Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчёт статически неопределимых систем. Методические рекомендации
.pdf
21
Рис. 20. Симметричная рама с симметричной нагрузкой
Заменяем действие одной из отброшенных связей (в нашем примере момента) единичной нагрузкой (рис. 20, и) и строим эпюру изгибающих моментов от действия этой нагрузки (рис. 20, к).
22
Определяем угол поворота на опоре В
В
EJ
l m
l m l
m
1 122
3 3
1
122
3
2
2
3
1 2
3
1 0
Следовательно, задача решена верно.
Пример 4.
Дана статически неопределимая рама симметричной конструкции с
кососимметричным нагружением (рис. 19, а). Построить суммарную эпюру
изгибающих моментов.
Эта рама, как и в предыдущем случае, три раза статически неопределима, т. е. Для решения задачи необходимо записать систему из трёх уравнений с тремя неизвестными. (См. предыдущий пример).
Коэффициенты при неизвестных в этих уравнениях определяются по общему правилу. Эпюры изгибающих моментов от сил Х1 = 1; Х2=1; Х3=1 такие
же, как в примере 3 (рис.18, г), а грузовая эпюра представлена на рис. 19, д.
При определении коэффициентов получается, что
13 31 23 32 2
0 0 0 0 ; ; ;
1Р
Р
Тогда система канонических уравнений примет вид:
Рис. 21. Симметричная рама с кососимметричной нагрузкой
11 1 12 2
12 1 22 2
33 3 3
0
0
0
х х
х х
х
Р
Первые два уравнения имеют только нулевое решение:
Х
1
=0 и Х2=0; таким образом, остаётся одно уравнение с одним неиз-
вестным:
33 3 30хР
23
Итак, если система симметрична и для её расчёт выбрана симметричная основная симметричные неизвестные обращаются в нуль.
33
3
3
3
1 122
3
2 2
14
3
1
2
1
2
2
5
EJ
l l l l l l
l
EJ
EJ
pl l l pl pl l l
pl
EJ
P
( ) ( )
х
Р
Р33
33
15
14
Строим суммарную эпюру изгибающих моментов (рис. 19, е).
Пример 5.
Дана статически неопределимая рама симметричной конструкции с
произвольными нагружением (рис. 22, а).
Построить эпюру изгибающих моментов, возникающих в элементах
рамы.
Эта рама трижды статически неопределима. Данная задача имеет два
варианта решения. По первому варианту исходная задача может быть разбита на две более простых (рис. 20, б), решения которых будут аналогичны
приведённым в предыдущих примерах (3 и 4). Схема решения по второму
варианту приведена на рис. 20 в, г.
В этом случае система трёх уравнений с тремя неизвестными имеет ряд
нулевых коэффициентов ( и значительно упрощается:
11 1 1 1
1
11
22 2 23 3 2
32 2 33 3 3
0
0
0
х х
х х
х х
Р
Р
Р
Р
11
3
1 1
2
2 2
2
3
2 2 2 2 2
64
3
EJ
l l l l l l
l
EJ
;
1
2
4
1 1
3
4 2 2
16
3
Р
EJ
ql l l
ql
EJ
х ql
1
1
4
22
3
23
2
33
2
2
4
3
2
2
1 1
2
2 2
2
3
2 2
16
3
1 1
2
2 2 1 2
4
1
2 1 1 2 1 1 2
8
1 1
3
4 2
3
4
2
4
1 1
3
4 2 1
8 3
3
16
3
EJ
l l l
l
EJ
EJ
l l
l
EJ
EJ
l l
l
EJ
EJ
ql l l
ql
EJ
EJ
ql l
ql
EJ
l
x
P
P
( )
( )
4 4 0
4 8
8
3
0
3
2
2 3
2
x ql
lx x ql
24
Решая систему уравнений получаем:
х ql x ql
2
2
3
2
4
5
1
15
Рис. 22. Симметричная рама с произвольным нагружением
Проверка подтверждает правильность полученного решения.
Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 20 д.
25
4.2.4. Метод сил.
На рис. 21, а изображена балка один раз статически неопределимая.
Для этой балки за «лишнее» неизвестное удобнее всего принять реакцию,
которая возникает на опоре В при действии внешней нагрузки Р.
