Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы научных исследований при разработке энерго- и ресурсосберегающих процессов в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии. Учебное пособие
.pdf
Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории
вероятностей статистических данных – результатов наблюдений.
В связи с этим выделяют следующие основные задачи математической статистики:
указание способов отбора и группировки статистических
сведений, полученных в результате наблюдения или в результате
специально поставленных экспериментов;
разработка методов анализа статистических данных в зави-
симости от целей исследования.
К выбору методов анализа статистических данных относятся
процедуры:
оценки неизвестной вероятности события, оценки неизвест-
ной функции распределения, оценки параметров распределения,
вид которого неизвестен, оценки зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и т. д.;
проверки статистических гипотез о виде неизвестного рас-
пределения или величине параметров распределения, вид которого неизвестен.
Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирования эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Также
математическую статистику определяют как науку о принятии решения в условиях неопределенности.
5.2.1. Элементы математической статистики
Г е н е р а л ь н а я с о в о к у п н о с т ь – бесконечное
множество реальных и мыслимых значений какого-либо явления.
По-другому можно сказать, что генеральная совокупность представляет собой предмет исследования.
Под генеральной совокупностью также понимают все допустимые значения случайной величины. На практике рассмотреть
все эти значения довольно затруднительно, поэтому при проведении исследований пользуются выборочным методом. Суть этого
101
метода состоит в исследовании представительной выборочной
совокупности.
В ы б о р к а, или в ы б о р о ч н а я с о в о к у п н о с т ь, –
конечное число событий, случайно отобранных из генеральной совокупности, содержащей N элементов (рис. 12).
Выборка
N
1
Выборка
N
2
Генеральная
совокупность
Выборка
N
Рис. 12. Схема соотношения
генеральной и выборочной совокупностей
Выборка
N
3
n
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.
Выборкой пользуются, когда сплошное исследование генеральной совокупности проводить нецелесообразно или суммарное количество событий очень велико. Из генеральной совокупности можно выбрать несколько различных выборок, каждая из которых будет характеризоваться своим объемом элементов.
Требования, предъявляемые к выборке:
1) отбор элементов выборки из генеральной совокупности должен быть произведен случайным образом, для того чтобы получить набор случайных величин;
102
2) выборка должна быть р е п р е з е н т а т и в н о й (или
представительной), т. е. достаточно полно характеризовать генеральную совокупность по основным параметрам: структура, состав, морфология, основные свойства и т. д.;
3) выборка должна быть независимой от внешних условий.
Для того чтобы получить репрезентативную и независимую
выборку, на практике используют специальные методы ее отбора
из генеральной совокупности. Принципиально все методы можно
поделить на две группы:
1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупнос-
ти на части: простой случайный отбор.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается
на части: типический отбор, механический отбор, серийный отбор.
П р о с т ы м с л у ч а й н ы м называется отбор, при котором
объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности.
Например, для извлечения n объектов из генеральной совокупности объемом N поступают следующим образом: выписывают
номера от 1 до N на карточках, которые тщательно перемешивают, наугад вынимают одну из карточек и вынимают объект, имеющий соответствующий порядковый номер. Карточку возвращают
в пачку, а процесс повторяют n раз. Различают простой случайный
бесповторный набор и простой случайный повторный набор. Бесповторный отбор означает, что элементы выборки не возвращаются назад в генеральную совокупность.
Т и п и ч е с к и м называют отбор, при котором объекты отбирают не из всей генеральной совокупности, а из ее «типической
части». Например, если детали изготавливают на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических
частях генеральной совокупности.
М е х а н и ч е с к и м называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько
объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают
103
один объект. Механический отбор не всегда может обеспечить репрезентативность выборки.
С е р и й н ы м называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а сериями, которые подвергаются сплошному обследованию.
Особенностью отбора выборок в химии и химической промышленности является то, что зачастую имеют дело не со штучными изделиями, а с двигающимся потоком материалов (в любом
из агрегатных состояний). В таком случае применяют д и н а м и ч е с к и й о т б о р выборки сдвигающегося конвейера –
это метод, при котором устройство для отбора пробы (пробоотборник) устанавливают в поперечном сечении потока материала
в аппарате или на конвейере. Полное поперечное сечение потока
может быть отобрано в качестве первичной разовой пробы в точке разгрузки материала с ленточного конвейера или извлечено
с ленты поперечным пробоотборником. В обоих случаях выбор и извлечение разовых проб могут быть описаны с помощью одномерной динамической модели отбора выборки.
