Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчёт статически неопределимых систем. Методические рекомендации
.pdf
41
4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который задается с помощью узловых значений этой величины.
Для каждого элемента определяется свой полином. Однако полиномы соседних элементов подбираются таким образом, чтобы сохранить непрерывность искомой величины вдоль границы элементов. Этот полином принято
называть функцией формы элемента.
Рис. 30. Распределение температур в однородном стержне (а), (в)
и расположение узлов (б)
Рис. 32. Деление области на линейные (а) и квадратичные (б) конечные элементы
T
Tx
хL
х
0
б
в
112
2
3
3
4
4
5
5
1
T
5
T
4
T3T
2
T
a
4T3
T
2
T
1
T
2
T
3T4T5
T
122
3
3
4
4
5
T
5
T1T
2
T
3T4
T
х
1
2
345
T
5
T
1
T
2T3
T
4
T
х
1
234
5
a
б
42
Рис. 33. Двухмерные конечные элементы
у
х
у
х
a
б
43
5. Значения неизвестных в узлах (например,
12
, ,TT
) должны обеспе-
чить «наилучшее» приближение к истинному распределению температуры.
Эта процедура осуществляется путем минимизации некоторой величины,
связанной с физической сущностью задачи.
Аналогично могут быть решены двух- и трехмерные задачи (рис. 32).
Преимущества:
• свойства материалов смежных элементов могут быть различными (многослойные оболочки);
• высокая точность описания криволинейных областей;
• возможно измельчение сетки;
• возможно моделирование различных нагрузок и различных граничных условий;
• достаточная общность программных пакетов МКЭ.
Недостатки:
• необходимость составления вычислительных программ и применения вычислительной техники;
• высокие требования к скорости вычислений и объему оперативной памяти;
• появление и накопление ошибок округления при большом числе
уравнений.
Первый недостаток смягчается наличием программных комплексов
МКЭ (NASTRAN, ASKA, ANSYS, ADYNA и др.).
5.2. Дискретизация области. Типы конечных элементов
Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и
формы подобластей (конечных элементов), которые используются для построения дискретной модели реального тела. Здесь действуют две тенденции:
• элемент должен быть выбран достаточно малым, чтобы полу-
чить приемлемую точность;
• с другой стороны, применение достаточно крупных элементов
(например, с квадратичной или кубической аппроксимацией перемещений)
существенно сокращает вычислительные затраты.
При дискретизации могут быть использованы следующие типы конечных элементов:
1. Одномерные элементы (рис. 33).
2. Двухмерные элементы (рис. 34).
Для построения дискретной модели двухмерной области используются два основных семейства конечных элементов: треугольники и четырехугольники, которые в свою очередь могут быть линейными, квадратичными и кубичными.
44
Оба семейства могут быть использованы одновременно, если только
они имеют одинаковое число узлов по стороне. Толщина элемента может в
общем случае являться функцией координат.
Рис. 34. Некоторые одномерные элементы
Рис. 35. Некоторые типы двухмерных конечных элементов
Рис. 36. Осесимметричный конечный элемент
a
б
в
а
б
z
r
45
3. Конечные элементы для моделирования тел цилиндрической
формы. Эти элементы подобны двухмерному треугольнику или четырехугольнику и позволяют дополнительно учесть изменение неизвестной величины вдоль третьей координаты. Такой подход широко используется в осеи циклосимметричных задачах. Данное семейство элементов образуется поворотом треугольника на 360° (рис. 35).
4. Трехмерные элементы (рис. 9.7). Наиболее часто используются элементы в форме тетраэдра и параллелепипеда (гексаэдра), в которых аппроксимация перемещений осуществляется линейными, квадратичными и кубическими функциями.
Рис. 37. Некоторые трехмерные элементы
5.3. Дискретизация области. Разбиение области на объекты
Процесс дискретизации может быть разделен на два этапа:
• разбиение тела на конечные элементы;
• нумерация узлов и элементов.
Рассмотрим разбиение двухмерной области на линейные треугольные
элементы (рис. 37). Результаты могут быть обобщены и на трехмерный случай.
Разбиение двухмерного тела на треугольники выделено потому, что
этот элемент — простейший из двухмерных в смысле аналитической формулировки. Требование простоты элемента связано с тем, что при моделировании области должно быть использовано большое число элементов
(практически очень малый треугольник вырождается в точку). В таких задачах деление области на треугольники — вероятно, один из наилучших способов разбиения.
Четырехугольные зоны обычно разбивают на конечные элементы со-
единением узлов на противоположных сторонах (рис. 38).
а
б
в
46
Возможно и одновременное использование как треугольных, так и че-
тырехугольных конечных элементов (рис. 39).
Рис. 38. Деление области треугольного вида на треугольные конечные элементы
Рис. 39. Деление области в виде четырехугольника на линейные треугольные элементы
Рис. 40. Деление тела на треугольные и четырехугольные зоны
с последующим делением на треугольные конечные элементы
Возможность варьировать размеры элемента — важное достоинство ме-
тода конечных элементов. Наиболее простой способ существенного изменения размеров элементов заключается в применении четырехугольных подобластей с неравным числом узлов на противоположных сторонах (рис. 40).
а
б
a
б
Желательное
разбиение
Нежелательное
разбиение
А
А
47
Рис. 41. Разбиение расширяющейся области на треугольные элементы
Способы моделирования различных граничных условий показаны на
рис. 42.
