Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы экономического прогнозирования. Учебное пособие
.pdf
Продолжение
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
309 253 270 310 361 395 376 294 239 248 326 368 412 379 315
Задача 1.3. Для временного ряда из задачи 1.1 построить прогнозы
на пять значений вперед (с 21-го по 25-е значения), используя метод
дрейфа:
а) использовать первую и последнюю точки интервала ретроспек-
ции;
б) использовать 5-ю и 15-ю точки;
в) самостоятельно выбрать точки в интервале ретроспекции.
Построить график, на котором представить исходный временной
ряд (в
виде отдельных меток). На графике представить результаты, со-
ответствующие прогнозным моделям для значений с 1-го по 25-е.
Задача 1.4. Решить задачу 1.3, используя метод средних точек.
11
2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ
В 1950-х годах был предложен метод краткосрочного прогнозирования «Экспоненциальное сглаживание». В настоящее время разработано
множество модификаций этого метода, позволяющих решать не только
задачи краткосрочного прогнозирования, но и среднесрочного.
1. Модель простого экспоненциального сглаживания
(модель Брауна)
Прогноз на один шаг имеет вид
где
y
ˆˆ
,
yy
tt
– фактическое значение временного ряда в момент времени t;
t
– прогнозные значения; – постоянная сглаживания;
1
ˆˆ
yy y
1
tt t
(1 ) ,
(2.1)
(1 – )
–
эквивалентная постоянная сглаживания (в Excel называется «фактор затухания»).
Обычно предполагается, что значения постоянной сглаживания
принадлежат интервалу от 0 до 1. Однако в общем случае постоянная
сглаживания может принадлежать интервалу от 0 до 2.
К недостатку модели Брауна можно отнести то, что фактически прогноз делается только на один шаг вперед. Таким образом,
в качестве
прогноза на несколько шагов получаем прямую линию, параллельную
оси абсцисс.
Для оценки качества прогнозной модели может рассчитываться
среднеквадратическая погрешность RMSE
(Root Mean Squared Error)
для ретропрогноза:
T
1
RMSE .
yy
∑
T
1
t
12
2
ˆ
tt
(2.2)
Отметим, что в данном случае оценка качества прогнозной мо-
дели производится на интервале ретроспекции (сравните с форму-
лой (6.11)).
Пример 2.1.
Пусть выборка временного ряда содержит десять отсчетов. Первые восемь значений будем использовать для построения
модели Брауна, а фактические девятое и десятое значения – для проверки качества прогноза.
Решение. Результат приведен на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Пример использования экспоненциального сглаживания
В момент времени t = 1 модель (2.1) не может быть использована,
поэтому обычно полагают
ˆ
yy
11
. В этом случае в ячейку B5 вводят
формулу
=B$3
В ячейку C5 вводят формулу, соответствующую модели Брауна:
=$A5*B$3+(1-$A5)*B5
Эту формулу можно размножить в диапазоне C5:J5. В ячейке J5 бу-
дет получен прогноз для девятого момента времени
Для прогноза
ˆ
в ячейке K5 нельзя использовать формулу (2.1),
y
10
так как мы не располагаем фактическим значением
13
ˆ
y
9
.
. Вместо
y
9
y
9
приходится использовать прогнозное значение
ˆ
Таким образом,
.y
9
в ячейку K5 можно ввести формулу
=$A5*J5+(1-$A5)*J5
Попробуйте упростить данную формулу.
Для оценки среднеквадратической погрешности RMSE в ячейку L5
вводят формулу
=КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН($B$3:$I$3;B5:I5)/СЧЁТЗ(B5:I5))
Обратите внимание, что в этой формуле использована функция
СЧЕТЗ(), позволяющая автоматизировать расчет RMSE для различ-
ных объемов данных.
Данные формулы можно размножить в диапазоне B5:L15 в соответ-
ствующих столбцах.
Очевидно, что в нашем примере постоянная сглаживания, минимизирующая среднеквадратические отклонения, находится в окрестности
значения 0,2. Ниже приведен полученный график зависимости среднеквадратического отклонения
от постоянной сглаживания (рис. 2.2).
35,0
30,0
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Рис. 2.2. Зависимость среднеквадратической погрешности RMSE
от постоянной сглаживания
Пример 2.2. Найти оптимальное значение постоянной сглаживания.
Решение. Для получения оптимального значения постоянной сгла-
живания можно использовать надстройку Excel «Поиск решения».
14
Чтобы включить надстройки Excel, выполните команду
ФайлПараметры. В окне Параметры Excel выберите пункт
Надстройки. В поле Управление должно быть выбрано значение
Надстройки Excel. Нажмите кнопку Перейти… В окне Надстройки
в списке
шения
создана группа
решения
Доступные надстройки выберите Пакет анализа и Поиск ре-
. Нажмите кнопку ОК. В результате на вкладке Данные будет
Анализ, включающая команды Пакет анализа и Поиск
.
Ниже приведен полученный результат (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Результаты поиска оптимального значения постоянной сглаживания
Для заполнения строки 18 можно скопировать любую из строк 5–15.
В диалоговом окне
Поиск решения необходимо указать следующие
значения (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Фрагмент окна Параметры поиска решения для примера 2.2
Полученное значение постоянной сглаживания позволило незначительно снизить среднеквадратическую погрешность.
