Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы научных исследований при разработке энерго- и ресурсосберегающих процессов в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии. Учебное пособие
.pdf
если число 8,574 требуется округлить до двух значащих цифр,
после округления получаем число 8,6; если число 8,574 требуется
округлить до одной значащей цифры, после округления получаем
число 9.
Наблюдение
Н а б л ю д е н и е – метод познания, заключающийся в систематическом, целенаправленном восприятии объекта исследования. Для того, чтобы наблюдение являлось именно методом познания, а не просто сбором бытовой информации, оно должно удовлетворять следующим требованиям:
1) преднамеренности: наблюдение ведется для решения кон-
кретной поставленной задачи;
2) планомерности: производится по плану, составленному в со-
ответствии с задачами наблюдения и всего исследования;
3) целенаправленности: наблюдению подлежат только те стороны процесса и явления, которые представляют наибольший интерес для конкретного исследования;
4) активности: наблюдатель активно ищет нужные объекты
и черты явления;
5) систематичности: наблюдение ведется непрерывно и по определенной системе.
Наблюдение как метод познания позволяет получать первичную информацию в виде совокупности эмпирических данных. Эмпирическая совокупность дает первичную схематизацию объектов реальности, что и является исходными объектами научного
исследования.
В химии и химической технологии наблюдение как метод
обычно используют на стадии опытно-промышленных или опытноконструкторских испытаний, когда необходимо отслеживать параметры изучаемого процесса. Также наблюдение является основным
методом экологического мониторинга.
Первоначальным этапом наблюдения является выбор откликов, или характеристик, которые непосредственно отслеживаются, и способы их регистрации. Поскольку данный метод предпола-
81
гает сбор большого количества данных, то к выбору откликов следует подойти очень серьезно, потому что каждое дополнительное
измерение несет в себе временные и денежные затраты.
Моделирование
В научно-технических исследованиях зачастую изучают не оригинал какого-либо объекта или процесса, а его модель, при этом полученный в исследовании результат распространяют на оригинал.
М о д е л и р о в а н и е – метод научного познания, основывающийся на использовании модели в качестве средства исследования явлений и процессов природы. Под моделями понимаются
системы, замещающие объект познания и служащие источником
информации о нем.
В зависимости от способа построения модели могут быть разделены на м а т е р и а л ь н ы е и и д е а л ь н ы е. Материальные модели используются при проведении экспериментальных
исследований, а идеальные – теоретических.
Материальные модели подразделяются на следующие виды:
модели, воспроизводящие пространственные свойства объек-
та: макеты, компоновки, пространственные модели молекул и т. д.;
модели, создаваемые для воспроизведения пространствен-
ных свойств объекта или динамики изучаемых процессов: модели
химических аппаратов, кораблей, плотин и прочих конструкций;
модели, не обладающие с объектом одной и той же физичес-
кой природой и не имеющие с ним физического и геометрического
подобия. Это различные аналоговые модели.
Теоретические или идеальные модели формулируются при помощи различных языков формализации и делятся на образные, например, графические, символические (знаковые), которые чаще всего представлены в виде математических моделей.
Наибольшее распространение получили методы математического и физического моделирования, которые основаны на методах
физического и математического подобия соответственно.
Ф и з и ч е с к о е м о д е л и р о в а н и е – метод научного
исследования на моделях, которые имеют с оригиналом общую
82
физическую природу и воспроизводят комплекс свойств изучаемых явлений. Все лабораторные установки и макеты аппаратов
получены посредством физического моделирования.
К достоинствам метода физического моделирования можно
отнести:
возможность изучения процесса без составления его физи-
ческого описания;
наглядность;
возможность воспроизведения процесса в лабораторных ус-
ловиях.
В качестве недостатков следует выделить следующие:
отсутствие универсальности, что выражается в необходимос-
ти создания новой модели для каждого изучаемого процесса;
высокая стоимость моделей при изучении сложных процессов;
невозможность применения этого метода для изучения боль-
шей части химических процессов и аппаратов.
Более универсальным и простым в использовании является
метод математического моделирования.
М а т е м а т и ч е с к о й м о д е л ь ю называется приближенное описание какого-либо явления или процесса, выраженное
с помощью математической символики. Математическое моделирование применяется практически на всех уровнях исследования
физических процессов и технических устройств: от понимания их
сути и характерных свойств до практической реализации.
По сравнению с физическим моделированием данный метод
обладает такими преимуществами, как возможность изучения сложных систем, использование эффективных инструментов вычислительной техники, экономичность, простое варьирование параметров исследуемого объекта в широких пределах.
