Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Процессы самоорганизации в неупорядоченных материалах. Учебное пособие
.pdf
P
r
c
lnlim
1
0
пространственных показателей Ляпунова r. Они характеризуют неустойчивость
пространственного распределения или, другими словами, его чувствительность
к разнице в пространственных начальных условиях. Рассмотрим поперечное
сечение поверхности материала, сформированной при определенных условиях
(рисунок 3.3). Зафиксируем точку с координатой х0, которой соответствует
высота профиля h
мирована другая поверхность. Ее отличие от первой заключается только в отличии высоты профиля в точке х0. Причем эта разница бесконечно мала. При
условии, что хотя бы один пространственный ляпуновский показатель положителен, на расстояниях ℓ
поверхности будет сравнима со средней высотой профиля P, то есть оба
профиля будут совершенно различны. По аналогии с
длиной корреляций:
Значение максимального показателя Ляпунова позволяет идентифицировать
тип динамики системы: при λ
точке, при λ
max
тор, а в случае когда λ
Наличие положительных показателей Ляпунова у системы уравнений, описывающей структуру материала, означает, что она не обладает трансляционной
симметрией в пространстве, т.е. два участка материала, расположенные на расстоянии ℓ > ℓc друг от друга, не связаны (не коррелируют) по структуре
относительно друг друга. Если ℓ
отсутствует дальний порядок и можно утверждать, что структура вещества
некристаллическая. Если наблюдать участки материала, удаленные друг от
друга более чем на корреляционную длину, то их структура и свойства не будут
совпадать.
Для технологий важно, что показатели Ляпунова позволяют определять
пределы предсказуемого (управляемого) роста структуры на разных
пространственных и временных масштабах, т.е. фактически определять пределы
воспроизводимости характеристик материалов. Однако показатели Ляпунова
легко рассчитать, если известна математическая модель динамической системы.
Для реальных же экспериментальных данных вычисление этих инвариантов
затруднительно. В этой связи в данном проекте особое внимание уделено
разработке новых инвариантов и алгоритмов их вычисления для
пространственно-временных систем, позволяющих анализировать реальные
физические системы.
Несмотря на все трудности, рассмотренные методы реконструкции
позволяют получить качественные результаты. Применение основных
. Предположим, что при таких же условиях была сфор-
1
от точки х0 разница между значениями высот профилей
c
величину ℓc называют
с
. (3.7)
<0 система эволюционирует к фиксированной
max
=0 аттрактор системы представляет собой предельный цикл или
> 0, динамика системы хаотична [22].
max
<< L (размер системы), то в системе
c
21
X
X (0)
(0)
X (0)
2
3
1
X (t)
X (t)
X (t)
1
2
3
алгоритмов нелинейной динамики позволяет по-новому взглянуть на
физическую природу ряда фундаментальных проблем, присущих
неупорядоченным материалам, таких как невоспроизводимость структуры.
При этом определяющим фактором при синтезе вещества является наличие
корреляций. В [4] показано, что масштабы корреляций позволяют оценить
степень воспроизводимости выращиваемой структуры.
– соответствуют двум различным поверхностям,
полученным при одинаковых начальных условиях
Рисунок 3.2 – Экспоненциальное разбегание во времени двух
бесконечно близких траекторий для хаотических аттракторов
Рисунок 3.3 – Типичное изменение профиля поверхности материала,
иллюстрирующее понятие корреляционной длины
22
4 МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ
САМООРГАНИЗАЦИИ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ
Оценка исходных данных и предполагаемых результатов
Одной из задач экспериментального изучения процессов самоорганизации
является разработка эффективных методик анализа порядка в структуре
поверхности неупорядоченных материалов для наноэлектроники. Суть задачи
сводится к выявлению пригодности алгоритмов нелинейной динамики для
анализа порядка в структуре поверхности материала, адаптации используемых
алгоритмов нелинейной динамики для исследования поверхностей материалов,
определению по исходным изображениям поверхности материала наличия
корреляций в структуре поверхности материала как основного признака наличия
самоорганизации в процессе роста материала.
Предметом исследования являются пленочные структуры аморфных
соединений кремния, полученные при различных технологических условиях.
Поэтому необходимо изложенный выше теоретический материал, касающийся
методов обработки временных и пространственных последовательностей
данных, переработать применительно к исследованию поверхности.