Для каждого отдельного вида продукции или методологии
исследований в нормативной документации можно найти соответствующие рекомендации по отбору элементов выборки. В таком
случае можно встретить термин «отбор проб», что по сути тождественно отбору выборки.
5.2.2. Вариационный ряд и его характеристики
На практике имеют дело с эмпирическими случайными величинами, полученными непосредственно по результатам опыта.
А опыт, или исследование, проводят при участии выборки. Наблюдаемые по результатам исследования значения случайных величин называют в а р и а н т а м и, а их совокупность – в а р и а ц и о н н ы м р я д о м. Причем варианты записываются в вариационном ряду в возрастающем порядке. То есть вариационный
ряд – это характеристика выборки.
Вариационный ряд может быть интервальным (непрерывным)
и дискретным по аналогии с непрерывной и дискретной случай-
104
ной величиной. Дискретный вариационный ряд – это упорядоченное по возрастанию множество вариант х1, х2, х3, …, хk (значений
величины Х) и соответствующих им частот либо относительных
частот.
Характеристиками вариационного ряда являются медиана,
размах, подразмах и мода.
М е д и а н а – число, делящее вариационный ряд пополам
по количеству вариант. Если количество значений в вариационном ряду четное, то в качестве медианы берется среднее между
двумя срединными значениями. В некоторых случаях медиана
может совпадать с математическим ожиданием, но такое происходит не часто.
Р а з м а х в а р и а ц и о н н о г о р я д а – разность между
наибольшим и наименьшим значениями чисел вариационного
ряда. Размах есть не что иное, как длина вариационного ряда.
П о д р а з м а х в а р и а ц и о н н о г о р я д а – разность
между большим и меньшим значениями чисел ряда, исключая
наибольшее и наименьшее числа.
М о д а в а р и а ц и о н н о г о р я д а – значение случайной величины, которой соответствует наибольшая вероятность
появления (повторяемость). Мода дискретного вариационного
ряда – это варианта с максимальной частотой. Моду легко отыскать
по таблице, и еще легче на полигоне частот – это абсцисса самой
высокой точки.
Числа наблюдений называют частотами, а их отношение
к объему выборки ni/ n = Wi – относительными частотами.
Статистическим распределением выборки называют перечень
вариант и соответствующих им частот. Следует отметить, что
в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их
вероятностями, а в математической статистике – между наблюдаемыми вариантами и частотами их возникновения. То есть теория
вероятностей работает преимущественно с теоретическими расчетами, а математическая статистика – с опытными данными.
105
Эмпирической функцией распределения, или функцией рас-
( ) .
x
n
пределения выборки, называют функцию F(x), определяющую
для каждого значения х относительную частоту события Х < x:
F xn
В отличие от эмпирической функции распределения выборки
функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями распределения состоит в том,
что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события
Х < х, а эмпирическая – относительную частоту этого события.
Эмпирическая функция распределения выборки служит
для оценки теоретической функции распределения генеральной
совокупности.
Для наглядности представления эмпирических распределений строят различные графики статистического распределения и,
в частности, полигон и гистограмму.
П о л и г о н о м ч а с т о т называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2), …, (xk; nk). Для построения
полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси
ординат – соответствующие им частоты. Точки (xi; ni) соединяют
отрезками прямых и получают полигон частот.
Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки
которой соединяют точки (x1; W1), (x2; W2), …, (xk; Wk).
На рис. 13 изображен полигон относительных частот следующего распределения:
Х
W
1,5
0,1
3,5
0,2
5,5
0,4
7,5
0,3
В случае непрерывной величины строят гистограмму частот,
для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов
длиной h и находят для каждого частичного интервала ni сумму
частот вариант, попавших в i-й интервал.
106
0, 6
i
n
h
W
0, 4
0, 2
0
20 4 86 х
Рис. 13. Полигон относительных частот
Г и с т о г р а м м о й ч а с т о т называют ступенчатую
фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны соотношению ni/ h (плотность частоты).
Площадь i-го частичного прямоугольника равна hni/ h = ni –
сумме частот вариант i-го интервала, следовательно, площадь гисто-
граммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки.
