Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы экономического прогнозирования. Учебное пособие
.pdf
В ячейках B5–B8 можно задать некоторые начальные значения, которые будут пересчитываться в процессе решения оптимизационной
задачи.
В ячейку B9 введена формула
=КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C3:L3;C4:L4)/СЧЁТЗ(C3:L3))
Для нахождения параметров , ,
и
l
0
используем «Поиск ре-
b
0
шения».
В диалоговом окне
Оптимизировать целевую функцию $B9 До Минимум Изменяя
зать:
ячейки переменных:
Параметры поиска решения необходимо ука-
$B5:$B8.
Результаты прогнозирования представлены на графике (рис. 4.3).
Прогноз представляет собой прямую линию.
К сожалению, во многих случаях не удается с первой попытки
найти параметры модели Хольта, обеспечивающие приемлемое качество прогнозной модели. Это связано с тем, что оптимизационная задача включает четыре параметра, что обусловливает возможность
существования множества локальных оптимумов. Нашей целью в данной задаче является нахождение глобального минимума среднеквадратической погрешности
. На практике зачастую ограничиваются
нахождением некоторого приемлемого локального минимума, так как
достижение глобального минимума является нетривиальной задачей.
Поэтому необходимо выполнить несколько вариантов поиска с различными начальными значениями параметров , ,
Теоретически значения параметров и должны быть неотри-
цательными. Для этого в окне
Параметры поиска решения необхо-
и
l
0
.
b
0
димо добавить соответствующее ограничение. В некоторых случаях
это позволяет улучшить получаемые результаты построения модели
Хольта.
Пример 4.2. Решить задачу 4.1, используя модель Хольта с демпфи-
рованием.
Решение. Для работоспособности модели Хольта с демпфирова-
нием необходимо задать значения пяти параметров: , , ,
и
l
b
0
0
Значения этих параметров находят, решая соответствующую оптимизационную задачу.
На рис. 4.2 приведен полученный результат.
.
31
Рис. 4.2. Результаты прогнозирования модели Хольта с демпфированием
В ячейку C4 введена формула
=B5+$B$9*B6
Эта формула размножена в диапазоне C4:L4.
В ячейку M4 введена формула
=L4+$B$9^1*$L$6
В ячейку N4 введена формула
=M4+$B$9^2*$L$6
В ячейку O4 введена формула
=N4+$B$9^3*$L$6
● В ячейку M4 можно ввести формулу
=L4+$B$9^СЧЁТ($M$2:M2)*$L$6
Эту формулу необходимо размножить в диапазоне M4:O4.
В ячейку C5 введена формула
=$B$7*C3+(1-$B$7)*(B5+$B$9*B6)
Эта формула размножена в диапазоне C5:L5.
В ячейку C6 введена формула
=$B$8*(C5-B5)+(1-$B$8)*$B$9*B6
Эта формула размножена в диапазоне C6:L6.
32
В ячейках B5–B9 можно задать некоторые начальные значения, которые будут пересчитываться в процессе решения оптимизационной
задачи.
В диалоговом окне
зать:
Оптимизировать целевую функцию $B10 До Минимум Изменяя
ячейки переменных:
Параметры поиска решения необходимо ука-
$B5:$B9 Ограничения $B7:$B9>=0.
Результаты прогнозирования двумя рассмотренными моделями
представлены на графике (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Графики прогнозов по модели Хольта и модели Хольта
с демпфированием
Отсюда можно сделать вывод, что в данном случае использование
демпфирования позволило повысить качество прогноза.
Задача для самостоятельного решения
Задача.
Во временном ряду из задачи 1.1 выделим интервал ретро-
спекции (с 1-го по 20-й отсчеты) и интервал прогнозирования (с 21-го
по 25-й отсчеты). Необходимо построить прогнозы для отсчетов с 21-го
по 25-й с использованием экспоненциального сглаживания.
Рассмотреть две варианта модели экспоненциального сглаживания:
а) модель Хольта;
б) модель Хольта с демпфированием.
Построить
график для наглядного представления результатов про-
гнозирования.
33
s
s
s
5. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ
ТРЕНД-СЕЗОННЫХ МОДЕЛЕЙ
Линейная аддитивная модель временного ряда может быть пред-
ставлена в виде
yash
ttttt
, (5.1)
– тренд или долговременное движение;
где
a
ская) компонента;
– случайная несистематическая компонента. Здесь мы ограничимся
t
– колебательная систематическая компонента;
h
t
– сезонная (цикличе-
t
рассмотрением тренд-сезонной модели вида
yas
tttt
. (5.2)
Наиболее часто тренд-сезонные модели представляют собой комби-
нацию полинома и ряда Фурье вида
22
sin cos
TT
11
tc t
(5.3)
– параметры ряда Фурье.
где
ˆ
yaat at s tc t
01 1 1
tn
– параметры полинома;
a
i
n
22
sin cos ,
mm
TT
mm
,,
с sT
iii
Для целей прогнозирования сначала необходимо оценить степень
полинома n и число гармоник ряда Фурье m. Затем производят оценку
параметров модели
и
,ia
,iс
i
.iT
Пример 5.1. Пусть выборка временного ряда содержит 50 отсчетов.
Первые 40 значений будем использовать для построения модели
34
временного ряда, а последние 10 значений – для проверки качества модели. В таблице приведены значения отсчетов временного ряда.
