Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы научных исследований при разработке энерго- и ресурсосберегающих процессов в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии. Учебное пособие
.pdf
Н е п р е р ы в н о й с л у ч а й н о й в е л и ч и н о й называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число
возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Примеры: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени,
расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, погрешность измерения и т. п.
Случайные величины обычно обозначаются заглавными латинскими буквами X, Y, Z, а их возможные значения x, y, z и т. д.
Закон распределения случайной величины
Наиболее общей характеристикой случайной величины является закон ее распределения. З а к о н о м р а с п р е д е л е н и я
с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы называется всякое соотношение,
устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины можно
задать таблично (табл. 5), аналитически и графически.
Т а б л и ц а 5
Закон распределения дискретной случайной величины
Х
Р
х
1
p
1
х
2
p
2
х
3
p
3
...
...
х
n
p
n
В табл. 5 Х – значение случайной величины; Р – вероятность
появления того или иного значения случайной величины Х. При этом
дискретная случайная величина Х принимает n значений. Сумма
всех вероятностей равна 1. Для наглядности закон распределения
дискретной случайной величины можно изобразить и графически,
для чего строят точки (xi; pi) в прямоугольной системе координат,
а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения вероятностей.
91
Например, дан следующий закон распределения дискретной
случайной величины:
x
i
p
i
–2
0,2
0,1
0
0,2
3
0,3
8
10
0,2
Многоугольник распределения вероятностей в данном случае
будет выглядеть так, как представлено на рис. 7.
0, 4
0, 3
0, 2
0, 1
0
–4 2–2 0 4 86 10 12
Рис. 7. Пример представления многоугольника
распределения вероятностей дискретной случайной величины
Функция распределения случайной величины
Ф у н к ц и я р а с п р е д е л е н и я – еще один способ описания случайной величины. Функцией распределения называют
функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная
величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х,
т. е.:
F(x) = P(X < x).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть
вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Графики функций распределения дискретной и непрерывной
случайной величины представлены на рис. 8.
92
F(х)
1
0, 8
0, 6
0, 4
0, 2
0
–4 2–2 0 4 86 1 0
х
а
F(х)
1
0, 8
0, 6
0, 4
0, 2
0
–4 2–2 0 4 86 1 0
х
б
Рис. 8. Функция распределения случайной величины:
а – дискретной; б – непрерывной
Как видно по представленным на рис. 8 графикам, с увеличением х идет накопление (суммирование) вероятностей, и поэтому функ-
цию F(x) также называют интегральной функцией распределения.
Свойства функции распределения:
1. Функция распределения характеризует вероятности, поэтому
ее значения лежат в интервале [0; 1].
2. F(x) – неубывающая функция для обоих видов случайных
величин.
3. Вероятность того, что случайная величина примет значения,
лежащие в интервале (a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a X b) = F(b) – F(a).
93
4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х
( )
( ) .
dF x
( ) ( ) .
P a X B f x dx
примет одно определенное значение, равна нулю.
Существует еще один способ задания случайной величины,
характерный только для непрерывной. Для этого можно использовать другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности.
П л о т н о с т ь ю р а с п р е д е л е н и я в е р о я т н о с т е й
непрерывной случайной величины Х называют функцию f (x) –
первую производную от функции распределения F(x):
f (x) = F(x).
По-другому такую функцию называют дифференциальным законом распределения, который определяется как предел отношения вероятности того, что случайная величина Х примет значение
от F(х) до F(х + dx) к величине интервала dx:
f xdx
Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность
того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу (a; b), по определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:
b
a
Геометрически эту теорему можно объяснить следующим образом: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a; b), равна площади
криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f (x) и прямыми x = a и x = b.
Вероятностный смысл плотности распределения следующий:
вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (x; x + x), приближенно равна произведению плотности вероятности в точке x на длину интервала x:
F(x + x) – F(x) f (x) x.
94
На практике значение функции плотности состояния рассмат-
;
x i i
M x x P
( ) ,
M x xf x dx
ривают как частоту возникновения того или иного события или
частоту появления того или иного значения случайной величины.
По аналогии с событиями эмпирические исследования в результате получают частоты появления случайных величин, которые потом в некоторой теоретической интерпретации могут стать вероятностями проявления этих величин при определенных условиях.
Таким образом, при построении дифференциальной функции распределения в экспериментальных исследованиях подразумевают
частоты возникновения случайных величин.
Помимо закона распределения случайные величины можно
описать при помощи специальных числовых характеристик. Основной такой характеристикой является математическое ожидание.
М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной
величины. Математическое ожидание также можно назвать среднеожидаемым значением при многократном повторении испытаний.
В таком случае оно определяется как сумма произведений всех
возможных значений случайной величины на их вероятности.
Определяется математическое ожидание по формулам:
для дискретной случайной величины:
n
1
i
для непрерывной случайной величины:
x
где xi – значения, которые принимает случайная величина Х с вероятностями Pi, а f (х) – функция плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины.
Мера рассеяния случайной величины вокруг математического
ожидания называется д и с п е р с и е й. Хорошо иллюстрирует
суть этой характеристики следующий пример: точность попадания
выстрелов в центр мишени. Попадание пуль вокруг центра мише-
95
ни как раз и характеризует точность стрелка и, соответственно,
[ ] ( ) ;
D x M f x dx
2
.
( ) ( )
.
х x
D
дисперсию серии выстрелов.
Определяется дисперсия как математическое ожидание (т. е.
среднее арифметическое) квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания Mx:
Dx = M [x – Mx]2.
Также дисперсию можно определить как разность между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:
Dx = M(x2) – (Mx)2.