Однако, несмотря на все преимущества, в математическом моделировании также выделяется ряд недостатков. Например, в ходе
построения математической модели принимается ряд допущений, упрощающих процесс, что искажает сущность явлений и влияет на точность результатов. Кроме того, отсутствует возможность
визуального наблюдения за ходом процесса.
83
Все математические модели делятся по своему функциональ-
ному назначению на следующие виды:
модели прогноза и расчетные модели: модель распределения
тепла в системе, химическая кинетика, гидродинамика;
оптимизационные модели: модели, применяемые в проекти-
ровании технологических систем, связывающие факторы процесса с выходными параметрами;
кибернетические модели: модели анализа конфликтных си-
туаций;
экспертные системы: модели аналитической оценки объек-
тов и систем.
Метод моделирования имеет следующую структуру:
1) постановка задачи;
2) создание или выбор модели;
3) исследование модели;
4) перенос знания с модели на оригинал.
Одним из самых важных этапов в моделировании, влияющих
на результаты всего исследования, является построение модели.
Существует два основных подхода к построению модели – аналитический и имитационный. Аналитический подход предполагает
использование математической модели реального объекта в виде
уравнений, связывающих между собой входные и выходные параметры. При имитационном моделировании используемая модель
воспроизводит логику или алгоритм исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы
и внешней среды.
Основные требования к процессу моделирования – экономичность и традуктивность. Традуктивность означает, что исследователь должен понимать, как по результатам испытания модели определить интересующие параметры оригинала.
84
5. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Для того, чтобы эффективно решать прикладные и научные
задачи и давать наилучшее решение проблемы, хорошему специалисту необходимо знать базовые понятия математической статистики и теории вероятностей и понимать, как этими знаниями пользоваться. Некоторые задачи, связанные преимущественно с обработкой большого объема информации, требуют глубоких знаний
математической статистики и пакета специализированных программ, а иногда и основ программирования. Для решения же большинства прикладных задач достаточно понимания основ и умения
работать в стандартных пакетах программ, таких как Microsoft
Excel и STATISTICA. Эти знания необходимы для правильной интерпретации результатов измерений и наблюдений, планирования
или прогнозирования процессов, математического моделирования
и постановки экспериментальных исследований.
В данной главе будут раскрыты термины и определения теории вероятностей и математической статистики – именно тот
минимум, который необходим в работе каждого специалиста. Материалы подготовлены в соответствии со следующими литературными источниками, которые можно использовать для самостоятельного более глубокого изучения предмета:
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая ста-
тистика: учебное пособие для вузов [10];
Реброва И. А. Планирование эксперимента: учебное посо-
бие [11];
Юдин Ю. В. и др. Организация и математическое планиро-
вание эксперимента: учебное пособие [12];
Арназарова С. Л., Кафаров В. В. Методы оптимизации экспе-
римента в химической технологии: учебное пособие для хим. технол. спец. вузов [13].
85
5.1. Основные понятия
теории вероятностей
5.1.1. Вероятность случайных событий
В прикладных исследованиях теория вероятностей используется не так часто. Однако в некоторых теоретических исследованиях она применяется при проведении расчетов для прогнозирования явлений и процессов.
Базовым понятием теории вероятностей является событие.
С о б ы т и е – это явление, которое может произойти в результате некоторого испытания, под которым в научных исследованиях
понимается реализация определенных условий или осуществление конкретных действий. События обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, …, либо теми же буквами с подстрочны-
ми индексами: А1, А2, А3, А4, ... . Для обозначения событий не ис-
пользуют только букву Р.
События делятся на:
достоверные, которые обязательно произойдут;
невозможные – не произойдут никогда;
случайные, или возможные, которые могут произойти с неко-
торой долей вероятности.
Когда говорят про результаты испытаний, то обычно подразумевают случайные события. Проявление случайных событий зависит от случайных факторов, влияние которых заранее сложно
предугадать и контролировать. В результате действия этих факторов событие может или не может проявиться.
Еще одним критерием событий является их равновозможность.
Равновозможные события обладают одинаковой возможностью
проявления. Например, выпадение орла или решки при подбрасывании монеты или выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске
игрального кубика.
Также в теории вероятности выделяют понятие исхода.
И с х о д о м события называется результат испытания, который, собственно, и представляет собой появление определенного
события.
86
Случайные события делятся на две важные группы – совместные и несовместные. События называют несовместными, если
в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других. Примером несовместных событий
являются:
A0 – в результате броска монеты выпадет орел;
A0 – в результате броска монеты выпадет решка.
Указанные события не могут произойти одновременно, поэтому они называются несовместными.
