Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет системы здание - фундамент - основание с использованием модели двухслойной балки на упругом основании винклеровского типа. Учебное пособие
.pdf
в
y
н
y
C
z
2/1нhyy
C
)2/(
12в C
yhhy
)(
2
22
3
3
1
)1(
нxy
yy
dx
vd
E
)(
2
22
3
3
2
)2(
вxy
yy
dx
vd
E
)2()1(
xyxy
2/*
1
hyyy
C
)*)(*(
2
]*)[(
2
*)(
3
3
1
22
3
3
1
)1(
нннxy
yyyy
dx
vd
E
yy
dx
vd
E
yy
1н
* hyy
C
yyy 2*
н
3
3
2211
212121
1
3
3
1
)1(
)(2
)(
2
2
*)(
dx
vd
hEhE
hhhhEE
hy
dx
vd
E
yy
Cxy
)*)(*(
2
]*)[(
2
*)(
вв
3
3
2
2
в
2
3
3
2
)2(
yyyy
dx
vd
E
yy
dx
vd
E
yy
xy
2в
* hyy
21в
2* hhyyy
C
.
)(2
)(
)2(
2
*)(
3
3
2211
212121
212
3
3
2
)2(
dx
vd
hEhE
hhhhEE
hhyh
dx
vd
E
yy
Cxy
где
и
них волокон:
— соответственно расстояния от оси
до верхних и ниж-
;
.
Окончательные выражения для касательных напряжений в первом
и втором слоях балки имеют вид:
;
. (3)
Проверим равенство касательных напряжения
уровне, соответствующем границе между слоями (
Напряжения в первом слое равны:
Учитывая, что
и
, получим:
на
).
.
. (4)
Аналогично во втором слое:
;
;
;
Последнее выражение совпадает с (4).
11
,
2
22
4
4
)()(
ii
i
i
i
xy
i
y
yy
dx
vd
Е
xy
н
yyi
в
yyi
).(
32
3
2
4
4
xfy
y
yy
dx
vd
Е
iii
i
yi
yi
,,)3
;*,)2
;0,)1
11н
12
2в
vСyy
yy
yy
y
yy
y
)(1xf
)(2xf
yi
;)(
3
2
32
1н1
3
н
3
2
н
4
4
1
1
vСyy
y
y
yy
dx
vd
Е
y
).(
3
2
32
в2
3
3
2
в
4
4
2
2
yy
y
y
yy
dx
vd
Е
в
y
qvС
dx
vd
EI
z
1
4
4
Подставляя равенства (3) во второе уравнение (1), получим:
(5)
где
для первого слоя и
для второго слоя. Интегрируя
(5), найдем выражения для напряжений y:
Напряжения
должны удовлетворять следующим граничным
условиям:
где С
— коэффициент постели основания.
1
Из первого и третьего граничных условий можно определить
функции
и
, после чего выражения для напряжений
принимают вид:
(6)
Из второго граничного условия получим уравнение:
, (7)
12
2211
hhq
z
EI
.
3
2
3
*)(
*
23
2
3
*)(
*
2
3
н
3
2
н
1
3
в
3
2
в
2
y
y
yy
Еy
y
yy
E
EI
z
в
y
н
y
*y
2211
IEIEEI
z
x
где
ляемая равенством:
, а
— приведенная жесткость сечения, опреде-
Подставив в это выражение значения
,
и
, можно пока-
зать, что
. (8)
Заметим, что полученное уравнение (7) будет отличаться от урав-
нения, соответствующего переносу объемных сил, действующих в слоях двухслойной балки к поверхностной нагрузке (рис. 1, а), тем, что
изгибная жесткость в этих двух уравнениях будет разная, что должно
привести к различиям в прогибах и, соответственно, к другим реактивным усилиям.
1.2. ИЗГИБ ДВУХСЛОЙНОЙ БАЛКИ НА УПРУГОМ
ОСНОВАНИИ С ПОСТОЯННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
ПОСТЕЛИ С УЧЕТОМ МАССОВЫХ СИЛ
И ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА
В настоящем разделе приводится расчет двухслойной балки с уче-
том деформаций сдвига, нижний слой которой (h1, E1, 1) моделирует
фундамент, а верхний (h2, E2, 2) — конструкцию, при этом учитывается собственный вес каждого слоя (1, 2) (рис. 1, б).
