Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчёт статически неопределимых систем. Методические рекомендации
.pdf
31
I. участок:
M R z q
z
M M ql
Z A Z Z l
1 1 1
1
1
2
0 2
2
2
0
1
3
; ;
II. участок:
M ql z M M ql
Z Z Z l
2 2 2
1
3
0
1
3
2 0
2
; ;
Определяем M
max
: M
zi
= M
max
, если Qzi=0, т. к. Q =
dM
dz
Q Q R qz R qz z
R
q
l
Z Z A A
A
1 0
0 0 0
0
5
6
;
M R z q
z
ql l q
l
ql
Amax
0
0
2
2
2
25656
5
6
2
25
72
4.2.6. Частный случай метода сил - уравнение трёх моментов.
Как уже говорилось ранее (стр. 6), при выборе основной системы для
балки за «лишние» неизвестные можно принять не только реакции «лишних» опор, но и надопорные изгибающие моменты (рис. 10).
Рассмотрим многопролётную статически неопределимую балку
рис. 25, имеющую К опор.
Для упрощения анализа считаем жёсткость по всей длине балки постоянной EJx= Const.
Чтобы построить суммарную эпюру изгибающих моментов, необходимо раскрыть статическую неопределимость. В качестве «лишних» неизвестных принимаем надопорные моменты. Тогда основной системой будет
ряд самостоятельных статически определимых балок, нагруженных внешними нагрузками и неизвестными надопорными моментами.
Рассмотрим перемещение на опоре n. Им будет угол поворота надопорного сечения. Угол поворота сечения над опорой n балки длиной ln относительно сечения над опорой n балки длиной l
n+1
должен отсутствовать,
т. е. равен нулю.
В противном случае нарушается условие неразрывности, т. к. Конец
одного пролёта является началом следующего пролёта.
Каноническое уравнение для опоры может быть записано в следующем виде:
n n n n n n n n n n n n n n n n n
n k k np
M M M M M M M
M
, , ,
,
... ...
1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2
0
, , , ,
Определим коэффициенты этого уравнения, для чего строим эпюры
изгибающих моментов от внешних нагрузок и моментов М1, М2,……,Мк,
равна 1.
Из анализа эти эпюру (рис. 25) следует, что все единичные коэффициенты от:
n,1
до
n,n-2
и от
n,n+2
до
n,k
- равны нулю; грузовой коэффициент
32
будет состоять только из двух слагаемых:
’
n,p
на участке ln и ’’
n,p
на
участке l
n+1
- остальные обращаются в 0. (
n,p
=
’
n,p
+
’’
n,p
).
Таким образом, вид канонического уравнения значительно упрощается:
n n n n n n n n n n p p
M M M
, , ,
1 1 1 1 1
0
,
' ''
По общему правилу определяем коэффициенты полученного уравнения:
n n
x
n
n
x
n n
x
n n
n n
x
n n
x
n
n
x
np
x
n c n c
EJ
l
l
EJ
EJ
l l
l l
EJ
EJ
l
l
EJ
EJ
y y
n n
,
,
,
( )
1
1
1
1 1
1
1
1 1
2
1
1
3 6
1
1 1
2
1
231
2
1
2
3 3
1
1 1
2
1
1
3 6
1
1
1
,где
y
l
a
y
l
b
c
n
n
c
n
n
n
n
1
1
1
1
1
где
1
1
l l
n n
и
1
- реакции на опорах (n-1) и (n+1) от момента Мn=1
а
n
- горизонтальная проекция отрезка, соединяющего правую опору
пролёта ln с центром тяжести грузовой эпюры в этом пролёте,
b
n+1
- горизонтальная проекция отрезка, соединяющего правую опору
пролёта l
n+1
с центром тяжести грузовой эпюры в этом пролёте.
Выполнив все подстановки получаем:
M l M l l M l
a
l
b
l
n n n n n n n n
n
n
n
n
n
1 1 1 1 1
1
1
2 6( )
В уравнение входят три момента на трёх соседних опорах, поэтому
оно носит название «уравнение трёх моментов».
3.2.8. Примеры решения задач с помощь уравнения трёх моментов.
Для балки, изображённой на рис. 26, а построить эпюру изгибающих
моментов. При решении задачи придерживаемся следующего порядка:
1) Устанавливаем степень статической неопределимости; заданная
система один раз статически неопределима.
2) Получаем основную, а затем эквивалентную системы (рис. 26, б).
Для этого врезаем над опорами шарниры и прикладываем в них моменты.
3) Строим эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок, дей-
ствующих в пролётах (рис. 26, в).
33
4) Записываем уравнение 3-х моментов применительно к рассматри-
ваемой задаче
M l M l l M l
a
l
b
l
A B C1 1 2 2 1
1
1
2
2
2
2 6
( )
Рис. 27. Применение уравнения трёх моментов для решения
статически неопределимой балки
34
5) Анализируем уравнение и решение его.
Опоры А и С являются концевыми шарнирными опорами. Изгибающий момент (внутренний силовой фактор) над такими опорами равен нулю,
если нет внешних нагрузочных моментов.
Следовательно: М
А
=М
С
=0.
Согласно общим положениям правила Верещагина
a
l
a a
l
1
1
1 1 1 1
1
1
( )
' ' ' ' '
т. е.
1
2 24312
pl
l l
l
1
1
1
1
2 223
a
l
pl
l l
1
1
1
2
2
2
2
4
0
a
l
pl
b
l
,
т. к. на втором пролёте нет внешних нагрузок.
Окончательно уравнение примет вид:
2 2 6
4
2
M l l
pl
B
( )
M
pl
B
4
6) Построение суммарной эпюры изгибающих моментов.