На рис. 14 приведена гистограмма частот распределения объема
n = 100.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0– 5
5– 10
10 –15
15 –20
20 –25
25 –30
30 –35
35 –40
> 40
Х
Рис. 14. Гистограмма частот распределения [10, с. 195]
107
5.2.3. Статистические оценки
параметров распределения
Еще раз обратим внимание, что в реальных испытаниях изучение всей генеральной совокупности часто затруднено, поэтому
оценку генеральной совокупности проводят через выборку. Причем выборка должна быть репрезентативной и обладать определенным объемом n. И все результаты, которые были получены
при изучении выборки, с определенной долей вероятности переносятся на генеральную совокупность.
В испытаниях обычно необходимо определить некоторый количественный признак генеральной совокупности, который по результатам n количества испытаний принимает значения x1, x2, …, xk,
что, собственно, и является выборкой. Найти статистическую оценку этого параметра статистического распределения означает найти
функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение этого параметра.
Для того чтобы такие статистические оценки давали хорошие
приближенные значения оцениваемых параметров, они должны
удовлетворять определенным требованиям:
несмещенности: несмещенной называют статистическую оцен-
ку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки;
эффективности: эффективной называют статистическую оцен-
ку, которая имеет наименьшую возможную дисперсию;
состоятельности: состоятельной называют статистическую
оценку, которая при n cтремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки
стремится к нулю, то такая оценка называется состоятельной.
К статистическим оценкам параметров распределения относят математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Причем этими параметрами пользуются для оценки как выборочной совокупности, так и генеральной. Целью любого исследования является определение математического ожидания
генеральной совокупности. Другие параметры, дисперсия и отклонение, показывают, насколько точно проведены исследования.
108
При статистической оценке совокупностей пользуются данными, которые могут быть двух видов – первичными или необработанными, представленные неупорядоченным списком вариант,
и вторичными или обработанными, которые уже сформированы
в дискретный или интегральный вариационный ряд. В зависимости от этого расчетные формулы характеристик будут немного отличаться. Основная разница между первичными и вторичными данными состоит в том, что при формировании вариационного ряда
прописывают частоты появления вариант в ходе исследования.
Генеральной средней называют среднее арифметическое
значений признака генеральной совокупности. Если все значения
х1, х2, …, xN признака генеральной совокупности различны, то
= (х1 + х2 + … + xN) / N.
Если же значения х1, х2, …, xN имеют соответственно частоты
N1, N2, …, Nk, причем N1 + N2 + … + Nk = 1, то
= (х1N1 + х2N2 + … + xNNN) / N,
т. е. генеральная средняя есть средневзвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.
Выборочной средней называется среднее арифметическое
всех значений выборки:
xB = (х1 + х2 + … + xn) / n,
и при наличии одинаковых вариант формула запишется следующим образом:
xB= (х1n1 + х2n2 + … + xnnk) / n.
Выборочная средняя позволяет достаточно точно оценить истинное значение, чего вполне достаточно для многих исследований. При этом чем больше выборка, тем точнее будет эта оценка.
Предположим, что испытания позволяют исследовать не одну
выборку, а несколько, в таком случае для оценки параметра генеральной совокупности возможно использовать выборочную среднюю, или м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е выборки, которая теперь сама будет являться случайной величиной:
109
,
k
k
.
x x
,
i i
x x n
2
( )
,
х
В,
1
k
где k – количество исследуемых выборок. При проведении исследований чаще всего пользуются одной выборкой.
Математические ожидания выборок также представляют собой некоторую совокупность данных, которые при увеличении
числа исследуемых выборок стремятся к нормальному закону распределения. В этом случае также можно оценить параметры дисперсии, насколько выборочные средние будут рассеяны вокруг математического ожидания генеральной совокупности и отклонения
от нее. Такой способ определения искомой величины будет точнее,
но требует больших затрат.
Помимо математического ожидания совокупностей рассматривают различные отклонения параметров. Среднее линейное отклонение есть среднее арифметическое отклонение всех значений
статистической совокупности от средней. Рассчитывается для несгруппированных статистических данных по формуле:
n
i
1
i
i
n
Если же в распоряжении исследователя есть сформированный
дискретный либо интервальный вариационный ряд, то формула
определения среднего линейного отклонения примет вид:
k
1
i
i
n
где xi – варианты дискретного ряда либо середины частичных интервалов, а ni – соответствующие частоты.
В ы б о р о ч н а я д и с п е р с и я – среднее арифметическое квадратов отклонений всех вариант выборки от ее средней:
n
x x
1
i
D
B
110
B
i
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]