Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики жидкости и теплотехники в системах ТГВ. Учебно-методическое пособие
.pdf
В этом случае уравнение (2.63) примет вид:
z
u
u
y
u
u
x
u
uZ
z
p
z
u
u
y
u
u
x
u
uY
y
p
z
u
u
y
u
u
x
u
uX
x
p
z
z
z
y
z
x
y
z
y
y
y
x
x
z
x
y
x
x
1
1
1
zz
yy
xx
duuZdzdz
z
p
duuYdydy
y
p
duuXdxdx
x
p
1
1
1
zzyyxx
duuduuduu
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
ZdzYdyXdx
(
1
. (2.65)
При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями
движения. Умножая на dx, соответственно, на dy, dz) уравнения (2.65), получим
. (2.66)
Складывая, правые и левые части уравнения (2.66), получим
61
(2.67)
В данном выражении (2.67) составляющая
,dUZdzYdyXdx
)ududuuduuduu
zzyyxx
0 udu
dp
gdz
0)()()( dtuduuddtudpdtudz
.
.
где U – силовая функция.
В данном случае
(2.68)
, (2.69)
где u – полная скорость в рассматриваемой точке.
Если рассматривать движение жидкости, которое происходит под
действием силы тяжести, то силовую функцию можно представить в виде
dU=–gdz. В этом случае уравнение (2.67) примет вид:
(2.70)
Умножив каждое из составляющих уравнения (2.70) на массовый расход и
dt, получим
(2.71)
62
0)()()(
2
1
2
1
2
1
dtuduuddtudpdtudz
.
Проинтегрировав уравнение (2.71) с учетом, что ρg= γ =const, udt=ds,
имеем:
Предполагая, что давление по сечению величина постоянная, окончательно
получим:
z1+p1/γ+u
2
/2g=z2+p2/ γ +u
1
2
/2g=H= const, (2.73)
2
(2.72)
где H – полный напор, в метрах водяного столба.
Или в паскалях:
γ z1+p1 +u
2
ρ/2= γ z2+p2+u
1
2
ρ/2=P= const, (2.74)
2
где P – полное давление в паскалях
Уравнение (2.73) или (2.74) принято называть уравнением Бернулли для
идеальной несжимаемой жидкости.
Уравнение Бернулли представляет собой уравнение энергии потока
идеальной жидкости с одинаковыми скоростями всех точек потока.
Составляющие указанного уравнения представляют собой:
z1+p1/ γ; (γ z2+p2 ) – составляющая потенциальной энергии;
2
u
1
/2g; (u
2
ρ/2) – кинетическая составляющая уравнения энергии.
1
63
Уравнение Бернулли представляет собой уравнение сохранения удельной
zyxzzyyxx
FFFduuduuduu
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
ZdzYdyXdx
1
0)(
)()(
21
2
1
2
1
2
1
2
1
ududtuddtuduud
dtudpdtudz
.
.
энергии для потока идеальной жидкости, которое устанавливает, что для
любого сечения потока сумма потенциальной и кинетической энергии есть
величина постоянная.
2.4.6. Решение основного дифференциального уравнения движения
вязкой жидкости в случае установившегося движения
в поле сил тяжести
В случае установившегося движения производные скорости во времени
равны нулю, т.е. ∂ux/∂t=∂uy/∂t=∂uz/∂t=0. С учетом приведенных выше
допущений, суммируя, правые и левые части уравнения (2.63) окончательно
уравнение (2.75) примет вид:
Решив уравнение (2.75) с учетом, что ρg= γ, udt=ds и ρ=const в поле сил
тяжести, имеем:
(2.75)
(2.76)
64
Принимая сумму «операторов Лапласа» (2.63), как потери связанные с
P
VV
pz
V
pz
222
2
2
21
2
1
2
22
22
2
11
11
21
2
1
2
2
21
2
p
V
Pp
V
pz
V
pz
22
2
22
22
2
11
11
Hh
g
Vp
z
g
Vp
z
21
2
22
2
2
2
2
11
1
1
1
22
потерями энергии ввиду вязкости жидкости при прохождении от сечения 1-2,
можно записать для потока вязкой жидкости и различных сечений:
, (2.77)
где α – коэффициент Кориолиса в соответствующем сечении.
В общем приближении можно записать
. (2.78)
В результате уравнение 2.77 примет вид:
где Δp
– потери энергии потока жидкости от сечения – 1 до сечения – 2.
1-2
Или уравнение (2.73) в «напорах»:
, (2.79)
. (2.80)
65
2.4.7. Основные понятия о гидродинамическом подобии
Математическое моделирование. При исследовании гидравлических
процессов с помощью математического моделирования изучаются явления,
отличные от натурных (физических), но описываемые теми же
математическими уравнениями. Совокупность уравнений, описывающих
определённый физический процесс, называют математической моделью, а
изучение его поведения в тех или иных условиях путём решения уравнений –
математическим моделированием. В отличие от физического, применение
математического моделирования при соответствующей математической модели
не ограничено.
Математическая модель гидравлического явления или процесса обычно
создаётся на основании применения к ним наиболее общих законов механики,
таких, как сохранение движения, массы и энергии. Записывая эти законы в виде
систем дифференциальных уравнений и аналитически их исследуя, т.е.
используя методы классической механики, можно получить информацию о
процессах или явлениях, которые не наблюдались в ограниченном диапазоне
изменения исследуемых величин.
