конструкции с ОПС необходимо установить влияние самосогласования на излучение звука ограждением в различных частотных диапазонах. Это, в свою очередь, требует анализа
выражения для амплитуды собственных поперечных колебаний прямоугольной
панели. Решение данной задачи возможно выполнить либо путем решения
дифференциального уравнения относительно функции поперечного смещения
пластины (x,y), либо в рамках энергетического подхода. Распространяющаяся
в пластине изгибная волна малой амплитуды описывается известным уравнением [59], [60]
2
2
где – оператор Лапласа ( =
2
+
2
2
2
2
); – плотность материала огражде-
2
yx
ξ)ν1(ρ12
= 0, (2.16)
2
ния; – коэффициент Пуассона; Е – модуль упругости материала; h – толщина
ограждающей конструкции.
Первый вариант связан с решением уравнения (2.16) с учетом граничных
условий, определяемых способом закрепления пластины (например, шарнирно
опертый край, свободный край, заделанный край). В реальных условиях необходимо также учитывать влияние сил внутреннего трения. Все это затрудняет
получение общего аналитического решения задачи.
Второй вариант основан на использовании принципа наименьшего действия. Он устанавливает, что среди всех кинематически возможных перемещений
механической системы из одной конфигурации в другую, совершаемых за один
и тот же промежуток времени t1 – t0, действительным является то, для которого
физическая величина S (действие) является минимальной. В форме Остроградского-Гаусса под действием за промежуток времени t1 – t0 понимают величину
[36]
t
1
t
,
LdtS
(2.17)
0
где L – функция Лагранжа, которая при наличии внешних возмущающих сил и
диссипативных потерь энергии определяется выражением
L = T(
q
,
i
, t) – P(
i
q
) + W(
q
i
q
i
q
,
, t) – R(
i
q
,
, t), (2.18)
q
i
i
где T и P – кинетическая и потенциальная энергии системы соответственно;
W – работа возмущающих сил; R – работа диссипативных сил;
обобщенных координат;
q
– набор обобщенных скоростей.
i
– набор
q
i
Условие минимальности действия S обеспечивается равенством нулю ее
вариации: S = 0 или
t
1
.0)(δ
t
0
dtRWPT
Математически данное условие обеспечивается уравнениями ЛагранжаЭйлера вида [61]
24
a
b
d
dt
L
q
L
q
.0
ii
Решая задачу минимальности действия относительно амплитуд колебаний получим уравнение Лагранжа-Эйлера в следующем виде
t
1
)(
ξ
mno
t
0
dtRWVT
= 0. (2.19)
Выражения слагаемых подынтегральной части уравнения (2.19) раскрываем с использованием уравнения поперечных смещений пластин (2.16). При
этом вычисление интегралов производится стандартными методами с использованием таблиц [62]. Кинетическая энергия колебаний ограждения определяется как
2
tyx
),,(ξ
dxdy
.
T
a b
0 0
t
μ
2
После подстановки выражения (2.16) и взятия частной производной по времени
получаем следующее выражение [36]
2
2
2
0
1,
nm
,ξ
BT
mnmn
(2.20)
где
B
mn
a b
sin
0 0
xm
π
sin
a
μω
ω2
ti
e
yn
π
22
dxdy
.
b
Отметим, что при получении выражения (2.20) были учтены свойства ор-
тогональности функций
лы вида
a
0
sin
xm
π
sin
a
sin
a
xmπ
sin
и
xm
π
dx
и
ynπ
, которые состоят в том, что интегра-
b
0
sin
yn
π
b
sin
yn
π
dy
b
равны нулю, если
m m и n n (при m = m и n = n эти интегралы равны a/2 и b/2 соответственно.
(2.21)
(2.22)
2
(2.23)
Выполняя аналогичные математические действия и учитывая, что
a b
0 0
2
2
dxdy
2
yx
nm
m
1,
a
n
ππξξ
b
2
2
2
22
2
B
ξ
mnmn
0
, получаем выражение
для потенциальной энергии ограждающей конструкции [36]
2
22
n
b
2
B
0
mnmn
V
4
nm
mD
1,
a
π
ω
ti
e
2
где D – цилиндрическая жесткость ограждения с учетом ОПС.
