Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики подвижного состава. Учебно-методическое пособие к лабораторным работам
.pdf
-11-
Пунктирные линии показывают изменение первой и второй
парциальных частот в функции их отношения. Эти линии являются
асимптотами, к которым будут стремиться собственные частоты при малых
значения коэффициентов связи.
Цветные линии показывают изменение собственных частот при
коэффициенте связи единица, при этом система имеет одинаковые массы.
Точки показывают значения в относительных единицах собственных частот
для параметров, принятых в примере.
В этом примере отношение парциальных частот больше18 и по этой
причине собственные частоты расположены близко к асимптотам, что
указывает на малую связь парциальных систем.
По графикам можно определить, при каком отношении парциальных
частот и коэффициенте связи единица связь между парциальными системами
будет значительной. Значительное отличие между собственными частотами
как видно из графиков будет при отношении парциальных частот равном
единице.
Рабочее задание:
1. Изучить влияние связи парциальных систем на величины
собственных частот колебаний в двух моделях с двумя степенями свободы.
2. На основании аналитических выражений собственных частот
колебаний системы (рисунок 2.1) построить их зависимость от отношения
парциальных частот и нанести на эти зависимости значения собственных
частот для вертикальных колебаний кузова и тележки с инерционными и
упругими параметрами, взятыми из задания по основам механики
подвижного состава (ОМПC).
3. Оценить по полученным графикам степень влияния связи этих двух
парциальных систем на величины собственных частот. От каких параметров
зависит связь между парциальными системами?
4. Как можно оценить степень связи между парциальными системами в
том случае, если система имеет больше двух степеней свободы?
5. Повторить пункты 1 – 4 для схемы с двумя степенями свободы при
линейных и угловых колебаниях (рисунок 2.2).
-12-
2.2 Математическая модель расчета детерминированных колебаний
экипажа
Цель работы:
1. Изучить понятие частотной характеристики (ЧХ) механической
системы, метод вывода частотных характеристик.
2. Определить амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для
модели экипажа, получить аналитическое выражение амплитудно-частотных
характеристик.
3. Получить математические выражения АЧХ, необходимые для
изучения динамических свойств модели транспортного экипажа.
4. С помощью Mathcad построить необходимые АЧХ для различных
значений параметра демпфирования и выбрать рациональные значения
параметров первичной и вторичной ступеней рессорного подвешивания.
Краткие теоретические сведения
Рассмотрим модель экипажа, представляющую собой систему с двумя
ступенями рессорного подвешивания, которая позволяет исследовать
колебания подпрыгивания двух или трех тележек массой М1 и кузова массой
М2 (рисунок 2.4, а).
Так как каждая из масс может совершать только вертикальные
колебания, то эта система имеет две степени свободы: Z1 – вертикальное
перемещение массы m1 и Z2 – вертикальное перемещение массы m2.
Пружина с жесткостью ж1 и гаситель с коэффициентом демпфирования β1
эквивалентны буксовому подвешиванию всех тележек локомотива, а
рессорное подвешивание с характеристиками ж2 и β2 эквивалентны
центральному подвешиванию, приходящемуся также на все тележки.
При составлении уравнений колебаний рассматриваемой системы
будем считать, что путь – абсолютно жесткий, а возмущение –
кинематическое. Для этого в соответствии с рисунком 2.4,б составим
уравнения сил в частотной области, действующих на каждую массу. Для
массы m2 будем иметь:
, (2.1)
где:
– упругая сила, возникающая
в пружине ж2;
– демпфирующая сила,
возникающая в гасителе β2;
– инерционная сила, действующая на
массу m2,
, f – частота, Гц; ω – угловая частота, рад/с; – мнимая
единица.
-13-
Рисунок 2.4 – Расчетная схема системы с двумя степенями свободы
а) кинематическая схема; б) схема действующих сил
Уравнение сил, действующих на первую массу m1:
У Д И У Д, (2.2)
где:
– упругая сила, возникающая
в пружине ж 1;
– демпфирующая сила,
возникающая в гасителе β 1;
– инерционная сила, действующая
на массу m 1;
координата входная - )(
j
(неровность со стороны пути),
координаты выходные - )(),(
21
jZjZ
(соответственно вертикальные
перемещения масс m1 и m2.
Подставляя выражения сил в уравнения (2.1 и 2.2), получим систему
уравнений:
-14-
(2.3)
После преобразований получим:
(2.4)
Разделив правую и левую части каждого уравнения системы на
полином левой части, будем иметь:
+=
=
),()()()()(
),()()(
2311
122
jZjWjjWjZ
jZjWjZ
(2.5)
где:
Реакция исследуемой системы на гармоническое воздействие
единичной амплитуды
)(
j
=1 называется частотной характеристикой (ЧХ).
Частотную характеристику, связывающую единичное возмущение
)(
j
с перемещением
)(
jZ
i
массы i-й части экипажа, определим как
)(
)(
)(
j
jZ
jW
i
i
Z
=
.
Выделив правую часть этого равенства из системы уравнений (2.5),
предварительно подставив выражение для
)(
2
jZ
во второе уравнение, а для
)(
1
jZ
– в первое, найдем:
для массы 1
)()(1
)(
)(
32
1
1
jWjW
jW
jW
Z
−
=
,
(2.9)
для массы 2
)()(1
))(
)(
32
21
2
jWjW
jWjW
jW
Z
−
=
.