Рис. 42. Неподвижные узлы (а) и узлы, которые могут перемещаться
в одном направлении (б)
5.3. Дискретизация области. Нумерация узлов
Использование МКЭ приводит к системе линейных алгебраических
уравнений, большое число коэффициентов которой равно нулю. Все ненулевые и некоторые нулевые коэффициенты находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали (рис. 43).
Рис. 43. Ширина полосы матрицы системы линейных алгебраических уравнений
a
б
0 0 0 0 0
000
0 0 0
0
00
0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
С С С С
СССССС
С С С С С С
СССССССС
С С С С С С С
СССССССС
СССССС
С С С С С
С С С С
Ширина полосы
48
Расстояние между главной диагональю и этими линиями называется
шириной полосы матрицы системы уравнений. Ширина полосы вычисляется по формуле
1,NBAND R Q
где R — максимальная по элементам величина наибольшей разности
между номерами узлов в отдельном элементе; Q — число неизвестных
(число степеней свободы) в каждом узле.
Минимизация ширины ленты и величины может быть осуществлена
последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера (рис. 44). Кроме того, существуют разнообразные алгоритмы
оптимальной перенумерации узлов конечноэлементной сетки.
Рис. 44. Два примера нумерации узлов при разбиении
на элементы двухмерного тела
5.4. Способы хранения матриц конструкции
Матрицы жесткости К и масс М — симметричные, разреженные и
имеют одинаковую структуру. Использование стандартных программ, ориентированных на применение квадратных матриц и только оперативной памяти ЭВМ, накладывает значительные ограничения на размеры решаемых
динамических задач. Число динамических неизвестных в этом случае превышает несколько тысяч.
9R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
222324
25
(20)
(1)
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
(64)
40
41
42
43
44
21R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
121314
15
16
17
18
19
20
21
222324
25
(1)
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
363738
39
40
41
43
42
44
a
б
49
Для преодоления этого недостатка при разработке автоматизированных систем необходимо уделять значительное внимание алгоритмам определения собственных значений и собственных векторов, которые в АСРК
ориентированы на три уровня хранения общих матриц:
а) ленточные матрицы; в оперативной памяти хранятся элементы
правой симметричной полуленты;
б) блочно-ленточные матрицы; размер каждого квадратного блока
равен ширине полуленты, в качестве внешнего запоминающего устройства
используются наборы последовательного доступа (ленты, диск);
в) клеточные матрицы; размер клетки на порядок меньше полуширины ленты, клетки размещаются на внешних устройствах прямого доступа
(дисках, барабанах), соответствующих правой симметричной части матрицы. Результаты оптимизации размеров клетки приведены на рис. 45.
Рис. 45. Оптимизация разметов клетки:
а — модель пластины, б — структура матрицы жесткости,
в — затраты на проведение расчетов; 1 — процессорное время,
2 — время ввода–вывода, 3 — объем оперативной памяти
.
24NBAND
( 5 5)ММґ
90NSZF
a
б
1
2
3
4
6
7
9
10
12
13
15
5М
NBAND
(c)t
(кс)n
0
80
60
40
20
0,25
0,75
0,5
1,0
1
2
3
в
50
Литература
1. Малышев А.В., Мосиянова Е.В., Зуев Е.В. Методические указания для выполне-
ния лабораторных работ III семестра по курсу «Сопротивление материалов» [Текст]: М.:
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 – 62 с.
2. Малышев А.В., Мосиянова Е.В., Зуев Е.В. Методические указания для выполне-
ния лабораторных работ IV семестра по курсу «Сопротивление материалов» [Текст]: М.;
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 – 72 с.
3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. Изд. 10. — М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2000. — 592 с.
4. Лихарев К.К., Сухова Н.А. Сборник задач по курсу «Сопротивление материалов». —
М., 1980.
5. Пономарев C.Д., Бидерман В.Л., Макушин Б.М. и др. Расчеты на прочность в маши-
ностроении. — М., 1956 (т. 1); 1958 (т. 2); 1959 (т. 3).
6. Александров А.Я., Ахмедзянов М.Х. Поляризационно-оптические методы механики
деформируемого тела. — М., 1974.
7. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению мате-
риалов. — Киев: Изд-во «Наукова думка», 1975. — 704 с.
8. Степин П.А. Сопротивление материалов. — М.: Высшая школа, 1988. — 368 с.
9. Буланов Э.А. Решение задач по сопротивлению материалов: Учебное пособие для
немашиностроительных специальностей вузов. - М.: Высшая школа, 1999. - 206 с.
10. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов: Учебник для сред. учеб. заведений.
8-е изд. - М.: Высшая школа, 1998. — 368 с.
11. Подскребко М.Д. Сопротивление материалов. - Минск: Дизайн ПРО, 1998. -
592 с.
12. Васильев В.З. Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упру-
гости: Учебное пособие. - СПб.: Иван Федоров, 2001. - 256 с.
13. Скойбеда А.Т., Миклашевич А.А., Левковский Е.Н. и др. Прикладная механика:
Учебное пособие / Под общ. ред. А.Т. Скойбеды. - Минск: Высшая школа, 1997. - 522 с.
14. Борискин О.Ф. Суперэлементный расчет циклически симметричных систем. -
Калуга: Эйдос, 1999. - 230 с.
15. Гаврюшин С.С., Барышникова О.О., Борискин О.Ф. Численные методы в проек-
тировании гибких упругих элементов. - Калуга: ГУП «Облиздат», 2001. - 200 с.
16. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. - М.: Машино-
строение, 1975. - 832 с.
17. Требушко О.И. Основы теории упругости и пластичности.- .:Наука, 1984. –319 с.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]