Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Процессы самоорганизации в неупорядоченных материалах. Учебное пособие
.pdf
который обусловлен динамическими особенностями процесса
структурообразования.
Данный метод может применяться для оценки пригодности исследуемой
поверхности относительно заданного критерия, но не позволяет дать
рекомендации по выбору оптимальных условий получения материала.
а б
Рисунок 2.2 – Изображение условной решетки атомов углерода,
полученное численным моделированием, и результата ее вейвлет- фильтрации
a – искаженное шумом изображения модельной решетки атомов углерода;
б – изображение, полученное после построчной вейвлет-фильтрации;
в – силовые сигналы вдоль отдельных линий сканирования [12]
в
11
а б
в
Рисунок 2.3 – Структурная диагностика поверхности с помощью
корреляционного и вейвлет–анализа
а – исходное изображение рельефа поверхности [18];
б – ее вейвлет-преобразование с характерными параметрами структур, полу-
ченными из анализа АКФ;
в – автокорреляционная функция (АКФ)
Таким образом, можно сделать вывод, что существующие методы исследования и моделирования механизмов и динамики процессов роста твердотельных
полупроводниковых и диэлектрических материалов имеют серьезные недостатки.
Для исследования порядка в структуре поверхностей необходимо
применять методы, разработанные для изучения именно нелинейных систем, и
использовать в качестве характеристик инварианты нелинейных систем. (Инвариантами называются величины, остающиеся постоянными при изменении
технологии.)
12
Метод вложения Ф. Такенса
В разрабатываемом подходе к анализу процессов структурообразования за
основу принимается тот факт, что в результате самоорганизации у системы
остается небольшое число параметров порядка, которые определяют ее
поведение. На этом базируется главная идея экспериментального изучения этих
систем, т.е. нет необходимости исследовать динамику всего исходного
бесконечномерного фазового пространства. Вполне достаточно наблюдать
аттрактор системы, размерность которого при математическом описании во
многих исследованных физических системах оказалась довольно мала,
например три, пять [13].
Основным способом анализа нелинейных систем является метод вложения,
основанный на результатах, полученных Ф. Такенсом. С его помощью можно
отличать системы, демонстрирующие хаотическое движение в пространстве
небольшой размерности от систем с шумом, а также выявлять простое регулярное движение. С другой стороны, с помощью этого метода можно измерять инвариантные характеристики хаотических систем [19].
Метод основан на идее, что любой сигнал от системы содержит в себе информацию обо всех процессах внутри нее, поскольку все части динамической
системы взаимосвязаны и могут быть рассмотрены как единое целое. Поэтому
поведение системы можно расшифровать по измерениям любой динамической
характеристики в одной точке через равные промежутки времени. Эту идею
удалось сначала обосновать теоретически, а затем успешно использовать для
исследования многих физических, химических, биологических и иных сложных
систем. Полученная последовательность данных обычно обрабатывается по
алгоритму Грассбергера-Прокаччиа. При этом определяются вид и размерность
аттрактора, число степеней свободы, показатели Ляпунова и другие параметры
динамики.
Метод Такенса, первоначально разработанный для исследования поведения
систем, изменяющих свое состояние во времени, был адаптирован для изучения
пространственно-распределенных систем, какими, например, являются
поверхности материалов.
При использовании метода реконструкции применительно к процессам
роста материалов необходимо учитывать следующие обстоятельства.
Во-первых, вещество в процессе отвердевания является пространственновременной системой. Поэтому динамики процессов в различных точках и на
разных пространственных масштабах могут различаться. Это, в частности,
подтверждается присутствием в структуре материалов различных
неоднородностей, характеристики которых существенно отличаются от
окружающих их областей. Поэтому одних только временных серий (t-серий)
измерений какой-либо характеристики вещества может оказаться недостаточно
для восстановления полной картины эволюции.
13
Первым шагом к реконструкции фазового пространства является
рассмотрение чисто пространственных серий. При этом все процедуры выбора
параметров реконструкции, разработанные для чисто временных серий, могут
быть использованы прямым образом для реконструкции пространственного
распределения мгновенных снимков динамического двухмерного процесса, в
нашем случае это поверхность материала.
Полное описание эволюции пространственно-временной системы может
быть достигнуто, если реконструировать временную эволюцию мгновенных
снимков обычным путем. Этот подход возможен, но практически несовместим с
современными вычислительными мощностями. Причиной является очень
большая размерность системы, связанная с пространственными степенями свободы. Возможным способом решения этой проблемы является проведение таких
упрощений, которые привели бы к уменьшению размерности пространства. Это
может быть сделано исходя из особенностей процессов роста, выявляемых по
структуре выращенного материала, а также из практических соображений,
связанных с потребительскими свойствами материалов. Так, например, при
изучении процессов возникновения периодических неоднородностей в кристаллах вдоль плоскости роста или вдоль направления роста можно пренебречь
одной из координат. При этом следует обращать внимание на выбор соответствующего пространственного масштаба измерения, поскольку, как показано в
[13], это оказывает весьма существенное влияние на результаты реконструкции.
