Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчёт показателей надёжности тягового подвижного состава. Ч.2. Расчет показателей надёжности сложных систем. Учебное пособие
.pdf
21
Таким образом, вероятность отказа системы из двух
элементов, соединенных электрически параллельно, составит
6
2
1
2 (1 )(1 ) ( )
i кз обр кз кз обр
Q Q q q q q q
.
Обозначив вероятность отказа каждого из двух контакторов
кз обр
q q q
и относительные вероятности в виде
01/обр
q q q
и
02/кз
q q q
, при условии, что
01 02
1qq
, выигрыш от
параллельного включения второго элемента составит
приближенно
0
01 02 02
1
( ) 2
q
Q
Q q q q q
.
Если
02 01
qq
, дублирование невыгодно, так как
0
Q
, т.е.
вероятность отказа системы возрастает по сравнению с
вероятностью отказа каждого элемента. В таких случаях, кроме
последовательного и параллельного соединения элементов,
используют их смешанное соединение, представляющее одну
или несколько комбинаций последовательного и параллельного
(логического) соединений элементов (рис. 2.2, б). В такой схеме
вероятность того, что два последовательно соединенных
контактора окажутся замкнутыми, равна
2
p
, если
p
–
вероятность того, что каждый контактор замкнут именно тогда,
когда он и должен быть замкнут. Вероятности
()hp
того, что
одна из параллельных ветвей разомкнута, когда она должна
быть замкнута, составит
2
1 p
, что весь узел разомкнут тогда,
когда он должен быть замкнут, составит
2
2
1 p
и, что узел
будет замкнут, составит
2
2 2 4
1 1 2p p p
(рис. 2.2, в).
Вместе с тем цепи контакторов могут иметь отказы типа
короткого замыкания. Вероятность того, что рассматриваемый
22
узел окажется короткозамкнутым (например, вследствие
сваривания контакторов) в то время, когда он должен быть
разомкнутым, составит
24
2
кз кз кз
Q q q
, если
кз
q
– вероятность
того, что каждый контактор не разомкнется.
Вероятность обрыва цепи узла в то время, когда она должна
быть замкнута,
24
4
обр обр обр
Q q q
, если
обр
q
– вероятность
того, что контактор разомкнут, когда он должен быть
замкнутым.
Следовательно, вероятность отказа узла при коротких
замыканиях и обрывах
2 4 2 4
42
кз обр обр обр кз кз
Q Q Q q q q q
, учитывая, что
1q
.
Выигрыш в снижении вероятности отказа узла по
сравнению с вероятностью отказа одного контактора составит в
общем виде
0
22
42
обр кз
обр кз
qq
q
Q
Q
qq
.
Пример 2.2. Так, при
0,1
кз
q
и
обр кз
qq
имеем
0
5Q
,
то есть вероятность отказа узла, представленного на рис. 2.2, б в
5 раз меньше вероятности отказа одного контактора при
коротком замыкании. И, наоборот, если
0,1
обр
q
и
кз обр
qq
,
то
0
2,5Q
, т.е. вероятность отказа этого же узла в
2,5
раза
меньше вероятности отказа одного контактора при обрыве.
Используя, таким образом, смешанное с точки зрения теории
надежности соединение элементов, можно значительно
повысить работоспособность систем.
При расчете интенсивности отказов системы также
учитывают функциональное (логическое) соединение ее
23
элементов. При логическом последовательном соединении n
элементов вероятность безотказной работы системы запишем
12
1
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
()
t t t t
n
ni
i
t dt t dt t dt t dt
c
t e e e e
,
(2.6)
где
t
n
tt
dtt
n
dttdtt
etptpetpe
00
2
0
1
)(
2
)(
1
)(
)(;);();(
.
Обозначим интенсивность отказов системы через
()t
,
представим
0
()
( ) .
t
t dt
c
te
(2.7)
Приравнивая правые части уравнений (2.6) и (2.7), получим
1
( ) ( ).
n
i
tt
(2.8)
Таким образом, интенсивность отказов системы за время t,
составленной из n последовательно соединенных (логически)
элементов, равна сумме интенсивностей отказов этих элементов
за тот же срок. В период нормальной эксплуатации
интенсивность внезапных отказов постоянна и, следовательно,
1
n
i
.
