Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет системы здание - фундамент - основание с использованием модели двухслойной балки на упругом основании винклеровского типа. Учебное пособие
.pdf
,
ii
v
2. ИЗГИБ ДВУХСЛОЙНОЙ БАЛКИ ПЕРЕМЕННОЙ
ПО ДЛИНЕ ЖЕСТКОСТИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
С УЧЕТОМ МАССОВЫХ СИЛ
В настоящем разделе приводится расчет двухслойной балки переменной по длине жесткости на упругом основании с учетом массовых
сил. Нижний слой балки (h1, E1) моделирует фундамент, а верхний (h2,
E2) — конструкцию, при этом учитывается собственный вес каждого
слоя (1, 2). Характеристики верхнего слоя являются переменными по
длине балки величинами.
Решение задачи получено с помощью метода начальных параметров [23]. Пролет балки делится на ряд участков, для каждой точки разбиения записывается выражение прогибов, которое приравнивается к
соответствующим осадкам поверхности основания. При этом изменение жесткости по длине каждого участка предполагается постоянным,
т.е. рассматривается балка кусочно-постоянной жесткости.
Пусть балка имеет n участков равной длины а, занумерованных от 0
до n. Точки разбиения имеют абсциссы xi = ia (i = 0, 1, 2,…, n) (рис. 5).
Рис. 5. Балка переменной жесткости на упругом основании
Для каждого сечения можно записать уравнение:
(15)
21
)()()(
00
qvpvvvv
iiii
,0
2
2...22
1210
вnn
Y
a
ppppp
,0
6
6...261613
2
1210
nвnn
M
a
pppnpnpn
.
1
С
p
i
i
где vi — прогиб (вертикальное перемещение) балки в точке i;
i — осадка поверхности основания.
Здесь vi и i необходимо выразить в функциях неизвестных реактивных давлений p0, p1, p2,…, pn и известной внешней нагрузки.
Рассматриваемая балка имеет свободные концы, где M и Q отсутствуют, поэтому для нее прогиб любого сечения i можно представить в виде:
. (16)
При выводе формул прогибов от реактивных давлений основания
vi(p) в общем случае криволинейная эпюра реакций заменяется кусочно-линейной с переломами в точках i = 0, 1, 2, …, n. Поскольку на от-
дельных участках балки эпюра реакций имеет вид трапеции, то, поделив каждую такую трапецию на два треугольника, можно составить
выражения для прогибов сечений 1, 2, 3, …, n.
Осадки поверхности основания согласно гипотезе Винклера равны:
(17)
Составляя уравнения (15) последовательно для каждого сечения и
учитывая формулы (16) и (17), будем иметь ряд уравнений, которые
совместно с двумя уравнениями равновесия (∑Y = 0, ∑M = 0) решают
поставленную задачу.
Сумма проекций всех сил на вертикальную ось:
где Yв — сумма проекций всех внешних сил на вертикальную ось.
Сумма моментов всех сил относительно точки n:
где Мnв — сумма моментов всех внешних сил относительно точки n,
расположенной на правом конце балки.
22
(18)
(19)
.
2
;
2
2
2
,1
11
11
,
ii
ii
прi
ii
ii
прi
EIdaEIc
EIEIа
EI
EIcaEId
EIEIа
EI
.
2
11
11
,
ii
ii
прi
EIEI
EIEI
EI
a a
a
a
a
i
-1
i i
+1
i
+2i-1
i i
+1
c
d
,2
2
в
1
1
0 i
i
j
iji
Qppp
а
Q
Совместное решение уравнений (15)—(19) дает возможность определить все неизвестные значения реакций основания и начальных параметров.
В случае скачкообразного изменения приведенной изгибной жесткости балки следует находить значение приведенных изгибных жесткостей ближайших занумерованных сечений. При расположении скачка
между занумерованными сечениями (рис. 6, а) имеем формулы:
(20)
Если скачок совпадает с границей двух участков (рис. 6, б), то:
(21)
а б
Рис. 6. Примеры расположения мест изменения жесткости балки:
а — между занумерованными сечениями; б — в занумерованном сечении
После определения реакций основания p0, p1, p2,…, pn вычисляются
значения поперечных сил и изгибающих моментов.
Поперечная сила в сечении i подсчитывается по формуле:
где Qiв — поперечная сила в сечении i от внешней нагрузки.
23
(22)
,613
6
в
1
1
0
2
i
i
j
iji
Mppjipi
а
M
.