По аналогии с дискретной случайной величиной для непрерывной величины дисперсия также может быть определена двумя
способами:
x x
D x f x dx M
x x
2
2
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения пользуются также величиной
среднеквадратического отклонения (его также называют стандартным отклонением). С р е д н и м к в а д р а т и ч е с к и м
о т к л о н е н и е м случайной величины Х называют квадратный
корень из дисперсии:
Смысл данной характеристики состоит в том, что при отклонении от математического ожидания влево и вправо на графике
распределения на среднее квадратическое отклонение получается
интервал, на котором будут сконцентрированы наиболее вероятные значения случайной величины. Отличие среднего квадратического отклонения от дисперсии заключается также в том, что оно
принимает размерность случайной величины, которую характеризует. Например, если случайная величина выражается в линейных
96
метрах, то и будет представлено в линейных метрах. При этом
2
( )
( ) .
дисперсия – величина безразмерная, поскольку отражает именно
степень отклонения от математического ожидания.
Нормальный закон распределения
непрерывной случайной величины
Для непрерывной случайной величины наиболее часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений. Распределение вероятностей называют равномерным,
если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянные значения. Показательное – экспоненциальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины. Пример
различных законов распределения случайной величины представлен на рис. 9.
Зна чения Х
Панель А
Нормальное
распределение
Рис. 9. Виды дифференциальной кривой распределения
В подавляющем числе случаев в практических расчетах предполагается, что случайная величина Х распределена по так называемому нормальному закону (закону Гаусса).
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которые описываются плотностью
по формуле:
Зна чения Х
Панель Б
Равномерное
распределение
Зна чения Х
Экспоненциальное
распределение
непрерывной случайной величины [14, с. 347]
f x e
1
2
2σ
x M
x
σ 2π
97
Панель В
Нормальное распределение определяется двумя параметрами:
1
σ 2
х
Мх и , где Мх – математическое ожидание, а – среднее квадрати-
ческое отклонение нормального распределения.
Изменение величины параметра Мх не изменяет формы нор-
мальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо,
если она возрастает, и влево, если уменьшается. С возрастанием
экстремум функции убывает, а сама кривая становится более пологой, при убывании – нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении
оси Оу (рис. 10).
f (x)
М
х
Рис. 10. Графический смысл основных характеристик
нормально распределенной случайной величины
х
Нормальный закон распределения выведен из следующих
предположений:
1) ошибки измерения неизбежно сопровождают любое изме-
рение случайной величины;
2) любую ошибку измерения можно представить как совокуп-
ность бесконечно большого числа элементарных ошибок;
3) элементарные ошибки равномерно входят в каждое измере-
ние как со знаком «плюс», так и со знаком «минус».
В эмпирических исследованиях для того, чтобы было возможно использовать аппарат математической статистики для обработки результатов с заданной достоверностью, необходимо показать, что случайная величина (т. е. результаты испытаний) распре-
98
делена нормально. Чтобы оценить закон распределения случайной
величины, пользуются п р а в и л о м т р е х с и г м.
Правило трех сигм звучит следующим образом: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина
ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
То есть известно, какая именно доля наблюдений в нормальном
распределении находится в пределах одного среднеквадратического
отклонения от среднего значения (68,2 %), двух среднеквадратических отклонений от среднего значения (95,4 %) и трех среднеквадратических отклонений от среднего значения (99,7 %) (рис. 11).
f (x)
34,1 % 34,1 %
13,6 % 13,6 %
2,15 % 2,15 %
М
Мх+ Мх+ Мх+ Мх– Мх– Мх–
х
Рис. 11. Правило трех сигм
х
На практике правило трех сигм применяют так: если распределение случайной величины неизвестно, но условие, указанное
в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она распределена ненормально.
Также на практике пользуются ц е н т р а л ь н о й п р е д е л ь н о й т е о р е м о й (или теоремой Ляпунова): если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого
числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой
из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.
99
5.2. Методы математико-статистического планирования
и обработки результатов эксперимента
Постановка научно-исследовательской работы включает в себя
решение множества задач. Одной из них является экспериментальное изучение определенного параметра какого-либо процесса. Исследователя интересует однозначность определяемого параметра,
т. е. среднее значение и поле рассеивания результатов. В ряде случаев интересует вид взаимосвязи между переменными, а также
численные значения коэффициентов заранее известной аналитической зависимости. Иногда требуется установить вид связи между переменными, когда априорно данная зависимость неизвестна.
Все эти задачи решаются путем статистической обработки эмпирических данных с помощью аппарата математической статистики, основанной на теории вероятностей.
Статистика рассматривается как наука о методах изучения
массовых явлений. Некоторые процессы, наблюдаемые в массовом количестве, обнаруживают определенные закономерности, которые, однако, невозможно заметить в отдельном случае или же
при небольшом числе наблюдений.
Можно дать и другую формулировку: с т а т и с т и к а – это
наука, занимающаяся сбором и анализом данных о событиях, носящих массовый характер. При этом под данными принято понимать любой вид зарегистрированной информации.
Различают описательную и аналитическую статистику.
О п и с а т е л ь н а я с т а т и с т и к а преимущественно связана
с планированием исследования, сбором информации и представлением полученных результатов в виде статистических показателей. Удобная форма представления статистической информации – таблицы, графики. Задачи а н а л и т и ч е с к о й
с т а т и с т и к и – выявление причинных связей, оценка влияния исследуемых факторов и формулировка надлежащих выводов, на основании которых могут быть приняты ответственные решения. Часто исследуемый процесс представляется в аналитической форме, т. е. в виде уравнения (эмпирической формулы).
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]