Другой особенностью при изучении динамики отвердевания с помощью метода вложения является то, что этот процесс, как и процессы самоорганизации в
других системах, локализован в определенной области пространства. Реконструкция динамики роста должна осуществляться по измерениям какой-либо характеристики промежуточного слоя (ПС). Но такие измерения оказываются довольно сложными. Эту трудность можно частично устранить, если использовать
для исследований большие объемы вещества, помещенные в критические
условия, соответствующие точке фазового перехода.
Еще одной особенностью изучения динамики является выбор характеристики для измерения. Для наблюдения предпочтительно использовать те из них,
изменения которых относительно велики и могут быть уверенно зафиксированы
в эксперименте. К ним можно отнести: скорости атомов (молекул) в ПС,
измеряемые методом рассеяния света, электропроводность и др.
Наконец, самой важной особенностью исследования процессов роста является то, что их динамика может быть частично восстановлена по уже сформированной структуре, т.е. с помощью пространственных серий (r-серий). Это
связано с тем, что структура “хранит” информацию о своей предыдущей эволюции на временах, меньших, чем время корреляций [4]. Реконструкция динамики по r-сериям имеет принципиальные преимущества по сравнению с t-сериями. Структура материала, являясь "замороженным" снимком динамических
процессов, не подвержена шуму, и необходимость фильтрации шума практически отпадает. Что касается определения фрактальной размерности, то в некото-
14
рых случаях она может быть определена по физическим свойствам материала и
процедуры встраивания не требуется [20].
Использование r-серий более всего оправданно для технологий
выращивания материала из газовой фазы. В этом случае граница роста является
поверхностью. Использование t-серий предпочтительнее для технологий, в
которых реализуется переход расплав – твердое тело, поскольку трудно
определить пространственное распределение именно на границе роста.
Для доказательства факта, что структура некристаллических материалов
представляет собой «замороженный» детерминированный хаос, т.е. фактически
не может быть представлена как случайная сетка атомов, была исследована
структура поверхности аморфного гидрогенизированного кремния (a-Si:H) [1].
С помощью адаптированного для пространственно-распределенных систем
синтеза материала метода вложения Такенса проводились экспериментальные
исследования структуры поверхности различных материалов, исходя из
соображений, что поверхность является «замороженным» снимком
динамической картины процессов роста материалов, получаемых из газовой
фазы (например, a-Si:H) без учета релаксационных процессов, и, следовательно,
в распределении вещества по поверхности содержится информация о
пространственно-временной динамике роста.
В качестве измеряемой переменной необходимо было выбрать высоту
профиля поверхности, отсчитываемую от некоторого уровня, принятого за
нулевой. Она однозначно характеризует распределение вещества по
поверхности роста и отражает процессы пространственно-временной эволюции.
Профиль поверхности исследовался методами сканирующей туннельной
микроскопии и атомной силовой микроскопии [21]. Измерения высоты профиля
проводились вдоль поверхности через дискретные интервалы.
Полученные данные обрабатывались по алгоритму Грассбергера –
Прокаччиа и определялись инварианты хаотической динамики данных систем.
Наибольший интерес представляют так называемые топологические
инварианты, которые отражают геометрические свойства векторного поля,
характеризующего динамику (в нашем случае это трехмерная структура
поверхности). К ним относятся, прежде всего, корреляционная (фрактальная)
размерность, вычисляемая по методу Грассбергера-Прокаччиа, и показатели
Ляпунова [4]. Важной характеристикой нелинейных систем является средняя
взаимная информация (СВИ), поскольку именно она, а не линейная
автокорреляционная функция, являющаяся средним по квадратичной
полиномиальной статистике, описывает корреляции в нелинейных системах.
Рассмотрим эти параметры несколько подробнее.
15
3. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ РОСТА МАТЕРИАЛА
Определим основные понятия хаотической динамики, используемые при
рассмотрении инвариантов.
Фазовое пространство. В случае когда система описывается конечным
набором параметров (n), ее динамику удобно рассматривать в некотором абстрактном пространстве, оси которого образованы переменными x1, ... , xn. Это n-
мерное пространство называют фазовым пространством. Каждому состоянию
динамической системы соответствует точка в этом пространстве – изобра-
жающая точка, и каждой точке из этого пространства соответствует единственное состояние системы. Изменения состояния системы можно интерпретировать как движение изображающей точки в фазовом пространстве. Траектория
такой точки, то есть последовательность положений в фазовом пространстве,
называется фазовой траекторией. Множества фазовых траекторий, соответствующие различным начальным условиям, образуют фазовый портрет динамической системы. Изучение динамической системы в фазовом пространстве дает
возможность описать качественные свойства ее поведения.