Суммарная эпюра изгибающих моментов может быть построена
двумя способами: графическим суммированием, непосредственным построением. Использование графического суммирования более удобно,
если грузовые эпюры линейны (как в нашем случае).
Порядок построения в этом случае следующий.
Сначала строим эпюры изгибающих моментов от найденного значения МВ на эпюру изгибающих моментов от внешних нагрузок (рис. 26, д).
Перестраиваем - получаем окончательную суммарную эпюру
(рис. 26, е).
При втором способе построения рассматриваются две самостоятельные балки АВ и ВС.
Балка АВ нагружена внешней нагрузкой и момент
М
В
=
pl
4
.
От их действия вычисляются опорные реакции и по общему правилу
строится эпюра изгибающих моментов (см. рис. 26, ж).
Аналогично решается балка ВС.
в
г
д
35
Рис. 28. Применение уравнения трёх моментов для решения
статически не определимой балки
ж
36
Пример 2.
Раскрыть статическую неопределимость. Построить суммарную
эпюру изгибающих моментов (рис. 27, а).
Для решения задачи вводим фиктивный пролёт СА и далее поступаем
по общему правилу: врезаем над опорами шарниры, прикладываем в них
моменты и нагружаем балки внешними нагрузками (рис. 27, б).
Записываем уравнение трёх моментов:
M l M l l M l
C ф A ф AB B AB
2 ( )
G
a
l
b
l
ф
ф
ф
AB
AB
AB
Опора С является фиктивной опорой, поэтому момент на ней равен
нулю: Mc=0
Пролёт СА является фиктивным пролётом в реальной балке он отсутствует, поэтому lCA=lф=0.
Опора В разделяет пролёт lAB и консоль.
Момент возникающий над опорой, создаётся нагрузкой действующей
на консоли.
Таким образом
M ql
l ql
B
2 2
2
Т. к. пролёт СА является фиктивным, то и выражение
ф
ф
ф
а
l
для него
отсутствует, т. е.
ф
ф
ф
а
l
=0, для определения величины
АВ
AB
AB
b
l
строим
эпюру изгибающих моментов от действия силы Р в пролёте АВ (рис. 27, в)
AB
AB
AB
b
l
l pl
l
l
l pl
l
l
pl
1
2
2
4
3
2
4
1
2
2
2
3
2
4
2
Окончательно получаем:
2 6
2 4
2
4 6
2
2
2
2
M l M l
b
l
M l
ql
l pl M
ql
A AB B AB AB
AB
AB
A A
Суммарную эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (МР),
нагрузки на консоли (МВ) и моментов в заделке (МА), получаем суммарную
эпюру изгибающих моментов (рис. 27, г).
4.2.7. Использование свойств симметрии и косой симметрии при рас-
чёте статически неопределимых балок.
Балка АВ, представлена на рис. 28, является симметричной как по конструкции, так и по нагружению. Она дважды статически неопределима, т. к.
горизонтальные составляющие опорных реакций на опорах А и В равны
нулю.
б
37
Решение задачи значительно упрощается, если использовать свойство
симметрии.
Рис. 29. Применение уравнения трёх моментов для решения
статически не определимой балки
38
Разрежем балку по оси симметрии и в месте разреза приложим внутренние силовые факторы Mx=X1 и Qy=X2 (N=X3, как уже говорилось ранее,
равно 0) (рис. 28, а).
Рис. 30. Симметричная балка с симметричной нагрузкой
Поперечная сила Qy (или Х2) согласно свойству симметрии, равна
нулю.
Таким образом единственным неизвестным является изгибающий момент Мх=Х1. Далее решаем задачу по общему правилу (рис. 28, б).
39
11 1 1
11
1
2
1
0
1
1 2 1
2
1 1
2
1
2 4
х
EJ
l
l
EJ
EJ
pl l
pl
EJ
x
pl
Р
x x
P
x x
( )
( )
Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 28, в.
Балка АВ, представленная на рис. 29, симметрична по конструкции, но ко-
сосимметрична по нагрузкам.
Рис. 31. Симметричная балка с кососимметричной нагрузкой
Она дважды статически неопределимая, т. к. горизонтальные составляющие опорных реакций равны нулю.
б
40
Для упрощения решения используем свойство косой симметрии. Разрежем балку по оси симметрии и в месте разреза приложим неизвестные
усилия Х1; Х2; Х3;
Х3=0 (из условия)
х 0
Х
2
=0 (из свойства косой симметрии.)
Таким образом единственным неизвестным будет поперечная сила Х2
(рис. 29, б).
Далее решаем задачу по общему правилу:
22 2 2
22
3
2
2 4
0
1 12233
2
9
8
1 1
3 2
5
4
5
24
х
EJ
l l l
l
EJ
EJ
l
ql
l
ql
EJ
Р
x x
P
x x
х ql
2
5
27
Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 29, в.
5. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
5.1. Основная концепция МКЭ, преимущества и недостатки.
МКЭ является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода
связано с решением задач космических исследований (1950 г.).
Основная концепция МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину, такую как температура, давление или перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью. Эта модель строится на множестве кусочно-непрерывных функций (линейных, квадратичных или кубичных).
Каждая из таких функций определена на конечном числе подобластей (конечных элементов) и позволяет определить функцию в произвольной точке
через соответствующие значения в узлах.
Решение задачи с помощью МКЭ содержит следующие этапы:
1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек или
узлов (рис. 30).
2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке считается
переменной, которая должна быть определена.
3. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами (рис. 31); эти
элементы имеют общие узловые точки и в своей совокупности аппроксимируют форму области.
в
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]