Несколько несовместных событий образуют полную группу,
если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы
является достоверным событием. Любая пара противоположных
событий образует полную группу событий.
Еще одним важным понятием, о котором следует упомянуть,
является элементарность исхода. Элементарным является событие, которое нельзя разложить на другие события. Например, при подбрасывании игрального кубика подразумевают выпадение одной
его грани, и такое событие будет элементарным. Однако, если подразумевается событие В5 – в результате броска игрального кубика
выпадет любая грань, кроме пяти, то оно элементарным не является, поскольку подразумевает выпадение 1, 2, 3, 4 или 6 очков,
т. е. включает в себя пять элементарных исходов.
События называют совместными, если в отдельно взятом испытании появление одного из них не исключает появление другого.
Например:
СТ – из колоды карт будет извлечена трефа;
DT – из колоды карт будет извлечена девятка.
Также выделяют алгебру событий и два основных правила в ней:
1. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоя-
щее в появлении или события А, или события В, или обоих этих
событий. Если А и В несовместные, то А + В – событие, состоящее
в появлении одного из них, причем безразлично какого.
2. Произведением двух событий А и В называют событие АВ,
состоящее в совместном проявлении (совмещении) этих событий.
87
Данные теоремы справедливы и для большего числа событий.
( ) ,
m
Центральное понятие теории вероятностей – это вероятность
события Р. В е р о я т н о с т ь ю наступления события А в некотором испытании называют отношение:
Р Аn
где n – общее число всех равновозможных, элементарных исходов
испытания, которые образуют полную группу событий; m – количество элементарных исходов, благоприятствующих событию.
Данная формула подразумевает количество именно элементарных исходов, и одной из сложностей расчета вероятностей является правильная их идентификация. Для подсчета количества элементарных исходов часто пользуются формулами комбинаторики.
Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных
определенным условиям, которые можно составить из элементов,
безразлично какой природы, заданного конечного множества.
Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного 0.
Вероятность случайного события находится в интервале [0; 1].
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.
Приведенная выше формула называется классическим определением вероятности, и в ней предполагается, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике часто встречаются испытания, результаты которых принимают бесконечное число исходов. Также бывает затруднительно представить результат
испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще
труднее указать основания, позволяющие считать события равновозможными. В таком случае классическое определение вероятности неприменимо, и пользуются либо геометрическим, либо статистическим методами его определения.
Помимо алгебры событий в теории вероятностей пользуются
теоремами сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий A или B
равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B).
88
Аналогичный факт справедлив и для большего количества
( ) ,
m
несовместных событий. Следует отметить, что для совместных событий равенство выше будет неверным.
События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления или непоявления
остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях).
Теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий A и B
равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A) P(B).
Событие X называют зависимым, если его вероятность P(X)
зависит от одного или большего количества событий, которые уже
произошли. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается через РА(В).
При этом события А и В называют зависимыми событиями.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло:
P(AB) = P(A) PA(B).
5.1.2. Относительная частота события
и статистическое определение вероятности
О т н о с и т е л ь н о й ч а с т о т о й с о б ы т и я называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось,
к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота определяется формулой:
W Аn
где m – число появления события; n – общее число испытаний.
89
Принципиальное отличие между вероятностью и относительной частотой следующее: определение вероятности не требует,
чтобы испытания проводились в действительности; определение
же относительной частоты, наоборот, подразумевает, чтобы испытания были произведены фактически. То есть вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после.
Если серии испытаний проводятся в одинаковых условиях, то
относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, т. е.
колеблется около определенного значения. Когда количество фактически проведенных испытаний станет достаточно большим, то можно говорить о статистической вероятности, и это значение можно
будет использовать при проведении теоретических исследований.
5.1.3. Случайные величины
Данные, полученные во время экспериментальных наблюдений, обычно представляют собой случайные величины, связанные
с ошибками измерений, которые тоже являются случайными. Поэтому основными характеристиками наблюдаемых данных являются характеристики случайных величин.
С л у ч а й н о й называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед
неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее
не могут быть учтены.
Случайные величины бывают двух видов – непрерывные и дискретные.
Д и с к р е т н а я или п р е р ы в н а я с л у ч а й н а я
в е л и ч и н а принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений бесконечно, но счетно. То есть их
можно пересчитать или перечислить. Примеры дискретной случайной величины следующие: число попаданий в мишень при n
выстрелах, количество выпавших орлов при n бросков монетки,
число очков, выпавших при n бросании игральной кости, количество родившихся за год детей, оценка за экзамен и т. д. Дискретными могут являться любые величины, значение которых можно
описать количеством штук или раз.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]