Аттрактор. В настоящее время нет единого мнения по поводу наилучшего математического определения аттрактора. В общем случае аттрактор –
это предельное состояние системы, к которому стремятся все исходные режимы
функционирования при времени процесса эволюции, стремящемся к бесконечности. Это название произошло от английского слова attractive – притягательный, т.е. имеется в виду, что система как бы притягивается, скатывается к этому
относительно предсказуемому и воспроизводимому режиму.
Если система приходит в процессе эволюции к устойчивому состоянию
равновесия – аттрактор системы будет просто неподвижной точкой, если это
устойчивое периодическое движение – аттрактором будет замкнутая кривая,
называемая предельным циклом (рисунок 3.1). Ранее считалось, что аттрактор
есть образ исключительно устойчивого режима функционирования системы.
16
а б
Рисунок 3.1 – Основные типы аттракторов динамических систем
а – фиксированная точка;
б – предельный цикл (траектории следуют по регулярной кривой,
окружности, эллипсу или тору);
в – «странный аттрактор»
Однако при значении размерности фазового пространства N ≥ 3 возможен
принципиально иной тип фазовых траекторий – это так называемые «странные
аттракторы». В таких системах фазовые траектории также с течением времени
стягиваются к аттрактору. Но на самом аттракторе движение является
неустойчивым: любые две траектории системы расходятся экспоненциально,
оставаясь все же на аттракторе. Фазовая траектория динамической системы в
этом случае представляет собой бесконечную линию без самопересечений,
причем при t → ∞ траектория не покидает заданной области и не притягивается
ни к точкам равновесия, ни к циклическим траекториям. Классическим
примером такой системы является так называемый аттрактор Лоренца, описывающий движение жидкости в подогреваемом снизу горизонтальном слое и
представляющий собой систему из трех обыкновенных дифференциальных
уравнений. Странному аттрактору соответствует сложное апериодическое движение, схожее с обыденным представлением о хаотическом процессе. Однако их
в
17
)/1ln(
)(ln
lim
0
M
D
F
lnlnlim
)(
1
2
0
M
i
iC
pD
динамика детерминирована и воспроизводима при условии точного повторения
начальных условий. О таком поведении динамических систем говорят как о
детерминированном динамическом хаосе.
Далее рассмотрим основные инварианты хаотической динамики.
Размерность аттрактора определяет количество информации, необходимое для задания координат точки, принадлежащей аттрактору, в рамках
указанной точности, и является удобной мерой для категоризации поведения
систем. Размерность позволяет отличать системы, демонстрирующие
чрезвычайно сложное хаотическое, но вместе с тем детерминированное поведение, от систем с чисто случайным поведением. Обсуждаемые в литературе определения размерности разделяются на два типа: зависящие только от метрических свойств аттрактора и, помимо метрики, зависящие от статистических
свойств системы, обусловленных динамикой. В типичных случаях различные
метрические размерности принимают одинаковую величину, которую принято
называть фрактальной размерностью аттрактора [22]:
, (3.1)
где М (ε) – минимальное число n-мерных «кубиков» с ребром ε, необходимых
для покрытия аттрактора в n-мерном фазовом пространстве, при условии, что
размер «кубика» стремится к нулю. Для регулярных систем фрактальная размерность совпадает с обычной размерностью. Так, применив это определение для
вычисления размерности точки, линии и поверхности, легко убедиться в
привычных значениях 0, 1 и 2 соответственно, а для тора DF = 3. Для нетривиальных множеств размерность DF может оказаться дробной. Термин "странный
аттрактор" отражает именно этот аспект.
Размерности, определяемые с учетом вероятности посещения траекторией
различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называют вероятностными. Одним из представителей класса вероятностных размерностей является
корреляционная размерность DC, характеризующая степень сложности динамики исследуемой системы и определяемая соотношением:
, (3.2)
2
где p
- вероятность того, что пара точек аттрактора принадлежит i-му кубику.
i
Корреляционная размерность является оценкой фрактальной размерности
«снизу» (DC ≤ DF) [4].
Традиционный способ выбора временной задержки состоит в вычислении
средней взаимной информации (СВИ) между двумя измерениями и
нахождении ее первого минимума. Этот способ учитывает важные аспекты
18
)()(
),(
log),(
2
jBiA
jiAB
jiAB
bPaP
baP
baI
),(),(
,
jiAB
ji
jiABAB
baIbaPI
)()(
),(
log),(
,
2
jBiA
jiAB
ji
jiABAB
bPaP
baP
baPI
)]([)]([
)](),([
log)](),([)(
1
2
TksPksP
TksksP
TksksPTI
M
k
хаотического поведения, а именно точку зрения теории информации,
приводящую к нелинейным представлениям о независимости [13].