Поверхность является пространственно-распределенной системой [4], то
есть она представляет собой не просто последовательность, а двумерное многообразие точек. Используемые понятия автокорреляционной функции (АКФ) и
средней взаимной информации (СВИ) ранее применялись для обработки
одномерных последовательностей данных. Поэтому одной из особенностей
применения алгоритмов нелинейной динамики для исследования порядка в
структуре поверхностей является адаптация их для двумерных массивов
данных.
Для выявления порядка в структуре поверхности и анализа динамики роста
по измерению характеристик поверхности использовались экспериментальные
данные о характеристиках пленочных структур, полученные с помощью АСМ
«Solver Pro» (Рязанский региональный центр зондовой микроскопии
коллективного пользования, г. Рязань, РГРТУ).
Изображение, полученное с помощью атомно-силового микроскопа, представляет собой прямоугольный участок плоскости xy, точечный рисунок, на
котором высота рельефа в данной точке соответствует ее яркости. Высота
отсчитывается от некоторого уровня, принятого за нулевой, и измеряется через
дискретные интервалы расстояния. Для модельных образцов нулевой уровень
оговаривается конкретно для каждого случая, для реальных образцов
поверхностей нулевым считается минимум уровня в вертикальном направлении.
Таким образом получается функция высоты, к которой в дальнейшем и будет
применена диагностика. По изображениям исходных образцов сложно дать
какую-либо характеристику упорядоченности образца. Можно лишь судить о
характерном типе структур.
23
Исследуемые поверхности можно представить как двумерные числовые
массивы, содержащие Z-координаты (высота рельефа) реальной или моделируемой поверхности над прямоугольной областью. С метрической точки зрения
исходный материал характеризуют следующие параметры:
- число точек и разрешение по оси X;
- число точек и разрешение по оси Y;
- единица измерения по оси Z.
Таким образом, исследуемый материал представлен в виде двумерной
поверхности в трехмерном пространстве. В цифровом варианте – это матрица
чисел в формате плавающей запятой или целых. В последнем случае
подразумевается некоторая приведенная единица расстояния по высоте над
поверхностью образца.
Для использования понятия средней взаимной информации рассматривается
высота профиля поверхности как случайная величина h, определённая на прямоугольной области. Как уже отмечалось, поверхность является «замороженным»
снимком процесса отвердевания. Если при структурообразовании в веществе
протекали процессы самоорганизации, то между различными частями системы
создаются и поддерживаются воспроизводимые взаимоотношения, называемые
корреляциями. Таким образом, корреляция значений введенной случайной
величины в различных областях может трактоваться как признак наличия
порядка в структуре или результат процессов самоорганизации. При этом чем
больше взаимосвязь высот между точками поверхности, тем больше значение
средней взаимной информации. Поэтому критерием корреляции между точками
исследуемого образца будем считать наличие максимумов на графике СВИ. Для
более детального анализа изучаемых поверхностей также рассмотрим
корреляционную функцию, выясним, характеризует ли АКФ порядок в
структуре.
Результатом обработки исходных данных станут двумерные массивы
(поверхности) данных, представляющие собой параметризированные по одному
или двум параметрам интегральные характеристики исходных данных.
4.2. Математическое определение и физический смысл СВИ как
инварианта порядка структуры поверхности неупорядоченных
полупроводников
В основе применяемых математических методов лежит понятие средней
взаимной информации (СВИ) – важной характеристики нелинейных систем.
Именно она в отличие от функции распределения, автокорреляционной функции
(АКФ) и спектров Фурье характеризует корреляции в хаотических нелинейных
системах. Кроме того, поиск локального минимума СВИ является важным
этапом в процедуре вложения и вычисления аттрактора системы, так как по
24
DyxByxA ),(),,(
2211
)()(
),(
log),(
21
21
221
zPzP
zzP
zzI
BA
AB
AB
,
(4.1)
),(21zzI
AB
21
21
21
221
)()(
),(
log),(),(
2
dzdz
zPzP
zzP
zzPBAI
BA
AB
Z
AB
первому локальному минимуму СВИ определяют важный параметр
реконструкции – время задержки [23].
Математическое определение СВИ дается общей теорией информации (см.
п. 3). Адаптируем это понятие применительно к двумерному распределению
случайной величины.
