Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчёт распределения температуры с использованием конечно-разностных методов. Методические указания к расчётной работе по дисциплине «Математическое,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

граничные условия 3-го рода

(25)

или ,

или .

1.5. Составление блок-схемы

Обычно для отображения последовательности вычислений и изображения вычислительных процессов используют блок-схемы алгоритмов расчетов. При этом предлагается пользоваться следующими графическими элементами:

- терминатор: начало и (или) конец процесса обработки данных;

- данные: ввод и вывод данных и результатов на неопределённый носитель;

- процесс: элементарная вычислительная операция по обработке данных;

- предопределенный процесс: процесс, состоящий из операций, описанных в другом месте (подпрограмма);

- граница цикла: символ, состоящий из двух частей, отображает начало и конец цикла. Обе части символа имеют один и тот же идентификатор. Условия для инициализации, завершения и т.д. помещаются внутри символа в начале или в конце в зависимости от расположения операции, проверяющей условие;

- решение: операция с одним входом и несколькими альтернативными выходами, один из которых активизируется

после проверки условия, записываемого внутри символа;

- соединитель: отображает выход в часть схемы и вход из другой части этой схемы и используется для обрыва линии

передачи управления и продолжения её в другом месте. Соответствующие

К стр.

Из стр.

символы-соединители должны содержать одно и то же уникальное обозначение;

- комментарий: используется для добавления описательных комментариев или пояснительных описаний в целях объяснения или примечаний. Пунктирная линия связана с соответствующим символом. Текст комментария должен быть помещён около ограничивающей фигуры;

- внешний соединитель;

- внутренний соединитель.

Потоки управления в схемах показываются линиями. Направление потока слева направо и сверху вниз считается стандартным. Если поток имеет направление, отличное от стандартного, стрелки должны указывать это направление.

2. Примеры

2.1. Пример использования явной схемы

Исходные данные

Рассмотрим пример решения уравнения (6) для стальной пластины со следующими параметрами:

 начальная температура пластины °C;

 температура окружающей среды °C;

 коэффициент теплопроводности 45 Вт/(м·К);

 плотность материала пластины 7,85 т/м3;

 теплоёмкость материала пластины 450 Дж/(кг·К);

 размер пластины 0,4 0,8 м;

 время окончания расчёта 10 мин.

Используем граничные условия первого рода в виде:

по оси x ;

по оси y

Внутренний источник теплоты задаётся следующим соотношением

Необходимо найти распределение температуры по площади пластины через указанный интервал времени.

Алгоритм

Решение проводим по явной схеме, описанной выше. Заданы размеры

;

МВт/м3.

пластины . Сторону разобъём на (N-1) равных отрезков длиной , а сторону – на (M-1) равных отрезков длиной . Шаг по оси x определяется соотношением

; (26)

по оси y -

. (27)

По оси x будет N узлов сетки, по оси y – M. Шаг по времени можно найти из условия устойчивости (12):

Количество шагов по времени можно определить из соотношения

Коэффициент температуропроводности определяется по формуле

Основным расчётным соотношением является формула (11).

В приложении 1 изображена блок-схема алгоритма расчёта по явной схеме.

. (28)

Для чтения программы весьма полезной может быть таблица

№

п/п

Наименование

Размер-

ность

Идентифи-

катор

Обозначение в

формулах

Примечание

Коэффициент температуропроводности

м2/с a a

Промежуточный результат

Служебный идентификатор

Удельная массовая теплоёмкость

Дж/(кг К) c c

Исходное данное

Шаг по координате x

Шаг по координате y

Шаг по времени

Переменная цикла

- j -

Переменная цикла

- i -

Переменная цикла

- k -

Длина пластины

Исходное данное

Ширина пластины

Исходное данное

Коэффициент теплопроводности

Вт/(м К)

lam

Исходное данное

Количество точек по оси y

- m M

Количество точек по оси x

- n N

Параметр устойчивости

Объёмный удельный источник теплоты

Вт/м3

Исходное данное

Плотность

кг/м3

Исходное данное

Температура

°С t t

Результат, трёхмерный массив

Начальная температура

°С

нач

Исходное данное

Служебный массив для вывода на печать

°С

Служебный массив для вывода на печать

°С

соответствия переменных, в которой в алфавитном порядке приведены идентификаторы, использованные в программе (табл. 1).

Таблица 1

Таблица соответствия переменных

Окончание таблицы 1

№

п/п

Наименование

Размер-

ность

Идентифи-

катор

Обозначение в

формулах

Примечание

Служебный массив для вывода на печать

°С

Служебный массив для вывода на печать

°С

t20

Служебный массив для вывода на печать

°С

t30

Время с tau

Температура окружающей среды

°С

tср

Исходное данное

Конечное время

Исходное данное

Служебный массив для вывода на печать

Количество шагов по оси времени

- z K

Распечатка программы, составленной в среде программирования Scilab, представлена в прил. 2. Задание исходной информации приведено в прил. 3. В прил. 4 представлено распределение температуры в конечный момент времени. На рис. 3 и 4 можно видеть графики распределений температуры в пластине.