1
С
p
v
i
i
Выражение для определения изгибающего момента в сечении i:
(23)
где М
— изгибающий момент в сечении i от внешней нагрузки.
iв
Прогибы балки определяются по формуле:
(24)
Пример расчета
Рассмотрим изгиб двухслойной балки с переменным по длине
поперечным сечением, свободно лежащей на упругом винклеровом
основании, со следующими характеристиками: L = 30 м, b = 1 м, C1 =
50000
3
кН/м
; h1 = 1 м, Е1 = 3107 кПа, 1 = 25
3
кН/м
; при x(0,5) и при
x(25,30) h2 = 0, Е2 = 0, 2 = 0; при x(5,25) h2 = 6 м, Е2 = 3106 кПа, 2 =
10 кН/м3 (рис. 7, а).
Также рассмотрим исходную задачу в традиционной постановке,
то есть решим задачу изгиба однослойной балки с постоянным по
длине поперечным сечением, свободно лежащей на упругом винклеровом основании, с характеристиками, приведенными выше, за одним
исключением. На участке x(5,25) м модуль упругости верхнего слоя не
задается, поскольку он в данной расчетной схеме отсутствует (рис. 7, б).
Задача в такой постановке решается аналогично предыдущей, только
изгибная жесткость балки является постоянной по всей длине.
Разобьем длину балки на 6 участков равной длины a = 5 м. Вследствие симметрии неизвестными будут только четыре значения погонных
интенсивностей реакций в точках 0, 1, 2 и 3 (p0 = p6, p1 = p5, p2 = p4, p3).
Составляя уравнения (15) для сечений 0, 1, 2, 3 и учитывая формулы (16) и (17), будем иметь 3 уравнения, которые совместно с уравнением равновесия ∑Y = 0 решают поставленную задачу. Решая эти уравнения, определяем значения неизвестных p0, p1, p2, p3.
Приведенная изгибная жесткость двухслойной балки определяется
по формуле (8). Изменение жесткости по длине каждого участка предполагается постоянным, т.е. рассматривается балка кусочно-
24
постоянной жесткости. При этом в сечении, где приведенная изгибная
жесткость меняется скачкообразно, используется формула (21).
а
б
Рис. 7. Расчетные схемы изгиба двухслойной (а) и однослойной (б) балок
на упругом основании
После определения погонных интенсивностей реакций находятся
внутренние усилия в сечениях согласно формулам (22) и (23). Прогибы
балки определяются по формуле (24).
С целью сравнения результатов расчетов в табл. 1 приведены мак-
симальные значения внутренних усилий и вертикальных перемещений,
возникающих при изгибе двухслойной и однослойной балок на
упругом винклеровом основании.
25
Расчетная
схема
Максимальное
значение
вертикальных
перемещений,
мм
Максимальное
значение
изгибающих
моментов,
кНм
Максимальное
значение
поперечных
сил, кН
Однослойная балка
(традиционная постановка
задачи)
1,80
53,2
49,5
Двухслойная балка
(совместный расчет)
1,67
1929,0
235,3
Как видно из таблицы, значения внутренних усилий, определенных
в результате совместного расчета, существенно больше, что связано с
существенно отличающейся изгибной жесткостью двухслойной балки
по сравнению с однослойной. В результате расчета с учетом жесткости
надфундаментной конструкции максимальное значение вертикальных
перемещений несколько снижается относительно значения, полученного при решении задачи в традиционной постановке.
Таблица 1
Максимальные значения внутренних усилий
и вертикальных перемещений
Зная значения внутренних усилий, можно определить напряжения
согласно формулам, приведенным в п. 1. На рис. 8 представлены эпюры
нормальных (х) и касательных (ху) напряжений.
На основании построенных эпюр выявим разницу в результатах
расчета по схемам однослойной и двухслойной балок:
1. Нормальные напряжения
личны от значений напряжений, полученных при решении задачи в
традиционной постановке в связи с существенно отличающейся изгибной жесткостью двухслойной балки по сравнению с однослойной, а
также значительно большими изгибающими моментами в двухслойной
балке.
2. Касательные напряжения в двухслойной балке, несмотря на по-
лучающиеся большие внутренние усилия, по сравнению с напряжениями в однослойной балке уменьшаются, поскольку поперечное сечение
двухслойной балки существенно увеличивается.
, возникающие в фундаменте, от-
х
26
а
б
Рис. 8. Эпюры нормальных (а) и касательных (б) напряжений,
возникающих в двухслойной балке переменной по длине жесткости (—)
и в однослойной балке (- - -)
Таким образом, подтверждаются основные закономерности, проявляющиеся при совместных расчетах, связанные с изменением в поле
напряжений в конструкциях здания.