Вывод формулы для напряжений y и уравнения изгиба
двухслойной балки на упругом основании
с учетом деформаций сдвига
Определим касательные напряжения в слоях, для чего воспользу-
емся формулой для нормальных напряжений
с учетом сдвигов [2]:
13
в многослойной балке
2
2
EI
y
dx
dQ
GF
K
EI
dx
vd
EIE
EI
yME
z
zz
i
z
zi
xi
,
2
2
2
2
ypq
GF
K
dx
vd
E
EI
y
dx
dQ
GF
K
EI
dx
vd
EIE
EI
yME
i
z
zz
i
z
zi
xi
z
EI
GF
2211
FGFGGF
vСp1
)(
3
3
y
dx
xpqd
GF
K
dx
vd
E
xy
i
x
xy
).(
2
)(
2
1
3
3
)(
3
3
xg
y
dx
dv
GF
KC
dx
vd
E
y
dx
xpqd
GF
K
dx
vd
E
xy
ii
i
xy
i
x
xy
i
g
0
xy
(9)
где
— приведенная изгибная жесткость сечения;
— приведенная сдвиговая жесткость сечения;
K — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения, для
прямоугольного поперечного сечения К = 1,2;
p — реактивный отпор основания.
Приведенная сдвиговая жесткость сечения определяется суммой
сдвиговых жесткостей каждого из слоев:
,
где G1, G1 — модули сдвига материала соответственно 1, 2 слоя балки.
Зависимость между реактивным отпором основания и осадкой его
поверхности предполагается линейной и записывается в следующем
виде:
, где С
— коэффициент постели основания.
1
Подставляя (9) в первое уравнение (1) и интегрируя, находим выражение для касательных напряжений
(10)
Найдем функции
из условий
14
в крайних волокнах:
в
yy
)2(
xy
2
)(
2
в1
3
3
22
y
dx
dv
GF
KC
dx
vd
Exg
н
yy
)1(
xy
2
)(
2
н1
3
3
11
y
dx
dv
GF
KC
dx
vd
Exg
в
y
н
y
C
z
2/1нhyy
C
)2/(
12в C
yhhy
);(
2
2
в
2
1
3
3
1
)1(
yy
dx
dv
GF
KC
dx
vd
E
xy
)(
2
);(
2
2
н
2
1
3
3
2
)2(
2
в
2
1
3
3
1
)1(
yy
dx
dv
GF
KC
dx
vd
E
yy
dx
dv
GF
KC
dx
vd
E
xy
xy
,
2
22
2
2
1
4
4
)()(
ii
i
i
i
xy
i
y
yy
dx
vd
GF
KC
dx
vd
Е
xy
н
yyi
в
yyi
:y
).(
32
3
2
2
2
1
4
4
xfy
y
yy
dx
vd
GF
KC
dx
vd
Е
iii
i
yi
где
,
,
и
— соответственно расстояния от оси
0
0
до верхних и ниж-
них волокон:
;
.
Окончательные выражения для касательных напряжений в первом
и втором слоях балки имеют вид:
.
.
;
,
(11)
Подставляя равенства (10) во второе уравнение (1), получим:
(12)
где
(12), найдем выражения для напряжений
для первого слоя и
для второго слоя. Интегрируя
15
yi
.,)3
;*,)2
;0,)1
11н
12
2в
vСyy
yy
yy
y
yy
y
)(1xf
)(2xf
yi
;)(
3
2
32
1н1
3
н
3
2
н
2
2
1
4
4
1
1
vCyy
y
y
yy
dx
vd
GF
KC
dx
vd
Е
y
).(
3
2
32
в2
3
в
3
2
в
2
2
1
4
4
2
2
yy
y
y
yy
dx
vd
GF
KC
dx
vd
Е
y
qvС
dx
vd
K
GF
EI
С
dx
vd
EI
z
z
1
2
2
1
4
4
2211
hhq
z
EI
Напряжения
условиям:
Из первого и третьего граничных условий можно определить
функции
принимают вид:
Из второго граничного условия получим уравнение:
должны удовлетворять следующим граничным
и
, после чего выражения для напряжений
(13)
,
где
;
— приведенная изгибная жесткость сечения, определяемая ра-
венством (8).
Пример расчета
Рассмотрим изгиб шарнирно закрепленной двухслойной балки с постоянным по длине поперечным сечением, лежащей на упругом винклеровом основании, со следующими характеристиками: h1 = 1 м, h2 = 8 м,
Е
= 107 кПа, Е2 = 106 кПа, 1 = 25 кН/м3, 2 = 2,5 кН/м3, L = 50 м, b = 1 м,
1
С
= 50000 кН/м3 (рис. 3).
1
16
(14)
1 21
2
h
121
2
h
б)
y
1
y
2
x
х
1
2
y
x
С
С
L
1
3
2
2
0
40
4)( Y
q
Y
Q
YEIM
z
1
4
4
3
0
2
0
1
4
)( Y
EI
q
Y
EI
Q
Yv
zz
.
4
4
1
z
EI
bC
0)()(, LMLvLx
x
Рис. 3. Расчетная схема изгиба шарнирно закрепленной
двухслойной балки на упругом основании
Используя функции А.Н. Крылова [2, 15] и переходя к новой переменной = x, запишем выражения для прогибов и моментов при данных условиях закрепления балки:
;
,
где
Из граничных условий
известные начальные параметры.
Напряжения x, xy и y определяются по формулам (2), (3) и (6).