Применяя общие теоремы механики или термодинамики к частным
случаям потока жидкости в конкретных условиях, получают математические
модели гидравлических процессов, как правило, в виде сложных систем
дифференциальных уравнений в частных производных. Аналитические методы
интегрирования и исследования таких уравнений, традиционные для
классической механики и гидравлики, в настоящее время всё чаще вытесняются
методами численного расчёта подобных систем с использованием ЭВМ.
Другой путь состоит в том, что аналитические приёмы интегрирования и
исследования систем дифференциальных уравнений используются в сочетании
с эмпирическими приёмами. В этом случае зависимости, выведенные из
фундаментальных законов механики, применяются при аналитическом
66
исследовании совместно с зависимостями, установленными
экспериментальным путём, обычно на основе осреднения данных натуральных
изменений. Классическими примерами являются полуэмпирические теории
турбулентности и теории пограничного слоя.
Численный, или вычислительный эксперимент – это современный метод
теоретических исследований, опирающихся на «экспериментирование» с
математической моделью, только роль лабораторной установки выполняет
ЭВМ, ведущая вычисления по заданной программе.
В настоящее время широкое развитие получили численные методы,
ориентированные на использование современных быстродействующих ЭВМ.
Среди них можно выделить 2 альтернативных метода: метод конечного
элемента (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР). Применение этих методов
заставило обратить внимание на целый ряд новых аспектов при исследовании
гидравлических процессов. Особенно важным достижением в этой области
следует считать исследования, связанные с изучением граничных условий при
различных типах движения жидкости.
Следует считать, что все последующие, значительные достижения в
гидравлике должны базироваться на рациональном использовании в одном
исследовании всех 3 методов: аналитического, эмпирического и
вычислительного.
Примерами математического моделирования являются: исследование
движения грунтовых вод методом гидродинамических аналогий (ЭГДА),
исследования и расчёты турбулентных свободных пограничных слоёв, струй и
следов, стратифицированных течений, неустановившихся течений в руслах и
сооружениях, переходных процессов в ирригационных каналах, русловых
процессов в зоне мостовых переходов и т.п.
Детально вопросы математического моделирования с анализом расчётных
схем, алгоритмов и программ расчётов проводятся в специальной литературе.
Достоверность численных расчётов математического моделирования была
подтверждена уникальными натурными исследованиями в широком диапазоне.
67
При физическом моделировании изучаемые гидравлические процессы
constамн
2
/
constаWW
мн
3
воспроизводятся на модели, отличающейся в масштабе от натуры, на основе
общих законов подобия механических систем. Явления (процессы) будут
механически подобны в том случае, если в них одинаково отношение всех
геометрических элементов – размеров, расстояний, перемещений, одинаково
отношение плотностей и сил, действующих в соответственных точках и
направлениях. Моделью в этом случае называется уменьшенное
гидротехническое сооружение или гидравлическая машина вместе с
омывающим её потоком жидкости.
Для полного гидродинамического подобия потоков необходимо их
геометрическое, кинематическое и динамическое подобие.
Два потока будут геометрически подобными, если между их
соответствующими линейными размерами существует постоянное
соотношение:
l H/l M = a = const, (2.81)
где а – линейный масштаб, показывающий во сколько раз размеры модели lM
уменьшены, по сравнению с размерами натуры l H.
Геометрическое подобие предусматривает также постоянными
соотношения площадей
, (2.82)
а также подобие объемов
. (2.83)
68
Два потока будут подобны (кинематически) при подобии полей скоростей
V
V
l t
l t
l
l
t
t
a
a
a
H
M
H H
M M
H
M
M
H t
V
/
/
a
j
j
a
a
a
a
j
H
M t
2
2
2
jmTPGF
и ускорений натуры и модели, которое выполняется, если скорости VH и VM и
ускорения JM и JH в сходственных точках натуры и модели находятся в
одинаковых соотношениях, то есть существуют масштабы скоростей av и
ускорений аj:
, (2.84)
При этом аv = const и aо = const кинематическое подобие обязательно
включает в себя геометрическое подобие.
Для динамического подобия необходимо, чтобы все силы, действующие в
подобных точках модели и натуры на частицы жидкости, отличались между
собой только постоянными масштабами при равенстве углов, характеризующих
направление этих сил.
Явления динамически подобны, если физическая природа действующих на
жидкость сил одинакова и векторы этих сил образуют геометрически подобные
силовые многоугольники. На любую частицу жидкости в общем случае
действуют следующие силы – сила тяжести, сила давления, сила трения.
Равнодействующая этих сил F, согласно второму закону И. Ньютона,
. (2.85)
равна произведению массы и ускорения, пропорциональная плотности
жидкости, ускорению свободного падения g и объёму W (или кубу линейного
размера частицы l3)
, (2.86)
69
где
G m g p g W p g l
3
2
lpSpP
T
dv
dh
S l V
I F p l v
2 2
G
G
P
P
T
T
F
F
l
l
a const
H
M
H
M
H
M
H
M
H
M
F
0
t
u
t
u
t
u
z
y
x
,
, (2.87)
, (2.88)
(2.89)
. (2.90)
Из условия подобия отношения всех пар сходственных сил натуры и
модели равны:
, (2.91)
где aF – масштаб сил, т.е. число, показывающее во сколько раз силы в натуре
(с индексом «н») больше соответствующих сил в модели (с индексом «м»).
Величины – а, аv, аf называются масштабными множителями. Выбор всех
масштабных множителей для подобных потоков непроизволен, так как между
ними существует определённая взаимосвязь.
Для нахождения гидродинамических критериев подобия используем
дифференциальное уравнение движения вязкой жидкости (2.63) и уравнения
неразрывности (2.55)
; (2.92)
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]