Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчёт распределения температуры с использованием конечно-разностных методов. Методические указания к расчётной работе по дисциплине «Математическое,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

925

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра промышленной теплоэнергетики

А.В. Севостьянов

РАСЧЁТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к расчётной работе по дисциплине

«Численные методы решения задач теплоэнергетики»

Липецк

Липецкий государственный техничес кий университет

2014

УДК 519.25(07)

С281

Рецензент профессор, кандидат технических наук В.Я. Губарев

Севостьянов, А.В.

С281 Расчёт распределения температуры с использованием конечноразностных методов [Текст]: метод. указ. к расчётной работе по дисциплине «Численные методы решения задач теплоэнергетики» / А.В. Севостьянов – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета,

2014. – 41 с.

В методических указаниях приведены методы решения уравнения теплопроводности с использованием явной и неявной конечно-разностных схем. Методы решения проиллюстрированы на примере конкретных задач.

Методические указания предназначены для студентов II курса физикотехнологического факультета специальности «Промышленная теплоэнергетика» направления «Теплоэнергетика и теплотехника».

Табл. 5. Ил. 5. Прил.: 9. Библиогр.: 2 назв.

Оглавление

Общие положения ....................................................................................................... 5

1. Основные соотношения .......................................................................................... 6

1.1. Явная схема ........................................................................................................ 6

1.2. Неявная схема .................................................................................................... 8

1.3. Метод Гаусса-Зейделя ...................................................................................... 9

1.4. Разностное представление граничных условий ........................................... 10

1.5. Составление блок-схемы ................................................................................ 11

2. Примеры ……………………………………………………………………...12

2.1. Пример использования явной схемы ............................................................ 12

Исходные данные ................................................................................................... 12

Алгоритм ................................................................................................................. 13

2.2. Пример использования неявной схемы ........................................................ 16

Исходные данные ................................................................................................... 16

Алгоритм ................................................................................................................. 17

3. Задания ……………………………………………………………………...20

4. Содержание отчёта ................................................................................................ 23

5. Вопросы для контроля знаний ............................................................................. 24

Библиографический список ...................................................................................... 24

Приложение 1. Блок-схема программы реализации явной схемы ....................... 25

Приложение 2. Распечатка программы реализации явной схемы ........................ 26

Приложение 3. Распечатка диалога при задании исходной информации ........... 29

Приложение 4 Итоговое распределение температуры ......................................... 30

Приложение 5. Блок-схема программы реализации неявной схемы методом

Гаусса-Зейделя ................................................................................ 31

Приложение 6. Распечатка программы реализации неявной схемы методом

Гаусса-Зейделя ................................................................................ 34

Приложение 7. Распечатка диалога при задании исходной информации для

неявной схемы ................................................................................. 38

Приложение 8. Распределение температуры для неявной схемы ........................ 39

Приложение 9. Теплофизические свойства материалов........................................ 40

Перечень условных обозначений

a – коэффициент температуропроводности, м2/с; c – удельная массовая теплоёмкость, Дж/(кг К); l – линейный размер, м; n – параметр устойчивости; q – плотность теплового потока, Вт/м2;

– удельная объёмная мощность источника теплоты, Вт/м3;

x, y – координаты, м; K – количество точек по оси времени; M – количество точек по оси x; N – количество точек по оси y; T – температура, °C;

– кооэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 К); – заданная абсолютная погрешность; – коэффициент теплопроводности, Вт/(м К);

– плотность, кг/м3;

– время, с;

– температура на границе, °С;

– приращение, шаг.

Индексы

Нижние:

кон – конечное значение; нач – начальное значение; ср – параметр среды;

– скользящие индексы;

верхние:

0 – значение в начале оси;

– k-е приближение;

– значение в конце стороны ;

– значение в конце стороны .

Общие положения

Основные процессы гидрогазодинамики и тепломассообмена описываются дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных. Наиболее распространёнными способами решения подобных уравнений являются конечно-разносные методы (КРМ), реализуемые на современной вычислительной технике.

КРМ основаны на замене дифференциальных операторов конечноразностными соотношениями. Для записи конечно-разностных соотношений необходимо заменить область непрерывного изменения аргумента областью дискретного его изменения, и непрерывную область значений функции – дискретным набором её значений, определённых на дискретном множестве значений аргумента.

Пусть - некоторая функция, а - область дискретных значений аргумента. Тогда для аргумента можно записать

, (1)

где - шаг дискретного изменения аргумента. В конечноразностном соотношении (1) можно перейти к индексным обозначениям

, (2)

где .

Таким же образом можно получить конечно-разностный аналог второй производной

. (3)

В качестве примера функции двух переменных рассмотрим уравнение параболического типа

где .