(2.10)
В системе с двумя степенями свободы различают частоты собственных
парциальных и
и связанных
1С
f
и
2С
f
колебаний. По значениям этих
частот можно в первом приближении (без расчета амплитудных частотных
характеристик) определить значения резонансной частоты вертикальных
колебаний масс m1 и m2.
-15-
Для определения частот парциальных колебаний в системе закрепляют
все обобщенные координаты, кроме рассматриваемой:
Для определения частот собственных связанных колебаний составляют
и решают характеристическое уравнение системы. Для этого в системе (2.3)
нужно приравнять к нулю все коэффициенты демпфирования β1 и β2 и
возмущение , а затем составить определитель из коэффициентов, стоящих
перед соответствующими координатами и приравнять его к нулю:
. (2.12)
Раскрыв этот определитель, получим:
. (2.13)
Корни этого характеристического уравнения и являются частотами
собственных связанных колебаний:
где
.
Знак минус под радикалом относится к частоте собственных колебаний
2С
f
массы m2, а знак плюс к частоте
1С
f
массы m1.
Коэффициент критического демпфирования и коэффициент
относительного демпфирования вычисляются отдельно для каждой
парциальной системы:
Помимо перемещений, в качестве выходных координат могут быть
приняты скорость и ускорение каждой массы, а также силы, действующие в
отдельных ступенях рессорного подвешивания.
Частотные характеристики скоростей
и ускорений
выходных координат (при i =1 – для координаты Z
1 ,
при i=2 для координаты
Z2) определяются по формулам:
, (2.17)
-16-
, (2.18)
где:
– частотная характеристика, связывающая
скорость и перемещение выходной координаты;
– частотная характеристика, связывающая
ускорение и перемещение выходной координаты.
Например, ЧХ ускорения кузова m2 будет иметь вид:
, (2.19)
Сила, возникающая в i-той ступени рессорного подвешивания,
определяется суммой соответствующих упругих и демпфирующих сил (см.
2.1, 2.2):
, (2.20)
где
)(
j
i
– деформация i-й ступени рессорного подвешивания:
для 1-й ступени
)(
1
j
=
)()(
1
jjZ −
; (2.21)
для 2-й ступени
)()()(
12
2
jZjZj −=
. (2.22)
Если учесть, что
)(
)(
)(
j
jZ
jW
i
i
Z
=
, а
получаем частотную характеристику, связывающую возмущение
)(
j
с силой, действующей в i-м рессорном подвешивании:
для 1-й ступени:
или
для 2-й ступени:
или
Используя полученные выражения для ЧХ, можно найти амплитудные
частотные характеристики (АЧХ) любой выходной координаты по формуле:
(2.28)
-17-
2.3 Реализация модели в системе Mathcad
Приведем пример вычислений с использованием системы Mathcad для
значений, относящихся к 4-х осному локомотиву:
т – масса подрессоренной части 2-х тележек;
т – масса кузова;
кН/м – коэффициент жесткости буксового подвешивания;
кН.с/м – коэффициент демпфирования буксового
подвешивания;
кН/м – коэффициент жесткости центрального подвешивания;
кН.с/м – коэффициент демпфирования центрального
подвешивания.
Определим значения частот парциальных колебаний:
=5.081 Гц;
=1.274 Гц.
Определим значения частот собственных связанных колебаний:
;
fC1=5.12 Гц,
fC2=1.108 Гц.
На основании этих расчетов можно сказать, что резонансные частоты
подпрыгивания тележек и кузова будут находиться в требуемых диапазонах
f
рез1
=5,081 ÷ 5,12 Гц и f
рез2
=1,108 ÷ 1,274 Гц. Точные значения этих частот
определяются при расчете амплитудных частотных характеристик
соответствующих координат и будут равны или меньше полученных выше
значений за счет влияния демпфирующих элементов рессорного
подвешивания.
Определим коэффициенты критического демпфирования и
относительного демпфирования:
-18-
Значения относительного демпфирования не превышают величины 0.3,
следовательно колебательная система не передемпфирована.
j 1−=
– мнимая единица.
Статические силы, действующие на рессорное подвешивание:
Организуем цикл по частоте колебаний системы:
;
Вычислим вспомогательные функции для частотных характеристик:
Определим частотные характеристики:
Перемещения выходных координат:
Ускорения выходных координат:
Деформаций рессорного подвешивания:
Коэффициентов динамики в рессорном подвешивании:
Вычислим соответствующие амплитудные частотные характеристики:
Графики этих зависимостей приведены на рисунках 2.5 ÷ 2.8.
fn 0.05= fk 60= f fn 0.1 fk= f( ) 2 f=
-19-
Рисунок 2.5 – АЧХ перемещения выходных координат Z1 и Z2
Значения резонансной частоты вертикальных колебаний согласно
приведенного выше рисунка составляют: для массы
– 4,35 Гц, для массы
– 1,1 Гц.
Рисунок 2.6 – АЧХ ускорения выходных координат Z1 и Z2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
AZ
1
f( )
AZ
2
f( )
f
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
300
600
900
1200
1500
AZY
1
f( )
AZY
2
f( )
f
-20-
Рисунок 2.7 – АЧХ деформации рессорного подвешивания
Рисунок 2.8 – АЧХ коэффициента динамики рессорного подвешивания
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
AD
1
f( )
AD
2
f( )
f
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
30
AKD
1
f( )
AKD
2
f( )
f
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]