Для системы справедливо соотношение
и
c
T
аналогичное соотношение T и для элемента:
1
c
T
.
Поскольку
11
11
,
nn
i
ci
TT
(2.9)
24
то
1
1
1
c
n
i
TT
.
Если система состоит из n однотипных элементов,
соединенных последовательно, то средняя наработка до отказа
c
T
Tn
,
то есть убывает обратно пропорционально числу
последовательно включенных элементов. При этом вероятность
безотказной работы такой системы
( ) ,
c
t
tn
T
T
c
t e e
(2.10)
в то время как вероятность безотказной работы одного
элемента за то же время будет
()
t
T
te
. Таким образом,
вероятность безотказной работы системы меньше вероятности
безотказной работы одного элемента в отношении
1
n
e
.
Системы, имеющие логическое параллельное соединение
своих n элементов, реже встречаются при расчете надежности
ТПС. Если вероятность безотказной работы одного элемента
()
t
p t e
, то вероятность отказа системы при n параллельно
соединенных однотипных элементах составит на основании
выражения (2.5)
( ) 1
n
t
Q t e
и вероятность безотказной
работы системы
( ) 1 1
n
t
c
te
.
25
Среднее время безотказной работы такой системы (средняя
наработка системы до отказа)
00
1 1 1 1
( ) 1 1 1
23
n
t
c
T t dt e dt
n
.
Так как время безотказной работы одного элемента
0
1
T
, то, значит, наработка такой системы всегда больше наработки
одного элемента.
На практике чаще всего встречается параллельное
соединение 2-х одинаковых элементов, которое называется
дублированием или нагруженным резервированием.
При дублировании элементов при
const
22
( ) 1 (1 ) 2 .
t t t
c
P t e e e
(2.11)
Средняя наработка дублированной системы до отказа
составляет
0 0 0 0
22
123
2
11
22]2[)(
tdtttt
cc
edtedteedttPT
,
0
1,5
c
TT
. (2.12)
Таким образом, средняя наработка до отказа систем при
дублировании элементов в
1,5
раза превышает среднюю
наработку до отказа каждого элемента.
Формула (2.10) позволяет рассчитать вероятность
безотказной работы ТПС в целом в период нормальной
эксплуатации, где преобладают внезапные отказы и справедлив
экспоненциальный закон надежности. При этом предполагается,
что период приработки исключен, то есть элементы узла
прошли предварительную тренировку и ненадежные
отбракованы, а период усиленного износа исключен за счет
своевременного ремонта или замены стареющего элемента.
26
Пример 2.3. Рассчитать вероятность безотказной работы и
среднюю наработку до отказа системы, имеющей следующую
надёжностную схему соединения элементов.
Дано:
1
;
t
Pe
2
2
;
t
Pe
3
;
t
Pe
2
4
;
t
Pe
5
;
t
Pe
2
6
;
t
Pe
7
;
t
Pe
2
8
;
t
Pe
9
.
t
Pe
Решение:
23
23 32
;
t t t
P P P e e e
56 6
23
5
;
t t t
P P P e e e
78 8
23
7
;
t t t
P P P e e e
3
1 23
2
14/4
2 4 5 6
;
1 (1 (1 (1 1)) (1 (1 ))())1
t t t
t t t t t
P P P P e e e
e e e e e
33
56
5/9
3 4 6 7
78 9
;
1 (1 (1 (1 1) ) ) )(1 ( ))
2
1 (1
2
t t t
t t t t t
P P P P e e e
e e e e e
2 4 5 6 3 4 6 7
2 3 4 5 6 7 9 10 12
1/4 5/9
13
;
) 2 2 )
23
((
2 5 2
t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
с
t
P P P e e e e e e e e e e
e e e e e e e e e e
2 3 4 5 6 7 9 10 12 13
0
( 0,712 3 2 ) 352 .
t t t t t t t t t t
с
e e e e e e e e e eT Tdt
27
Oчевидно, что использование в схеме последовательных
групп элементов приводит к снижению средней наработки до
отказа системы
с
Т
по сравнению со средней наработкой до
отказа одного элемента Т.