№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Исход-
ный ряд
Исход-
ный ряд
Исход-
ный ряд
131 128 130 113 112 120 146 158 166 164 146 138 157 173 203 194 185 154
№ п/п 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
151 167 192 196 197 187 168 161 167 186 217 201 192 174 146 170 181 208
№ п/п 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
197 178 161 148 144 170 170 178 161 134 117 115 138 149
Получить оценки тренд-сезонной модели данного временного ряда.
Решение
Шаг 1.
построение графика для исходного временного ряда (рис. 5.1).
Обязательным этапом разработки любой модели является
Рис. 5.1. График временного ряда
По внешнему виду графика можно предположить, что тренд может
быть описан с использованием параболы и в ряде присутствует некоторая
35
сезонная (циклическая) компонента. Таким образом, предварительно
y
искомая модель имеет вид
22
ˆ
yaatat s tc t
t
01 2 1 1
2
sin cos .
TT
11
(5.4)
Шаг 2. На этом шаге оценивают только полиномиальную часть мо-
дели, т. е. рассматривают упрощенную модель вида
ˆ
aatat
01 2
t
2
(5.5)
.
На рис. 5.2 приведен фрагмент листа Excel
Тренд-сезон для оценки
модели (5.5).
…
Рис. 5.2. Оценка полиномиальной составляющей модели
В столбце B введены значения исходного временного ряда.
В столбцах C и D введены значения факторов t и t
2
.
В столбце E введены формулы для расчета значений тренда
(рис. 5.3). Для этого использовалась функция
=ТЕНДЕНЦИЯ()
36
Рис. 5.3. Аргументы функции =ТЕНДЕНЦИЯ() в ячейке E2
В качестве аргументов Известные_значения_y и Известные_зна-
чения_x
указаны первые 40 значений, соответствующие интервалу ре-
троспекции.
Аргумент
параметра
Конст1 указывает, что необходимо использовать оценки
при расчете значений тренда.
a
0
Функция
=ТЕНДЕНЦИЯ()
введена в диапазон E2:E51.
В столбце F рассчитаны значения остатков:
Остатки = Исходный ряд – Оценки модели.
Обратите внимание, что на данном этапе мы можем не рас-
сматривать оценки параметров модели
.
a
i
Приведенный выше рис. 5.2 наглядно демонстрирует, что в остатках
ряда присутствует циклическая компонента.
Шаг 3. Необходимо оценить параметр
циклической компоненты.
T
1
Для этого рекомендуется по остаткам рассчитать значения автокорреляционной функции R(). Автокорреляционная функция временного ряда
показывает связь (корреляцию) временного ряда с копией самого себя,
смещенного на величину . На рис. 5.4 приведен результат оценки автокорреляционной функции для остатков модели.
37
Рис. 5.4. График автокорреляционной функции остатков модели
с учетом полиномиальной составляющей
Для оценки автокорреляционной функции R() использовалась статистическая функция
=КОРРЕЛ()
В ячейку B54 можно ввести функцию
=КОРРЕЛ(F2:F41;F2:F41)
Отметим, что R(0) всегда равна 1.
В ячейку B55 можно ввести функцию
=КОРРЕЛ(F2:F40;F3:F41)
В ячейку B56 можно ввести функцию
=КОРРЕЛ(F2:F39;F4:F41)
и так далее.
Очевидно, что такой способ задания функций довольно трудоемкий:
необходимо постепенно уменьшать размеры диапазонов и сдвигать их
относительно друг друга. В нашем случае можно использовать следующий вариант расчета.
В ячейку B54 (рис. 5.5) введена формула
=КОРРЕЛ(СМЕЩ($F$2;0;0;40-A54);F2:$F$41)
38
Отметим, что использованная здесь функция =СМЕЩ() играет
важную роль при решении разнообразных задач в Excel. Эта функция
позволяет автоматизировать формирование ссылки на диапазон ячеек
в зависимости от задаваемых аргументов.
Рис. 5.5. Аргументы функции =СМЕЩ() в ячейке B54
Далее необходимо размножить эту формулу в диапазоне B54:B74.
По графику автокорреляционной функции можно предположить,
что в остатках наблюдается циклическая компонента с периодом
Шаг 4. Во многих случаях график автокорреляционной функции не
похож на «идеальную» гармонику, поэтому для более детального исследования поведения остатков модели строят периодограмму.
Расчет автокорреляционной функции и периодограммы осу-
ществляется в рамках корреляционно-спектрального анализа. Расчет
автокорреляционной функции рассматривают в корреляционном анализа, а расчет периодограммы – в спектральном анализе.
Для построения периодограммы последовательно рассматривают
гармоники с периодами 2, 3, 4 и т. д. Обычно ограничиваются рассмотрением до 20 гармоник. Для каждой гармоники оценивают ее мощность.
Считается, что
в модели надо оставлять те гармоники, мощность кото-
рых максимальна.
7.T
1
39
Для оценки мощности гармоники с периодом T можно использовать
формулу
KK
⎛⎞⎛ ⎞
PR R
T
()sin ()cos ,
⎜⎟⎜ ⎟
∑∑
⎜⎟⎜ ⎟
00
⎝⎠⎝ ⎠
22
22
(5.6)
TT
где K – максимальное смещение, использованное при расчете автокорреляционной функции. В нашем случае K = 20.
На листе
Периодограмма были выполнены соответствующие рас-
четы (рис. 5.6).
…
…
Рис. 5.6. Фрагмент листа Периодограмма
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]