Эпюры напряжений приведены на рис. 4 (эпюра
ния x = 8, эпюра
(x) и касательных (xy) напряжений в двухслойной балке (см. рис. 4):
Обратим внимание на следующие особенности эпюр нормальных
1. Эпюры нормальных (
— в центре балки, эпюра
y
имеют разрыв (скачок), так как модули упругости фундамента и
надфундаментной конструкции различны (см. формулы для определения нормальных напряжений (2)).
2. По высоте сечения при переходе от одного слоя к другому, если
на эпюрах нормальных напряжений (x) наблюдается скачок, в эпюре
определяются не-
построена для сече-
— для сечения x = 0).
xy
x
) напряжений на границе двух слоев
17
z
1
z
С
z
2
y
С
35
8,1
1358151
26
35
34
,кПа
х
,кПа
у
,кПа
хy
касательных напряжений скачки отсутствуют (xy), в этом уровне в
эпюрах
приведенными на рис. 1, а и б, отметим следующие существенные отличия в результатах:
нии при рассмотрении двухслойной балки содержит приведенную изгибную жесткость, существенно отличающуюся от жесткости однослойной балки;
изгибается однослойная балка, моделирующая фундамент, при рассмотрении же двухслойной балки оба слоя деформируются совместно,
при этом нейтральный слой смещается в сторону верхнего слоя, откуда
следует, что вся фундаментная плита может находиться в условиях растяжения, как это имеет место в представленном примере;
ственным образом отличаются от напряжений в общепринятой постановке задачи, в которой они имеют наибольшую величину y = -q на
верхней грани балки.
имеют место точки перелома.
xy
Рассматривая в целом различия между двумя постановками задачи,
дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основа-
если вес слоев балки приводится к поверхностной нагрузке, то
эпюры напряжений y при учете собственного веса слоев суще-
Рис. 4. Эпюры напряжений в двухслойной балке
1. Дайте описание постановки задачи изгиба двухслойной балки
на упругом основании с постоянным коэффициентом постели с учетом
массовых сил с целью совместного расчета здания, фундамента и основания. Укажите отличие от традиционной постановки задачи.
Вопросы для самоконтроля
18
2. Как определяются приведенные характеристики сечения двух-
слойной балки?
3. Укажите формулу для определения нормальных напряжений x
в многослойной балке.
4. Обозначьте формулу для определения касательных напряжений
xy, осуществите вывод этой формулы.
5. Приведите формулу для определения нормальных напряжений
y, дайте вывод этой формулы.
6. Приведите уравнение изгиба двухслойной балки на упругом ос-
новании. Проследите вывод этого уравнения.
7. Какой метод используется для решения поставленной задачи
изгиба двухслойной балки на упругом основании с постоянным коэффициентом постели? Что такое функции Крылова?
8. Каковы существенные особенности эпюр нормальных (
сательных (xy) напряжений в многослойной балке.
9. Объясните отличие эпюр нормальных
собственного веса слоев от напряжений в общепринятой постановке
напряжений при учете
y
задачи.
10. Выделите основные различия между двумя постановками зада-
чи для модели двухслойной балки (совместный расчет) и для модели
однослойной балки (традиционная постановка задачи).
11. Дайте описание постановки задачи изгиба двухслойной балки
на упругом основании с постоянным коэффициентом постели с учетом
массовых сил и деформаций сдвига.
12. Укажите формулу для определения нормальных напряжений x
в многослойной балке с учетом сдвигов.
13. Обозначьте формулу для определения касательных xy напряже-
ний с учетом сдвигов, осуществите вывод этой формулы.
14. Приведите формулу для определения нормальных напряжений
y для каждого слоя балки с учетом сдвигов.
15. Приведите уравнение изгиба двухслойной балки с учетом сдви-
гов на упругом основании. Проследите вывод этого уравнения.
) и ка-
x
Задача для самостоятельного решения
Решить задачу изгиба шарнирно закрепленной двухслойной балки на упругом винклеровом основании с учетом массовых сил и деформаций сдвига. Исходные данные: h1 = 1 м, h2 = 8 м, Е1 = 107 кПа,
19
Е
= 106 кПа, 1 = 25 кН/м3, 2 = 2,5 кН/м3, 1 = 0,2, 2 = 0,25, L = 50 м,
2
b = 1 м, С1 = 50000 кН/м3.
В задаче необходимо:
дать описание постановки задачи изгиба двухслойной балки на
упругом основании с постоянным коэффициентом постели с учетом
массовых сил и деформаций сдвига;
определить приведенные изгибную и сдвиговую жесткости се-
чения;
построить эпюры нормальных напряжений x, у и касательных
напряжений;
xy
обозначить основные различия в результатах расчетов двух-
слойной балки на упругом основании с постоянным коэффициентом
постели без учета деформаций сдвига (см. пример расчета) и с учетом
деформаций сдвига.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]