Рис. 3. Распределение температуры по пластине в заданное время

Рис. 4. Распределение температуры по пластине в зависимости от

времени по одной из координат

2.2. Пример использования неявной схемы

Рассмотрим пример решения уравнения (6) для пластины из плексигласа со следующими параметрами:

 начальная температура пластины °C;

 температура окружающей среды °C;

 коэффициент теплопроводности Вт/(м·К);

 плотность материала пластины 1,19 т/м3;

Исходные данные

 теплоёмкость материала пластины Дж/(кг·К);

 размер пластины 4 8 см;

 время окончания расчёта 0 мин.

Используем граничные условия первого рода в виде:

по оси x ;

по оси y

Внутренний источник теплоты задаётся следующим соотношением

Необходимо найти распределение температуры по площади пластины через указанный интервал времени.

Алгоритм

Решение проводим по неявной схеме методом Гаусса-Зейделя.

;

кВт/м3.

Необходимые подготовительные действия во многом совпадают с предыдущим случаем. Шаги по координатам определим по соотношениям (26) и (27). Так как количество узловых точек по оси времени является теперь исходным данным, то количество шагов можно найти по соотношению, аналогичному (26)

Необходимый для решения коэффициент температуропроводности определяется формулой (28). Основным расчётным соотношением является уравнение, которое получается из формулы (18), если разрешить его относительно температуры ,

Условием выхода из итерационного цикла является соотношение (22). Для реализации этого условия предусматривается вычисление матрицы ошибок R. На каждом шаге итерации определяется максимальный элемент этой матрицы и сравнивается с заданной точностью. Как только заданная погрешность превышает максимальный элемент, происходит выход из итерационного цикла. Для оценки темпов сходимости определяется количество итераций.

В приложении 4 приведена подробная блок-схема программы.

№

п/п

Наименование

Размер-

ность

Идентифи-

катор

Обозначение в

формулах

Примечание

Коэффициент температуропроводности

м2/с a a

Промежуточный результат

Служебный идентификатор

Удельная массовая теплоёмкость

Дж/(кг К) c c

Исходное данное

Шаг по времени

Шаг по координате x

Шаг по координате y

Погрешность

°С

eps

Переменная цикла

- j -

Переменная цикла

- i -

Переменная цикла

- k -

Количество итераций

Результат

Количество узлов по оси времени

Коэффициент теплопроводности

Вт/(м К)

lam

Исходное данное

Длина пластины

Исходное данное

Ширина пластины

Исходное данное

Количество узлов по оси y

- M M

Количество узлов по оси x

- N N

Объёмный удельный источник теплоты

Вт/м3

Исходное данное

Текущая погрешность

°С r -

Технический параметр

Подпрограммы расчёта внутренних тепловыделений и граничных условий очень короткие, и для них блок-схемы не приводятся.

Для чтения программы приведена таблица соответствия переменных, в которой в алфавитном порядке приведены идентификаторы, использованные в программе (табл. 2).

Таблица 2

Таблица соответствия переменных

Окончание таблицы 2

№

п/п

Наименование

Размер-

ность

Идентифи-

катор

Обозначение

в формулах

Примечание

Матрица ошибок

°С R -

Технический параметр

Плотность

кг/м3

Исходное данное

Температура

°С t t

Результат, трёхмерный массив

Начальная температура

°С

нач

Исходное данное

Служебный массив для вывода на печать

°С

Время с tau

Температура окружающей среды

°С

tср

Исходное данное

Конечное время

Исходное данное

Координата по длине пластины

м x x

Технический параметр

Подпрограмма расчёта температур нижнего слоя матрицы t

xbottom

Подпрограмма расчёта температур верхнего слоя матрицы t

xupper

Координата по ширине пластины

м y y

Технический параметр

Подпрограмма расчёта температур левого слоя матрицы

yleft

Подпрограмма расчёта температур правого слоя матрицы t

yright

Распечатка программы, составленной на языке Scilab, представлена в прил. 6. Задание исходной информации приведено в прил. 7. В прил. 8 представлено распределение температуры в конечный момент времени. Можно отметить низкую сходимость итерационного процесса, основываясь на количестве итераций. На рис. 5 представлен график распределения температуры в пластине в заданный момент времени.

Рис. 5. Распределение температуры по пластине в заданное время

3. Задания

Задание формулируется следующим образом: численными методами рассчитать распределение температуры по площади пластины с заданными граничными условиями через время от начала теплообмена с применением явной и неявной схем.

По указанию преподавателя студент выбирает из табл. 3 исходные данные для решения по явной схеме и для решения по неявной схеме с использованием метода Гаусса-Зейделя, из табл. 5 – граничные условия, из табл. 4 – интенсивность внутреннего источника теплоты. Процесс – нагрев или охлаждение – задаётся преподавателем. Температуры t1 и t2 интерпретируются только в этом смысле: при нагреве меньшая температура является начальной, при охлаждении начальной становится бóльшая температура, вторая температура имеет смысл температуры окружающей среды. Теплофизические параметры материала пластины приведены в прил. 9. Количество узлов сетки студент определяет самостоятельно.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]