3. Примеры расчёта надёжности систем с
использованием теории непрерывных
марковских процессов
Пример 3.1. Расчет надёжности системы при
ненагруженном резервировании элементов.
В отличие от нагруженного резервирования
(дублирования), при котором основной и резервный элемент
работают одновременно, при ненагруженном резервировании
работает только основной элемент, а резервный включается
после его отказа.
Рис. 3.1. Схема ненагруженного резервирования
1 – основной элемент; 2 – резервный элемент; 3 –
переключатель
Допустим, что основной и резервный элементы
равнонадежны. Вероятность безотказной работы элемента:
12
( ) ( )
t
P t P t e
,
1
2
3
28
где
1/T
,
T
– средняя наработка до отказа, то есть
распределение наработки до отказа описывается
экспоненциальным законом.
Рассмотрим функционирование системы, состоящей из
основного и резервного элементов, с позиции теории
марковских процессов [2].
Эта система в процессе функционирования может
находиться в 3-х состояниях:
1. Работает основной элемент, резервный выключен.
2. Работает резервный элемент, основной отказал.
3. Отказали оба элемента.
Рис. 3.2. Граф переходов системы при ненагруженном
резервировании элементов
Вероятность отказа одного элемента за время t равна
t
.
Поскольку рассматривается система без восстановления
отказавших элементов, то после отказа резервного элемента
система переходит в 3-е состояние, в котором остается с
вероятностью, равной 1. Такое состояние называется
тупиковым, или поглощающим.
Уравнения Колмогорова для рассматриваемой системы
записываются в виде:
11
2 1 2
3 2 3
( ) ( ) (1 )
( ) ( ) ( ) (1 ).
( ) ( ) ( ) 1
P t t P t t
P t t P t t P t t
P t t P t t P t
t1
1
t1
tt
1
2
3
29
Раскрыв скобки, перенеся
()
i
Pt
в i-ом уравнении из правой
части в левую, разделив обе части уравнения на t и перейдя к
пределу при
0t
, получаем следующую систему
дифференциальных уравнений:
'
11
'
2 1 2
'
32
( ) ( )
( ) ( ) ( ).
( ) ( )
P t P t
P t P t P t
P t P t
Граф переходов рассматриваемой системы несвязный, так
как попав в третье состояние система остается в нем и не может
перейти ни в какое другое состояние, поэтому для определения
вероятностей состояний необходимо решить систему
дифференциальных уравнений.
Задавшись начальными условиями
1
(0) 1P
;
23
(0) (0) 0PP
, решим систему дифференциальных уравнений
операторным методом [3].
После преобразования Лапласа система дифференциальных
уравнений превращается в систему алгебраических уравнений:
11
2 1 2
32
( ) 1 ( )
( ) 0 ( ) ( ).
( ) 0 ( )
s P s P s
s P s P s P s
s P s P s
Из первого уравнения находим
1
1
()Ps
s
, из второго
уравнения
2
2
()
()
Ps
s
.
По таблицам обратного преобразования Лапласа [3]
находим оригиналы, соответствующие изображения
1
()Ps
и
2
()Ps
1
( ) ,
t
P t e
2
()
t
P t t e
.
30
Так как система работоспособна, находясь в состоянии 1
или 2, то вероятность ее безотказной работы равна
12
( ) ( ) ( )
c
P t P t P t
( ) (1 ) .
t
c
P t t e
(3.1)
Интегрируя функцию
()
c
Pt
в пределах от 0 до , находим
среднюю наработку до отказа системы с ненагруженным
резервированием элементов.
00
( ) (1 )
t
cc
T P t dt t e dt
.
Возьмем полученный интеграл по частям:
1 , ,
1
,.
tt
u t du dt
dv e dt v e
0
0
11
(1 ) ( ) ( )
tt
c
T t e e dt
.
Поскольку функция
t
e
стремится к 0 быстрее, чем
возрастает t, то при подстановке верхнего предела
интегрирования первое слагаемое обращается в 0, а при
подстановке нижнего предела принимает значение
1
. В
результате имеем:
0
0
1 1 1 1 1 2
tt
c
T e dt e
.
Так как средняя наработка до отказа элемента
1
T
, то
2
c
TT
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]