Расчёт распределения температуры с использованием конечно-разностных методов. Методические указания к расчётной работе по дисциплине «Математическое,

Исходные данные

№

п/п

Материал

t1,

°C

t2,

°C

l1,

см

l2,

см

τ

кон

,

мин

1

Алюминий

500

20

60

40

60

2

Полистирол

20

120

10

15

90

3

Плексиглас

100

15

20

30

145

4

Полиэтилен

100

25 8 16

80

5

Силикатный

кирпич

-20

55

100

51

35

6

Сталь

20

900

110

30

15

7

Стекло

0

10

45

60

8

Фарфор

200

15

10

25

50

9

Чугун

1100

20

80

25

20

10

Шамот

25

1200

25

77

70

11

Диатомит

800

25

120

25

112

12

Газосиликат

40

50

70

180

45

13

Красный кирпич

85 0 60

40

130

14

Древесина

0

80

30

15

130

15

Мрамор

40

400

35

15

20

№

п/п

Интенсивность внутреннего источника

теплоты , кВт/м3

1

2

3

4

5

6

Таблица 3

Внутренний источник теплоты

Таблица 4

21

Граничные условия

№

п/п

Граничные условия

Процесс

Граничные условия I рода, °С

1

Нагрев и охлаждение

2 Охлаждение

3

Нагрев и охлаждение

4

Нагрев и охлаждение

5

Нагрев и охлаждение

6

Нагрев и охлаждение

Граничные условия II рода, Вт/м2

7 Охлаждение

8 Нагрев

9 Охлаждение

10 Нагрев

11 Охлаждение

12 Нагрев

13 Охлаждение

14 Нагрев

15 Охлаждение

Таблица 5

22

Окончание таблицы 5

№

п/п

Граничные условия

Процесс

Граничные условия II рода, Вт/м2

16 Охлаждение

Граничные условия III рода, Вт/(м2 К)

17

Нагрев и охлаждение

18

Нагрев и охлаждение

19

Нагрев и охлаждение

20

Нагрев и охлаждение

21

Нагрев и охлаждение

22

Нагрев и охлаждение

4. Содержание отчёта

Отчёт о выполненной работе должен содержать:

 задание с необходимыми данными;

 описание алгоритма решения;

 блок-схему программы с необходимыми пояснениями;

 таблицу соответствия переменных;

 распечатку программы с необходимыми текстовыми пояснениями;

 результаты решения задачи с необходимыми комментариями;

 графическое представление результатов (распределения температуры);

 библиографический список.

23

5. Вопросы для контроля знаний

1. Принципы построения блок-схем алгоритмов расчетов и основные

обозначения

2. Краевые условия параболической задачи

3. Основные понятия теории разностных схем, дискретизация области

определения аргумента, аппроксимация первой производной

4. Аппроксимация второй производной, явная и неявная схемы

5. Разностное представление краевых условий

6. Устойчивость явной разностной схемы

7. Устойчивость неявной разностной схемы

8. Решение разностного уравнения с использованием явной схемы

9. Метод прогонки

10. Метод Гаусса-Зейделя

11. Построение трёхмерных графиков в среде программирования Scilab

12. Оформление подпрограмм в среде программирования Scilab

13. Оформление функций в среде программирования Scilab

14. Операторы условия и циклов в среде программирования Scilab

15. Ввод – вывод информации в среде программирования Scilab

Библиографический список

1. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов [Текст] /

В.М. Вержбицкий. – Москва: Высшая школа, 2002. – 840 с.

2. Алексеев, Е.Р. Scilab: Решение инженерных и математических задач

[Текст] / Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова, Е.А. Рудченко. – Москва: ALT Linux; БИНОМ: Лаборатория знаний, 2008. – 260 с.

24

Приложение 1

Задание

внутреннего

источника теплоты

Вывод результата на печать

Построение графиков

1

Начало

Ввод данных

Задание

постоянных для

программы

2

3

4

Задание

начальных

условий

5

k

6

j

Задание граничных условий по стороне

l

1

j <M

13

8

i

Задание граничных условий по стороне

l

2

i <N

12

A

10

11

Счёт по

формуле

(11)

k <z

15

16

Конец

17

7

9

14

Блок-схема программы реализации явной схемы

25

Распечатка программы реализации явной схемы

//Ввод исходных данных //Начальная температура поля в градусах Цельсия

disp('Введите начальную температуру поля в градусах Цельсия'); t0=input('t0='); //Температура окружающей среды в градусах Цельсия disp('Введите температуру окружающей среды в градусах Цельсия'); tcp=input('tcp='); //Коэффициент теплопроводности в Вт/(м*К) disp('Введите коэффициент теплопроводности в Вт/(м*К)'); lam=input('lam='); //Плотность, кг/м^3 disp('Введите плотность в кг/м^3'); ro=input('ro='); //Теплоёмкость в Дж/(кг К) disp('Введите теплоёмкость в Дж/(кг К)'); c=input('c='); //Размеры пластины в м disp('Введите размеры пластины в м'); L1=input('L1='); L2=input('L2='); //Время остывания, мин disp('Введите время остывания в минутах'); tk=input('tk=');