Пусть h – случайная величина – высота профиля поверхности материала в
точке с координатами (x, y), D – область определения случайной величины h
(плоскость образца), Z – область значений (z-координаты точек поверхности).
Определим взаимную информацию между произвольной парой точек:
где PA(z1), PB(z2) – вероятности того, что случайная величина, отвечающая высоте профиля, принимает в точках А и В значение z1 и z
PAB(z1,z2) – совместная вероятность одновременного принятия заданных значений в двух данных точках.
Появление в формуле взаимной информации логарифма обусловлено
исторически сложившимися традициями теории информации и ведет к тому, что
величина взаимной информации выражается в битах. При этом взаимная
информация определяет именно корреляцию между величинами. Так, если
события, состоящие в принятии соответствующих значений случайной величиной в точках А и В, независимы, то из теории вероятностей PAB = PA∙P
взаимная информация принимает значение, равное нулю. То есть если значение
z1 высоты профиля в некой точке А не имеет корреляции со значением z2 высоты
профиля поверхности в точке В, то наше знание о z2 при известном значении z1
соответственно;
2
B
, а
равно нулю. Если же z1 и z2 коррелируют, то PAB ≠ PA∙PB, и
Средней взаимной информацией при этом называется усредненная величина
взаимной информации по всем возможным значениям IAB(z1,z2) для заданной
пары точек, которая определяется путем двойного интегрирования по Z2:
. (4.2)
Таким образом, СВИ — это функция на D2, причем анализ ее поведения
показывает, что СВИ принимает только неотрицательные значения.
Очевидно, что СВИ, подсчитанная для двух конкретных точек, не имеет
физического смысла – точки поверхности в них имеют вполне конкретные
координаты z. Ясный физический смысл имеют лишь преобразованные функции
СВИ (назовем их «свёртками»), рассчитанные для отображений D2 в пространстве новой переменной, при этом свёртка может производиться по разным
параметрам. Общая формула имеет вид:
25
≠0.
D
SDS2:
sddS
SD
S
dddd
sM
ddI
sI
),(
21
21
21
)()(
)(
),(
)(
, (4.3)
|,|),(
2121
ddddL
|,|
21
2
21
21
)()(
2
),(
)(
dd
L
dddd
D
ddI
I
. (4.4)
где d1, d2 – обобщенные параметры точек А и В в пространстве D2 (в нашем
случае d1 соответствует двум координатам: x1, y1, а d2 – x2, y2).
Для каждого значения параметра s интегрирование ведётся по всем парам
точек, которые данная свёртка отображает в новое пространство SD, I –
определённая в (4.2) средняя взаимная информация между точками,
характеризующимися параметром s, а MSD(s) – мера нового пространства SD,
отображаемого выбранной свёрткой по параметру s, в пространстве D2.
В качестве примера рассмотрим СВИ как функцию расстояния на области
D, которая определяется как простейшая свертка I (A, B) по окружностям радиусом ℓ. Под расстоянием между точками здесь понимается скаляр, вычисляемый как длина отрезка между проекциями точек на горизонтальную плоскость
образца. Формула (4.3) примет вид:
Физический смысл IL(ℓ) — среднее количество информации, которое известное значение в данной точке несет о значениях на расстоянии ℓ. Расчет IL(ℓ)
производится путем численного интегрирования – построения многомерных
гистограмм на D × D × R, где R – область неотрицательных действительных
чисел (область определения СВИ), и суммирования по равным расстояниям [23].
В этом случае СВИ по расстоянию – одномерная функция (D2 – площадь
образца).
Применение такой одномерной СВИ было реализовано в работе [23]. Была
выявлена важная особенность расчета СВИ для ограниченных массивов данных
с размерностью больше единицы, которая заключается в том, что качество
статистики для различных расстояний существенно различается. Это качество
напрямую определяется размером выборки. Для двумерного случая свертки
СВИ по расстоянию этот размер пропорционален длине окружностей с радиусом ℓ, равным аргументу, то есть 2πℓ. Действительно, размер выборки для
близко расположенных точек будет, очевидно, гораздо больше, чем для точек,
расположенных на расстояниях, близких к предельным из рассматриваемых.
При исследовании реального образца следствием этого эффекта могут стать
неверное определение минимумов и максимумов СВИ либо их отсутствие, а в
результате – плохо реконструированный в пространстве аттрактор. Корректный
учет переменного качества статистики может быть проведен через нормировку
СВИ, что и было сделано в предлагаемом алгоритме.