В соответствии с намеченной выше схемой работа диссипативных сил
трения определяется из следующего выражения
2
0
1,
nm
,ξe
BR
mnmn
ω
ti
μ
2
ηω
где
i
– коэффициент, учитывающий диссипативные потери в ог-
mn
2
,ξ
раждающей конструкции. Здесь – коэффициент внутренних потерь огражде-
2
ния;
mn
2
2
πω
mD
2
μ
a
n
.
2
b
В формулу для работы внешних сил входит суммирование по составляющим звукового давления и по смещениям пластины [36]
1, 0,
nm nm
sin
,ξe
BPW
00
nmmn
00
yn
π
00
dxdy
00
.
b
где
B
a b
0 0
sin
xm
π
sin
a
ω
ti
yn
π
xm
π
sin
b
a
Результат интегрирования зависит от соотношения между наборами чисел m, n и m0, n0, поэтому выражение (2.23) подставляем в уравнение ЛагранжаЭйлера без преобразований.
В соответствии с полученными выше формулами, уравнение (2.19) с учетом работы сил внутреннего трения приобретает вид [36]
26
t
1
ξ
mno
t
0
μ
ω2cos
2
1,
nm
22
2
0
mnmn
nm nm
1, 0,
00
00
dtBPBit
nmmnmn
00
(2.24)
Произведя интегрирование по временному интервалу от t0 = 0 до t1 =
= /2 = Т/4, где Т – период поперечных колебаний пластины найдем, что
.0ξξ)η1(ωω
ξ
omn
μ
2
1, 1, 0,
22
2
0
nm nm nm
00
00
nmmnmnmnmn
00
(2.25)
.0ξξ)η1(ωω
BPBi
Дифференцируя выражение (2.25), находим выражение для амплитуд поперечных смещений ограждающей конструкции
1, 0,
nm nm
00
22
BPBi
00
nmmnmnmn
00
.0ξ)η1(ωω
Отсюда для каждого набора m, n и m0, n0 получаем следующее [36]
BP
nm
0
ξ
mn
0
00
22
ω)η1(ωμ
. (2.26)
Bi
mnmn
B
Введем обозначение: величина
A
– характеристика самосогласо-
B
mn
вания звукового поля и поля собственных колебаний панели [36], которая определяется по формуле
A
a b
sin
0 0
a
a b
0 0
π
xm
sin
sin
yn
π
sin
b
xm
π
2
0
sin
a
xm
π
sin
a
yn
π
2
0
b
00
dxdy
yn
π
dxdy
b
, (2.27)
где m, n – числа длин проекций собственных полуволн по сторонам a и b ограждения соответственно; m0, n0 – то же для звукового поля.
В соответствии с проведенным обозначением, амплитуда поперечных
смещений рассматриваемой панели с ОПС определится из выражения [36]
AP
nm
00
, (2.28)
2
ωμ
p
0
ξ
0
mn
)
. (2.31)
222
]ω)η1(ω[ω
где – поверхностная плотность ограждения с ОПС;
mnр
i
,
где mn = 2 fmn, fmn – частота собственных колебаний ограждения; – коэффициент внутренних потерь ограждения.
Из выражения (2.28) следует, что численное значение амплитуды колебаний зависит от соотношения чисел m и m0, n и n0 и наибольший отклик пластины в резонансном режиме на воздействие звуковых волн будет в трех случаях
самосогласования полей [37]:
m = m0, n = n0; (2.29)
m = m0, n n0; (2.30a)
m m0, n = n0; (2.30б
m m0, n n
0
1) Условие (2.29) соответствует случаю полного самосогласования характеристик свободных упругих волн с аналогичными характеристиками звуковых
волн. При этом полностью совпадают узловые линии m0n0 -ой формы распределения звукового давления в плоскости ограждения с узловыми линиями mn-ой
формы собственных колебаний ограждения.