//Ввод технических параметров //Параметр устойчивости

disp('Введите параметр устойчивости'); nn=input('nn='); //Количество узлов: disp('Введите количество узловых точек по оси x'); n=input('n='); disp('Введите количество узловых точек по оси y'); m=input('m='); //Пересчёт времени в секунды tk=tk*60; //Определение коэффициента температуропроводности a=lam/(c*ro); //Расчёт шагов по координатам и времени: dx=L1/(n-1); dy=L2/(m-1); dt=1/(a*nn*(1/(dx*dx)+1/(dy*dy))); //Количество шагов по времени z=tk/dt; //Занесение начальных условий for i=1:n for j=1:m t(i,j,1)=t0; end end //Обнуление счётчика времени

26

Приложение 2

Продолжение приложения 2

tau=0; //Счёт for k=1:z-1 tau=tau+dt; for i=2:n-1 //Граничные условия по стороне L2 t(i,1,k+1)=t0-sqrt(700^2-1.361*(tau-tk)^2)*abs(cos(4*%pi*i*dx/L1)); t(i,m,k+1)=t0-sqrt(700^2-1.361*(tau-tk)^2)*abs(sin(2*%pi*i*dx/L1)); for j=2:m-1 //Граничные условия по стороне L1 t(1,j,k+1)=t0-1.283*tau; t(n,j,k+1)=t0-1.283*tau; //Учёт внутренних тепловыделений qv=1.6e6*(1+(i*dx)*(j*dy))*abs(sin(2*%pi*(i*dx/L1)*(j*dy/L2))); //Определение температуры bb=(t(i+1,j,k)+t(i-1,j,k))/dx^2; bb=bb+(t(i,j+1,k)+t(i,j-1,k))/dy^2; t(i,j,k+1)=bb*a*dt+t(i,j,k)*(1-2*a*dt*(1/dx^2+1/dy^2))+dt*qv/(ro*c); end end end //Определение температуры в углах сетки t(1,1,z)=(t(1,2,z)+t(2,1,z))/2; t(n,m,z)=(t(n,m-1,z)+t(n-1,m,z))/2; t(1,m,z)=(t(1,m-1,z)+t(2,m,z))/2; t(n,1,z)=(t(n-1,1,z)+t(n,2,z))/2; //Вывод распределения температуры t1=t(:,:,z); disp('Результаты расчета - распределение температуры'); disp(t1);

//Построение графиков //Распределение температуры в конце остывания:

subplot(3,1,1); x1=[0:dx:L1]; y1=[0:dy:L2]; flag=[0 2 4]; plot3d(x1,y1,t1,35,45,'',flag); xtitle('Распределение температуры в конце остывания','x, м','y, м','Температура, °С'); //Распределение температуры при фиксированном Х subplot(3,1,2); x2=[1:z]; x2=x2*dt/60; t2=t(10,:,1); for k=2:z t20=t(10,:,k); t2=[t2;t20]; end plot3d(x2,y1,t2,35,45,'',flag); xtitle('Распределение температуры при фиксированном Х','Время, мин','y, м','Температура, °С'); //Распределение температуры при фиксированном Y

27

Окончание приложения 2

subplot(3,1,3); t3=t(:,10,1); for k=2:z t30=t(:,10,k); t3=[t3 t30]; end plot3d(x1,x2,t3,35,45,'',flag); xtitle('Распределение температуры при фиксированном Y','х, м','Время, мин','Температура, °С');