2. Стартовые значения в модели Брауна
Одной из проблем модели Брауна является то, что для получения
значения
ˆ
модель (2.1) не может быть использована. Для решения
y
1
15
указанной проблемы могут применяться следующие методы задания
ˆ
стартового значения
:
y
1
а) экспертная оценка;
б) стартовое значение
ˆ
равно фактическому
y
1
;
y
1
в) стартовое значение равно средней арифметической первых трех–
пяти значений ряда;
г) получение стартового значения из процедуры «обратной точки»
(«обратного прогноза»);
д) подбор стартового значения во время поиска оптимальной постоянной сглаживания .
Варианты а), б) и в) очевидны.
Рассмотрим более подробно вариант г) «Получение стартового значения из процедуры
“обратной точки”» на следующем примере.
Пример 2.3
. Найти стартовое значение методом «обратной точки».
Решение. В данном случае получение стартового значения пред-
ставляет собой итерационную процедуру.
Пусть постоянная сглаживания = 0,191934.
На
первой итерации полагают
ˆ
yy
11
и получают обычную модель
Брауна, прогнозируя «вперед» (см. строку 20, рис. 2.5).
Затем строят «обратный прогноз», прогнозируя «назад» по модели
ˆˆ
yy y
1
tt t
(1 ) .
(2.3)
Для этого в ячейку I21 вводят формулу
=I20
В ячейку H21 вводят формулу
=$A$18*I$3+(1-$A$18)*I21
Этой формулой заполняют строку 21.
Обратите внимание: здесь везде используется одно и то же зна-
чение постоянной сглаживания.
На
второй итерации в ячейку B22 вводят формулу
=B21
16
В ячейку C22 вводят формулу
y
=$A$18*B$3+(1-$A$18)*B22
Этой формулой заполняют строку 22. Затем строят «обратный прогноз», как и на первой итерации (рис. 2.5).
Для выполнения последующих итераций можно просто размно-
жить формулы, соответствующие второй итерации.
Рис. 2.5. Результаты применения процедуры «обратной точки»
После выполнения пяти итераций можно убедиться, что стартовое
ˆ
значение
стабилизировалось и составляет 94,655. При этом значение
1
среднеквадратической погрешности тоже несколько уменьшилось. В
ячейках J28 и K28 построены прогнозы с учетом полученного стартового значения.
Пример 2.4
. Выполнить подбор стартового значения во время по-
иска оптимальной постоянной сглаживания (вариант д)).
Решение. На рис. 2.6 приведен полученный результат.
Рис. 2.6. Результаты поиска оптимальных значений для постоянной сглаживания
и стартового значения
Для заполнения строки 31 можно скопировать любую из строк 5–15.
Затем необходимо воспользоваться
Поиском решения (рис. 2.7).
17
Рис. 2.7. Фрагмент окна Параметры поиска решения для примера 2.4
Обратите внимание, что для поиска оптимальных значений одновременно будут изменяться постоянная сглаживания и стартовое значе-
ˆ
ние
.
y
1
В данном случае получился парадоксальный результат: постоянная
сглаживания имеет «странное» значение –1,584038, но при этом среднеквадратическое значение существенно уменьшилось – до 3,3163.
На рис. 2.8 приведены полученные варианты модели Брауна.
Рис. 2.8. Результаты использования различных вариантов экспоненциального
сглаживания
18
По-видимому, можно сделать вывод о том, что в данном случае последовательное использование процедуры оптимизации постоянной
сглаживания и затем подбора стартового значения методом «обратной
точки» дает лучшие результаты.
3. Инструмент анализа данных «Экспоненциальное
сглаживание» в Excel
В Excel имеется возможность подключить пакет «Анализ данных».
В частности, пакет анализа данных включает в себя инструмент «Экспоненциальное сглаживание». На вкладке
Данные в группе Анализ
необходимо выбрать пункт . Затем можно открыть окно
Экспоненциальное сглаживание.
Пример 2.5.
Построить прогноз, используя инструмент «Экспонен-
циальное сглаживание» пакета анализа Excel.
Решение. Для нашего примера заполним окно Экспоненциальное
сглаживание
как показано на рис. 2.9.
Рис. 2.9. Пример заполнения окна Экспоненциальное сглаживание
В данном случае зададим фактор затухания 0,8, что соответствует
постоянной сглаживания 0,2. Полученный результат приведен на
рис. 2.10.
19
Рис. 2.10. Результаты работы инструмента «Экспоненциальное сглаживание»
Можно убедиться, что в строке 33 полученные значения в целом совпадают со значениями в строке 6 (отличия связаны с заданным форматом представления числовых данных). Чтобы получить прогноз для
10-го отсчета, необходимо в ячейку K33 ввести формулу
=J33
Предполагается, что в строке 34 должны быть приведены стандартные (среднеквадратические) погрешности, рассчитанные по трем значе
-
ниям. В случае использования Excel 2007 данная надстройка работала
корректно. К сожалению, в Excel 2019 эта настройка подставляет некорректные формулы. В частности, в ячейке F34 должна быть формула
=КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C3:E3;C33:E33)/3)
Эту формулу необходимо размножить в диапазоне F34:K34.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.1.
Во временном ряду выделим интервал ретроспекции
(с 1-го по 8-й отсчеты) и интервал прогнозирования (9-й и 10-й отсчеты).
Необходимо построить прогнозы для 9-го и 10-го отсчетов с использованием экспоненциального сглаживания.
Временной ряд
Номер наблюдения t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Значение yt 85,6 101,7 107,7 97,5 76,1 122,3 132,3 112,1 99,4 107,7
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]