, (4)

Конечно-разностный аналог этого уравнения будет иметь следующий вид

, (5)

где - шаг дискретного изменения второго аргумента.

Множество точек плоскости с координатами будем называть сеткой с размерами ячеек . В общем случае сетка может быть многомерной. Функция, определённая на таком дискретном множестве, называется сеточной. Таким образом, непрерывная область значений аргумента заменяется сеткой, а пространство решений дифференциального уравнения аппроксимируется пространством сеточных функций.

1. Основные соотношения

Применение КРМ рассмотрим на примере численного решения неоднородного дифференциального уравнения теплопроводности

(6)

Среду принимаем однородной и изотропной, следовательно λ, ρ и с – постоянные. Единственность решения уравнения (6) определяется начальными условиями, т.е. распределением температуры в начальный момент времени, и граничными условиями, задающими процесс теплообмена на границе.

Рассмотрим два метода решения конечно-разностных уравнений: явную и неявную схемы.

1.1. Явная схема

Анализ уравнения (5) показывает, что для его написания необходимо знать значения сеточной функции в шести точках: в пяти – на одном временном уровне и в одной – на другом. Рассмотрим шеститочечный шаблон (рис. 1). Распишем производные для этого шаблона.

, (7)

, (8)

. (9)

i+1, j, k

i, j, k+1

i, j. k

i-1, j, k

i, j+1, k

i, j-1, k

Рис. 1. Шеститочечный шаблон для явной схемы

Конечно-разностный аналог уравнения (6) будет иметь вид

, (10)

где

Перепишем уравнение (10), оставив значения сеточной функции на следующем временном слое слева, а на предыдущем – справа:

. (11)

В уравнении (11) температура на следующем временном слое определяется через значения температуры на предыдущем временном слое. Температура в начальный момент времени задаётся в краевых условиях, что позволяет явно определять температуру в следующий момент времени. Это обстоятельство определило название рассматриваемой расчётной схемы.

Для явных схем актуальным является условие устойчивости, которое ограничивает выбор шага по времени . Условие устойчивости для двумерной задачи имеет следующий вид

, (12)

где . Если пространственные шаги сетки одинаковы, т.е. , то условие (12) примет вид

. (13)

1.2. Неявная схема

i, j, k

i, j+1, k+1

i, j, k+1

i-1, j, k+1

i, j-1, k+1

i+1, j, k+1

Рассмотрим шеститочечный шаблон (рис. 2).

Рис. 2. Шеститочечный шаблон для неявной схемы

Распишем производные для этого шаблона:

, (14)

, (15)

. (16)

Конечно-разностный аналог уравнения (6) будет иметь вид

. (17)

Перепишем уравнение (17) аналогично уравнению (10) и получим

температуры в пяти точках следующего временного слоя определяются через температуру в одной точке предыдущего временного слоя, т.е. получается

. (18)

Структура уравнения (18) отличается от уравнения (11) тем, что

уравнение с пятью неизвестными. Это обстоятельство и определило название рассматриваемой расчётной схемы. В отличие от явной схемы неявная абсолютно устойчива.

Для нахождения при каждом значении k необходимо решать пятидиагональную систему линейных алгебраических уравнений, для чего

можно воспользоваться одним из итерационных методов, например методом Гаусса-Зейделя [1].

1.3. Метод Гаусса-Зейделя

Необходимо найти решение системы m линейных уравнений, которая записывается в общем виде как

, (19)

При известных и требуется найти такие , при подстановке которых в систему уравнений она превращается в тождество.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных алгебраических уравнений является условие неравенства нулю определителя матрицы коэффициентов . В случае

равенства нулю определителя матрица коэффициентов называется вырожденной и при этом система либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.

В дальнейшем будем предполагать наличие единственного решения.

Расчетные формулы имеют вид:

, (20)

т.е. для подсчета i–й компоненты (k+1)–го приближения к искомому вектору используется уже вычисленные на этом, т.е. (k+1)–м шаге, новые значения первых (i–1) компонент. Подробные формулы имеют вид

Условие окончания итерационного процесса может быть представлено

(21)

(23)

(24)

следующим соотношением

1.4. Разностное представление граничных условий

(22)

Уравнения (11) и (18) необходимо дополнить разностным аналогом краевых условий. Граничные условия 1-го рода аппроксимируются разностным аналогом точно в узлах на границе расчетной области. Граничные условия второго и третьего рода отличаются тем, что в них присутствует производная первого порядка искомой функции по пространственной переменной. Поэтому для замыкания конечно-разностной схемы необходима их конечно-разностная аппроксимация. Ниже приведены самые простые разностные выражения для граничных условий.

Граничные условия 1-го рода

или ,

или ;

граничные условия 2-го рода

или ,

или ;

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]