Такой случай самосогласования называется полным пространственным
резонансом (ППР) [37]. При этом уравнения самосогласования (2.15) преобразуются в известное условие волнового совпадения 5
k = k0 sin или c = c0 / sin, (2.32)
где с – скорость распространения свободных изгибных волн в пластине;
c
/sin – скорость распространения звуковых волн, вдоль поверхности пласти-
0
ны; – угол падения звуковых волн на поверхность пластины.
В условиях ППР коэффициенты M = 1, N = 1, = 0, а выражение смеще-
ний ограждения (2.28) переписывается как [36]
ξ
0
mn
где характеристика самосогласования Amn = 1.
28
AP
0
mnnm
00
, (2.33)
2
ωμ
p
Наименьшая частота, при которой начинают выполняться условия (2.29) называется граничной частотой области ППР и определяется из совместного решения уравнений (2.15) [37]
2
c
f
mn
Г
0
2
μ
, (2.34)
D
θsinπ2
где – наибольший угол падения звуковых волн на поверхность ограждающей
конструкции, при котором выполняются условия (2.29).
2) При выполнении условий (2.30) характеристики собственных изгибных
волн в рассматриваемом ограждении и характеристики звуковых волн совпадают не полностью, а только по одной из сторон панели. При этом скорости
следов свободной и звуковой волн по одной стороне пластины равны между
собой, а по другой стороне не совпадают, но находятся в таком соотношении,
при котором отклик пластины максимальный. Такой случай самосогласования
волновых полей называется неполным пространственным резонансом (НПР)
[37].
а) Условие (2.30а) соответствует случаю, когда совпадение волновых характеристик происходит по стороне а панели. При этом амплитуда поперечных
колебаний ограждения определяется как [36]
AP
ξ
0
mn
0
где характеристика самосогласования
A
mn
0
0
A
mnnm
000
, (2.35)
2
ωμ
p
определяется из выражения (2.27)
mn
0
πsin2
nn
0
. (2.36)
2
2
)(π
nn
0
б) Условие (2.30б) соответствует случаю, когда совпадение волновых характеристик происходит по стороне b панели. При этом амплитуда поперечных
колебаний ограждения определяется как [36]
AP
ξ
0
0
где характеристика самосогласования
0
nm
A
nmnm
000
, (2.37)
2
ωμ
p
определяется из выражения (2.27)
nm
0
πsin2
mm
A
nm
0
2
0
. (2.38)
2
)(π
mm
0
Выражения (2.35) и (2.37) включают в себя множители sinn0 и sinm0
соответственно. Следовательно, максимальная амплитуда колебаний ограждающих конструкций будет обеспечена при следующих наборах чисел m и n
[37]:
m = m0, n0 = 1/2, 3/2, 5/2, …
и n = n0, m0 = 1/2, 3/2, 5/2, …, то есть при
М = 1; N = 2n, 2n/3, 2n/5, …;
и N = 1; M = 2m, 2m/3, 2m/5, …
Граничную частоту области НПР можно определить из уравнений (2.15)
следующим образом [36]:
2
или
c
f
mn
Г
0
f
nm
Г
0
0
2
c
0
2222
2222
μ
DN
)αcosα(sinθsinπ2
μ
. (2.39)
DМ
)αcosαsin(θsinπ2
3) Случай самосогласования волновых полей (2.20) называется простым
пространственным резонансом (ПрПР) [37]. При этом формы распределения
звукового давления и формы собственных колебаний ограждения не совпадают
друг с другом ни по одной из сторон пластины, но находятся в таком соотношении, что излучаемая звуковая мощность еще отличается повышенной интенсивностью. Амплитуда поперечных колебаний ограждения при этом определяется как [36]
AP
ξ
0
nm
00
где характеристика самосогласования
A
nm
00
0
A
22
nmnm
0000
, (2.40)
2
ωμ
p
определяется из (2.27)
nm
00
πsinπsin4
nmmn
00
. (2.41)
2
0
22
)()(π
nnmm
0
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]