26
dttutua )()()(
Так как в формуле (4.3) в качестве свёртки S может применяться отображение в пространство любой размерности (в том числе и большее 2),
соответствующую размерность имеет и функция СВИ I
свертку будем производить по ненаправленному вектору между двумя точками.
Тогда график СВИ будет представлять собой поверхность в декартовой системе
координат, что удобно и понятно для восприятия.
СВИ – всегда неотрицательная функция, в одних точках свёрнутого
пространства (например, для определенного расстояния) может быть близкой к
нулю, в других – значительно больше средней по всему распределению СВИ.
Последнее, если происходит вдали от сигнатуры (свёртки близких друг к другу
точек), может говорить о наличии системообразующего фактора: самоорганизации, переноса информации и т.п.
Итак, по экспериментальным данным о профиле поверхности имеется принципиальная возможность рассчитать СВИ – характеристику нелинейной динамики, выявляющую наличие корреляций в структуре поверхности, которые в
свою очередь свидетельствуют об упорядоченности в структуре материала.
Понятие СВИ хорошо иллюстрирует сравнение с автокорреляционной
функцией (АКФ). АКФ играет важную роль в теории сигналов, радиолокации и
других областях радиотехники. АКФ сигнала u(t) вводится для количественного
определения степени отличия сигнала и его смещенной во времени копии
u(t – τ):
. (4.5)
. В нашем случае
S
Функцию а(τ) можно трактовать как энергию взаимодействия колебаний u(t)
и u(t – τ), она характеризует степень связи (корреляцию) сигнала со своей
копией, сдвинутой на величину τ по оси времени, и поэтому хорошо выявляет
структуру линейного сигнала (как это будет показано в п. 4.4 на примере
«синусоидальной решетки»). При τ = 0 АКФ становится равной энергии сигнала
и это значение максимально (любой сигнал полностью коррелирован с самим
собой), то есть при любом значении временного сдвига τ модуль АКФ не
превосходит энергии сигнала. Поэтому функцию часто нормируют по этому
значению. В разрабатываемом программном обеспечении также будет
применяться эта нормировка, поэтому максимальное значение АКФ всегда
равно единице.
Для реальных колебаний (т.е. ограниченных по энергии и продолжительности) а(τ) является убывающей функцией, но не обязательно монотонной.
Например, если задержка оказывается кратной периоду последовательности
импульсов (при τ = ±Т, ±2Т и т.д.), то наблюдаются побочные «лепестки» АКФ,
сравнимые по интенсивности с главным пиком; периодические колебания
порождают колебательный характер АКФ. При этом период функции а(τ)
совпадает с периодом исходного сигнала и не зависит от начальной фазы
27
drrFdrrrFrFrK )(/))()(()(
2
00
колебания. К числу простейших свойств АКФ также можно отнести ее четность
а(τ) = а(–τ).
Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала u(t)
АКФ может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.
Для случая исследования поверхности исходные данные представляют собой двумерный массив чисел. Сигнал представляет собой пространственную
функцию высоты профиля, поэтому АКФ будем рассчитывать по следующей
формуле в зависимости от вектора r
полуплоскость декартовой системы координат:
Таким образом, АКФ будет показывать корреляцию между исходным
распределением высоты профиля по поверхности и тем же распределением,
сдвинутым в пространстве горизонтальной плоскости на вектор r0.
4.3. Описание алгоритма и программы расчета СВИ, АКФ,
а также построения вложения Ф. Такенса по информации
о профиле поверхности материала
На основе изложенного ранее подхода была разработана программа «Хаос
1.0» для расчета характеристик поверхности материала (СВИ) по изображениям
поверхностей образцов аморфных соединений кремния, полученных на АСМ
«Смена». Предлагается следующий алгоритм обработки экспериментальных
данных.
Пусть исходное изображение представляет собой квадрат со стороной N точек. Введем систему координат для исходных изображений поверхностей. За
начало координат примем левый верхний угол изображения. Для ясности введем
по пространственным координатам x и y относительные единицы измерения:
1) для моделируемых математически поверхностей х = Nx/K; y = = Ny/K,
где Nx и Ny соответствуют номеру точки по соответствующей оси, К –
максимальное расстояние корреляции. СВИ будем рассчитывать для пар точек с
разностью каждой из координат, не превышающей K, в производимых расчётах
принималось K = N/4. Другими словами, предполагается исследовать
корреляции в масштабах не больше 1/4 образца (рисунок 4.1);
2) для экспериментальных образцов изображения поверхности имеют
размеры 20 х 20 мкм; поэтому вводим относительные единицы измерения: х =
4∙ℓ
/ (20 мкм); y = 4∙ℓy /(20 мкм), где ℓ
х
точки в мкм.