Тогда основная система принимает вид консольной балки (рис. 21, б),
а эквивалентная - этой же балки нагруженной внешним усилием Р и неизвестной опорой Х1 (рис. 21, в). Система, представленная на рис. 21, в будет
эквивалентна заданной, если сила Х1 будет подобрана так, что вертикальное
перемещение на опоре В будет отсутствовать. Это условие может быть за-
писано в виде канонического уравнения метода сил:
11 1 1
1
1
11
0х
х
Р
Р
Как и в предыдущих примерах, коэффициенты канонического уравнения определяем по способу Верещагина, построив предварительно эпюру
изгибающих моментов от внешней нагрузки (рис. 21, г) и Х1=1 (рис. 21, д)
11
3
1
3
1
1 122
3 3
1 1
2 2 256
5
48
5
16
EJ
l l l
l
EJ
EJ
l pl
l
pl
EJ
x p
P
По одному из рассмотренных ранее способов, строим суммарную
эпюру изгибающих моментов (суммарная эпюра изгибающих моментов
представлена на рис. 21, е).
Известно, что угол поворота сечения в заделке равен 0. Определим
этот угол поворота в сечении А балки АВ изображённой на рис. 21. Для
этого выберем новую основную систему и нагрузим её единичным усилием,
действующим по направлению отброшенной связи (рис. 22, а).
Эпюра изгибающих моментов от этого усилия представлена на
рис. 22, б. Перемножим по правилу Верещагина эпюры, представленные на
рис. 21, е и 22, б.
Использовав расслоение:
А C C
EJ
y y
1
1 1 2 2
(
3 3yC
)
,
где - площади элементов расслоений эпюры. уС1; уС2; уС3 - ординаты взятые под центрами тяжести этих площадей.
б
А
EJ
pl l pl l pl l
1 5
32 234
1211
32 256
125
32 213
0
26
Рис. 23. Один раз статически неопределимая балка
27
Рис. 24. Выполнение проверки правильности решения задачи
Угол поворота в заделке равен 0 - задача решена верно.
4.2.5. Пример расчёта статически неопределимых балок.
Пример 1.
Дана один раз статически неопределимая балка (рис. 23, а).
Необходимо раскрыть статическую неопределимость эпюру
изгибающих моментов.
Считаем среднюю опору «лишней» и заменяем её действие силой Х1.
Система, эквивалентная заданной, представленной на рис. 23, б. Составим каноническое уравнение метода сил, смысл которого сводится к следующему: вертикальное перемещение в точке В эквивалентной системы от
совместного действия сил Р и Х должно быть равно нулю, т. к. в исходной
схеме вертикальное перемещение на опоре В отсутствует
11 1 10хР
Строим эпюры изгибающих моментов от сил Р (рис. 23, в) и силы = 1
(рис. 23, г); определяем коэффициенты канонического уравнения.
б
28
Рис. 25. Один раз статически неопределимая балка
1 1 1 2 2
1
2
Р C C
EJ
y y ( )
1 1
2
122
3
2
1
2
2
13
3
1 1
2
3
3
2
122
3
3 2
9
2
3
1 2
11
3
EJ
pa a a pa a a a
pa
EJ
EJ
a a a
a
EJ
x
x x
( )
y y
C1 C2
y
C
X P
P11
11
26
27
29
Строим суммарную эпюру изгибающих моментов.
M pa x a p a R a R p
A C C
0 3 5 6 0
14
27
1
В силу симметрии RA=RC=
14
27
p
I. участок: 0 < Z1 < a
M R Z
Z A11
M M pa
Z Z a
1 1
0
0
14
27
II. участок:
0 < Z < 22a
M R a Z pZ
Z A
2
2 2
M pa M pa
Z Z a
2 2
0 2
14
27
4
9
(т.к. балка симметрична, то два других участка не рассматриваются).
Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 23, д.
Пример 2.
Дана один раз статически не определимая балка (рис. 24, а). Раскрыть
статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов,
если жёсткость балки EJx= Const.
Считаем правую опору «лишней» и заменяем её действие силой Х1.
Система, эквивалентная заданной, представлена на рис. 24, б.
Составим каноническое уравнение метода сил.
11 1 10хР
Строим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки и силы =1
(рис. 24, в); определяем коэффициенты канонического уравнения.
11
3
1
2 4
1 1
2
2
2
3
1
2
2
3
1 2
3
2
2 2 3
EJ
l l l l l l
l
EJ
EJ
l
ql l ql
EJ
x x
P
x x
( ) ( )
X
ql
P11
11
3
Строим суммарную эпюру поперечных сил и изгибающих моментов
(используем схему Рис. 24, г.).
MA 0
ql
l R l q l l
B
3
3 2 2 0
R ql
B
3
2
MB 0
R l q l l
ql
l
A
2 2
3
0
R ql
A
5
6
Строим эпюру поперечных сил (рис. 24, д)
I. участок: 0 < Z
1
< 2l
Q R qz
Z A
1
1
Q ql Q ql
Z Z l
1 1
0 2
5
6
7
6
а
б
г
30
Рис. 26. Один раз статически неопределимая балка
II. участок: 0 < Z
2
< l
Q ql
Z
2
1
3
Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 24, е).
д
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]