28

Распечатка диалога при задании исходной информации

Введите начальную температуру поля в градусах Цельсия t0=800

Введите температуру окружающей среды в градусах Цельсия tcp=30

Введите коэффициент теплопроводности в Вт/(м*К) lam=45

Введите плотность в кг/м^3 ro=7850

Введите теплоёмкость в Дж/(кг К) c=450

Введите размеры пластины в м L1=0.4 L2=0.8

Введите время остывания в минутах tk=10

Введите параметр устойчивости nn=5

Введите количество узловых точек по оси x n=30

Введите количество узловых точек по оси y m=20

Приложение 3

29

Распределение температуры

333.2

38.3

204.2

628.1

291.6

223.1

216.7

223.9

232.9

240.8

247.1

252.0

255.5

257.8

258.6

257.7

254.3

247.5

236.5

220.9

204.5

211.9

370.0

518.8

362.2

336.9

349.0

368.9

387.9

403.6

416.1

425.5

432.3

436.6

438.1

436.0

429.3

416.0

394.1

361.1

316.4

264.9

214.0

184.4

338.2

401.4

444.8

480.5

509.7

533.0

551.1

564.7

574.4

580.4

582.4

579.2

569.4

550.3

518.5

469.5

396.9

290.1

121.4

109.5

352.8

455.1

518.4

566.5

604.7

634.8

657.9

675.1

687.3

694.7

696.9

692.6

680.1

656.2

616.9

556.3

465.0

325.8

102.4

325.9

437.9

512.7

577.8

633.2

678.5

714.2

741.6

761.8

776.0

784.3

786.4

781.0

766.2

738.7

694.6

628.3

530.9

386.0

158.9

742.1

534.6

559.8

622.9

684.1

735.3

775.7

806.6

829.2

844.7

853.5

855.2

848.6

831.6

801.5

754.9

688.0

596.0

469.8

285.0

417.1

486.7

570.4

651.7

721.8

778.7

823.2

856.7

881.0

897.3

906.0

906.8

898.6

879.5

847.2

799.1

734.3

654.1

564.3

466.8

137.9

422.1

569.4

671.3

750.2

812.0

859.6

895.2

920.5

936.9

944.9

944.4

934.2

912.6

877.5

827.4

763.4

692.9

641.3

684.7

137.9

429.0

582.6

689.8

772.9

838.0

887.8

924.5

950.1

966.0

972.8

970.3

957.6

932.9

894.3

840.4

772.2

697.7

642.8

684.7

417.1

508.1

611.0

708.6

791.7

858.4

909.4

946.6

971.9

986.7

991.6

986.8

971.1

942.9

899.9

840.1

762.8

670.2

569.7

466.8

742.1

572.3

631.2

722.7

806.4

874.2

926.0

963.1

987.4

1000.5

1003.3

995.6

976.7

944.7

897.1

830.9

742.7

628.8

482.5

285.0

325.9

495.6

621.3

728.3

816.7

886.3

938.4

974.9

997.8

1008.8

1008.9

998.3

976.0

940.5

888.9

817.4

720.7

590.4

412.4

158.9

109.5

436.7

610.8

731.9

824.7

895.6

947.5

982.9

1004.0

1012.5

1009.8

996.0

970.8

932.4

878.3

804.1

703.8

567.3

377.0

102.4

184.4

458.5

619.5

738.8

831.8

902.6

953.8

987.6

1006.5

1012.3

1006.6

990.0

962.2

922.2

867.4

794.2

696.9

566.2

385.1

121.4

518.8

537.8

640.7

747.5

837.9

907.7

957.5

989.4

1005.7

1008.7

1000.1

980.9

951.4

910.9

857.8

789.3

701.7

588.8

435.9

214.0

628.1

559.4

647.5

751.8

841.5

910.4

958.6

988.2

1001.8

1001.9

990.6

969.4

939.1

899.7

850.3

789.7

716.9

627.9

517.5

370.0

247.6

480.7

632.0

750.0

842.2

910.4

956.8

983.9

994.6

991.9

978.3

955.8

925.8

888.8

844.9

794.3

735.1

668.9

608.1

572.7

100.0

440.0

622.4

747.8

840.7

907.6

951.7

976.0

983.9

978.6

963.1

940.2

911.6

878.6

841.8

798.9

747.1

692.7

667.8

800.0

247.6

480.9

631.6

747.9

837.2

901.4

942.6

963.9

968.9

961.3

944.7

922.3

896.5

869.2

838.9

799.4

746.6

681.8

617.3

572.7

628.1

559.3

645.6

746.1

829.8

890.3

928.2

946.3

948.6

939.1

922.2

901.5

880.1

859.7

833.7

794.5

735.1

650.0

533.9

370.0

518.8

536.0

634.9

734.9

815.5

872.4

906.7

921.6

921.3

910.5

894.2

876.6

861.8

847.1

824.0

783.7

716.8

612.6

455.1

214.0

184.4

452.9

605.7

714.0

792.5

845.5

875.9

887.4

884.8

873.4

858.6

845.6

837.8

827.9

807.1

766.3

695.0

579.9

400.3

121.4

109.5

423.8

582.9

686.8

759.4

806.9

832.7

840.9

836.3

824.8

812.7

806.2

804.0

797.9

779.7

740.3

670.1

556.2

378.6

102.4

325.9

470.3

570.3

651.5

712.7

752.8

773.5

778.1

772.0

761.2

752.7

754.9

752.1

736.8

701.5

638.8

539.7

389.8

158.9

742.1

526.4

544.0

598.2

646.2

678.0

693.2

694.7

687.4

678.1

674.7

679.1

684.5

684.3

672.3

643.3

593.8

521.8

424.6

285.0

417.1

428.3

468.2

514.6

552.5

576.4

586.4

585.1

577.5

570.2

571.4

578.6

585.7

587.2

578.7

557.3

524.1

486.5

462.2

466.8

137.9

291.9

355.7

396.9

425.1

441.2

446.5

443.5

436.6

432.0

436.0

443.8

450.8

453.0

447.5

433.7

415.9

410.1

461.9

684.7

137.9

181.1

217.3

241.5

256.8

264.7

266.4

263.5

258.7

257.0

260.9

266.6

271.3

273.0

270.2

263.2

256.1

264.3

340.8

684.7

88.1

38.3

361.5

Приложение 4

Итоговое распределение температуры

30