Таким образом, для всех исходных изображений образцов х = 0...4; у = 0...4.
, который пробегает верхнюю
0
. (4.6)
, ℓ
– расстояния от начала координат до
х
y
28
y=Ny/K
х=N
x
/K
Рисунок 4.1 – Введение относительных единиц для геометрических размеров
образца
Для расчёта ВИ и интегрирования по пространству значений производится
дискретизация – интервал значений высот профиля разбивается на NZ равных
отрезков, в производимых расчётах принималось NZ = 128.
Алгоритм составлен для случая, когда пространство свёртки – двумерное, а
свёртка производится по ненаправленным векторам. Так как ВИ и свёртка СВИ
в указанном варианте – функции симметричные и верхняя половина пространства векторов центрально симметрична нижней, её можно не считать и не
выводить изображение распределения.
Таким образом, пространство свёртки СВИ представляет собой прямоугольник размером 2∙K×K, у которого по горизонтали отложены смещения по
оси Х, по вертикали – Y в координатах, соответствующих введенным для
исходных изображений относительным единицам, поэтому для СВИ середина
верхней стороны каждого прямоугольника будет иметь координаты (0,0), а
левый и правый нижний угол соответственно (-1,1) и (+1,1). В середине верхней
стороны этого прямоугольника находится точка сигнатуры с координатами (0,0)
– в неё сворачиваются ВИ всех точек с собой (рисунок 4.2).
Для каждой точки этого прямоугольника с координатами (x, y) производятся
следующие вычисления:
- заполняется нулями массив E размером NZ ∙ N
совместные вероятности значений;
- производится цикл по всем точкам (x, y) начального массива данных R
размером N ∙ N, таким что и точка (x, y), и точка (x+dx, y+dy), для которых
рассчитывается ВИ, лежат в области определения. Пусть высота поверхности в
этих точках – z и zd соответственно, в массив E по относительным координатам
(z, zd) добавляется единица. Реально для увеличения точности пропорциональ-
29
, в нём будут накапливаться
Z
х, отн. ед.
у,
отн. ед.
ные дробным частям (p/NZ) и (pd/NZ) доли распределяются между 4-мя соседними ячейками этого массива;
- по окончании цикла все элементы массива делятся на число
отсканированных пар точек с учётом краевых эффектов, тогда суммы по
строкам и столбцам этого массива суть вероятности из знаменателя интеграла
(4.2), а сами ячейки массива – совместные вероятности из числителя того же
интеграла. Подставляем все величины и суммируем;
- все перечисленные шаги в качестве результата дают СВИ в одной точке
пространства свёртки – прямоугольника 2∙K х K. Весь цикл повторяется для
всех точек этого прямоугольника.
В результате значения СВИ для каждой точки прямоугольника как z-
координата изображаются с помощью программы визуализации сопоставлением
численных значений СВИ со значениями яркости данной точки.
Чем ярче точка с координатами (х, у) на изображении распределения СВИ,
тем больше средняя взаимная информация между всеми точками поверхности
исходного образца, которые можно соединить вектором с соответствующей
длиной и направлением. АВ – ненаправленный вектор, соответствующий всем
парам точек исходной поверхности, расположенным друг от друга на
расстоянии, равном длине вектора, и в соответствующем направлении по
отношению друг к другу.
Рисунок 4.2 – Координатные оси распределения СВИ
Данный алгоритм был реализован программно. При этом кроме общего поля
СВИ, рассчитывалось СВИ для четырех квадрантов исходного изображения и
результат выводился в масштабе 50 %. Все поля отображались в одном квадрате,
верхнюю половину которого занимало общее поле СВИ, а нижнюю –
уменьшенные поля СВИ отдельно для каждого из четырёх квадрантов.
Дополнение анализа таким дифференцированным материалом позволяет
выявить особенности СВИ, как свойственные всему изображению, так и те,
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]