Пусть даны два множества измерений A и B. Взаимная информация между
элементом ai множества A и элементом bj множества B определяется как количество информации, которое имеют измерения ai и bj по отношению к друг другу:
, (3.3)
где РА(а
Взаимная информация двух измерений ai и bj симметрична и означает
количество нашего знания о величине bj по измерению ai (в битах).
Усредняя по всем возможным измерениям величины IAB(ai, bj), получаем СВИ
между любой величиной ai из системы А и величиной bj из системы В:
РАВ(а,b) = РА(а) Р
сту [изучение физической системы s(k)], предположим, что наблюдаемая последовательность s(k) представляет собой множество А, а результаты измерения
спустя время Т – s(k+T) – множество В. СВИ наблюдений в момент k и k+T, т.е.
количество информации о s(k+T), которую можно получить, имея s(k), равно:
) – вероятность получить значение аi из набора А;
i
РВ(b
) – вероятность получить bj из набора В;
j
Р
, bj) – совместная вероятность получить аi и bj одновременно.
АВ (аi
Если измерения независимы, то взаимная информация равна нулю.
, т.е.
. (3.4)
Когда измерения по системе А и системе В совершенно независимы, то
(b) и IAB(ai, bj)=0.
В
Для того чтобы применить это абстрактное определение к нашему контек-
. (3.5)
Вычисление I(Т) по полученным данным очень несложно. Для того чтобы
найти P[s(k)] необходимо просто взять величины s(k) и спроецировать их на ось
s. Гистограмма частот, с которыми появляются любые величины s, и даст нам
P[s(k)]. Если временные серии достаточно длинны и носят стационарный харак-
тер, то P [s(k+T)] будет такой же, как P[s(k)]. Совместную вероятность вычисляют подсчетом числа попаданий s(k) в ячейки на плоскости s(k+T) от s(k). Затем это распределение нормализуется [13]. Понятие СВИ, которое в двумерном
19
)0(x
)0(x
)()()( txtxtd
)(tx
)(tx
)0(x
)0(x
)(tx
)(tx
)0(
)(
ln
1
limlim)),0((
0)0(
d
td
t
x
dt
t
)0(x
)0(x
случае не столь тривиально, описывает корреляции в нелинейных системах [7] и
применяется для анализа порядка в структуре поверхности в описанной далее
методике.
Итак, реконструкция аттрактора позволяет определить размерность, которая
является удобной мерой для идентификации систем, позволяющей определить
вид динамики. Но она не очень полезна для практического применения
(моделирования и управления). Больший интерес с позиций физиков и технологов, работающих над изучением и управлением процессами роста различных
материалов, представляют другие топологические инварианты, которые отражают геометрические свойства векторного поля, характеризующего динамику, а
именно показатели Ляпунова.
Показатели Ляпунова являются в прямом смысле динамическими инвариантами и наиболее информативны.
Выберем две близкие точки
смотрим, как меняется расстояние между ними
мени [
и
- это решения дифференциального уравнения n-го порядка,
описывающего эволюцию пространственно-временной системы с начальными
данными
и
]. Если аттрактор - особая точка, то d(t) = 0. Если аттрак-
тор - предельный цикл, то d(t) будет периодической функцией времени. Но у
странного аттрактора d(t) exp (
достаточно близки] [4]. Величина t называется ляпуновским показате-
лем. Ее формальное определение таково:
и
, лежащие на аттракторе, и по-
с течением вре-
∙t), где
t
> 0 [конечно, до тех пор, пока
t
, (3.6)
и
где - вектор от точки
к точке
. Можно сказать, что ляпуновский
показатель, если он положителен, характеризует среднюю скорость разбегания
двух бесконечно близких траекторий (или сближения, если он отрицателен).
Экспоненциальное разбегание во времени двух бесконечно близких траекторий
для класса хаотических аттракторов показано на рисунке 3.2.
Применительно к процессам роста наличие положительных временных
показателей Ляпунова означает, что через некоторое время, пропорциональное
времени корреляций, структура вышележащих слоев не будет повторять структуру нижележащих, т.е. на расстоянии ℓ= = сvg от слоя, принятого за
начальный, структура не будет воспроизводиться (v
- скорость роста). Если
g
рассматривать два различных технологических процесса, протекающие
одновременно, то через время корреляций зависимость между структурами
материалов, выращиваемых в них, исчезнет.
По аналогии с системами, эволюционирующими во времени, для мгновенных снимков пространственно-временной системы можно ввести понятие
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]