27
На рис. 9 приведены эпюры прогибов рассматриваемых двухслойной и однослойной балок.
Рис. 9. Эпюры прогибов двухслойной (—) и однослойной (- - -) балок
Из рисунка видно, что абсолютная величина максимальной осадки
меняется незначительно, однако весьма существенно изменяются вычисленные неравномерности осадок. Поэтому, если бы мы ограничились расчетом осадки, у нас создалось бы ложное впечатление о том,
что учет совместной работы основания и надземных конструкций не
привел к существенному изменению результата. Однако известно, что
по одной величине абсолютной осадки невозможно судить об опасности развития деформаций для здания. Необходимо провести совместный
расчет с определением усилий, возникающих в конструкциях здания.
Таким образом, для расчета двухслойной балки переменной по
длине жесткости на упругом основании с учетом массовых сил можно
использовать методику, описанную выше, а напряжения можно определить, используя полученные значения внутренних усилий, согласно
формулам раздела 1 настоящего пособия.
Представленные в настоящем пособии формулы можно использовать и для решения задачи изгиба двухслойной балки на упругом винклеровом основании с переменным коэффициентом постели.
Можно заключить, что для получения более достоверного прогноза НДС системы здание — фундамент на упругом основании с учетом
их совместной работы целесообразно проводить расчеты с использованием контактной модели в виде двухслойной балки переменной по
28
длине жесткости на упругом основании винклеровского типа, которая
позволяет учесть такие факторы как изменение жесткости основания и
учет жесткости надфундаментной конструкции.
Вопросы для самоконтроля
Дайте описание постановки задачи изгиба двухслойной балки переменной по длине жесткости на упругом основании с постоянным коэффициентом постели с учетом массовых сил.
1. Каков общий путь расчета балки переменной по длине жестко-
сти на упругом основании? В чем состоит усложнение расчета такой
балки по сравнению с расчетом балки постоянной по длине жесткости?
2. Приведите уравнения, совместное решение которых дает воз-
можность определить неизвестные значения реакций основания и
начальных параметров.
3. Как определяется значение приведенной изгибной жесткости
балки в случае скачкообразного ее изменения?
4. Укажите формулы для нахождения значений внутренних уси-
лий, возникающих в поперечных сечениях балки переменной по длине
жесткости при изгибе.
5. Приведите формулу для определения прогибов балки на упру-
гом основании.
6. Обозначьте формулы, согласно которым находятся напряжения,
возникающие при изгибе двухслойной балки переменной по длине
жесткости на упругом основании с учетом массовых сил.
7. Выявите основное следствие учета совместной работы кон-
струкций здания с фундаментом и основанием.
8. Обозначьте закономерности, проявляющиеся при совместном
расчете здания, фундамента и основания.
9. Укажите: какие изменения происходят в поле напряжений в
конструкциях здания в условиях совместной работы здания, фундамента и основания.
10. Обоснуйте необходимость совместного расчета здания, фунда-
мента и основания. Каково назначение расчета системы здание — фундамент — основание?
Задача для самостоятельного решения
Решить задачу изгиба двухслойной балки с переменным по длине
поперечным сечением, свободно лежащей на упругом винклеровском
основании с переменным коэффициентом жесткости основания. Ис-
29
ходные данные: L = 30 м, b = 1 м; h1 = 1 м, Е1 = 3107 кПа, 1 = 25
при x(0,5) и при x(25,30) h2 = 0, Е2 = 0, 2 = 0; при x(5,25) h2 = 6 м,
Е
= 3106 кПа, 2 = 10 кН/м3; при x(0,10) м и x(20,30) м C1 = K1 = К3 =
2
50000 кН/м
Рис. 10. Расчетная схема изгиба двухслойной балки на упругом основании с
3
, при x(10,20) м C1 = K2 = 0,5K1 (рис. 10).
переменным коэффициентом постели
В задаче необходимо:
дать описание постановки задачи изгиба двухслойной балки пе-
ременной по длине жесткости на упругом основании с переменным коэффициентом постели с учетом массовых сил;
определить значения приведенных изгибных жесткостей балки;
найти значения внутренних усилий, возникающих в поперечных
сечениях, а также прогибы балки;
построить эпюры нормальных напряжений х и касательных ху
напряжений;
на основании полученных результатов обозначить закономер-
ности, проявляющиеся при совместном расчете здания, фундамента и
основания.
кН/м
3
;
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]