Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы механики жидкости и теплотехники в системах ТГВ. Учебно-методическое пособие
.pdf
0cos)cos(
dFdPdP
ziz
0c os)c os(
dFdPdP
xix
0cos)cos(
dFdPdP
yiy
z
dp
y
dp
dp
x
dp
x
y
z
dF
dx
dy
dz
Рис. 2.5. К выводу основной теоремы гидростатики
В этом случае можно состояние равновесия выразить в виде трех
уравнений проекций действующих сил и трех уравнений моментов:
∑X=0 ∑Мx =0; ∑Y=0 ∑Мy=0; ∑Z=0 ∑Мz=0. (2.14)
При уменьшении граней выделенного объема в пределе до нуля, система
действующих сил превратится в систему сил, проходящих через точку, а
система уравнений моментов теряет смысл.
Проекции этих сил на оси x, y, z можно представить в виде:
,
,
,
(2.15)
где θ – угол между нормальным направлением силы Pi соответствующей осью
координат, а α, β, γ – углы между составляющей равнодействующих массовых
сил F и осями координат.
41
Учитывая, что dPx =pxdydz/2; dP cosθx; dPicosθx=pidωcosθx=pidydz;
0
6
1
22
dxdydzX
dydz
p
dydz
p
ix
0
6
1
22
dxdydzY
dzdx
p
dzdx
p
iy
0
6
1
22
dxdydzZ
dydx
p
dydx
p
iz
0
3
1
dxXpp
ix
0
3
1
dyYpp
iy
0
3
1
dzZpp
iz
0ixpp
0iypp
0izpp
izyx
pppp
),,,( tzyxfp
dFcosα=dmjcosα=ρdxdydzX/6.
Проводя подобные рассуждения, относительно проекций сил на другие оси
координат y и z, и осуществляя соответствующие преобразования, получим:
,
,
. (2.16)
Проведя соответствующие преобразования окончательно, получим:
,
,
. (2.17)
Учитывая, что последняя составляющая в данной системе уравнений
представляет величину высшего порядка малости, можем записать:
(2.18)
или
. (2.19)
В данном случае было доказано – равнозначность гидростатического
давления в точке по любому направлению, однако не следует забывать, что
давление является функцией координат и времени.
. (2.20)
42
2.3.3. Основной закон гидростатики
X
x
p
Y
y
p
Z
z
p
0
X
x
p
0
Y
y
p
0
Z
z
p
z
d
d
H
y
x
0
h
h
x
y
d
d
dz
d
dp*
H
z
z
0
Предполагая, что жидкость находится в состоянии относительного покоя,
выделим элементарный объем, рис. 2.6.
Выделим в объеме некоторую элементарную площадку dω. Данная
площадка сверху нагружена столбом жидкости высотою h0+h, где h0 – высота
столба жидкости (воздуха) над свободной поверхностью жидкости.
Рис. 2.6. Расчетная схема
Условие равновесия выделенного элементарного объема предполагает
равенство массовых и поверхностных сил. В проекциях на оси x, y, z можем
записать:
(2.21)
или
. (2.22)
43
Система уравнений (2.22) описывает относительное равновесное состояние
)( ZdzYdyXdxdp
0 ZdzYdyXdx
gdzdp
)(
00
zzgpp
жидкости (система уравнений равновесного состояния жидкости – Эйлера).
Сложение правых и левых частей уравнения позволяет получить
уравнение:
Уравнение (2.23) представляет собой основное уравнение гидростатики.
Поверхность уровня представляет поверхность равного давления.
Поверхность уровня предполагает p=const или dp=0. В этом случае уравнение
(2.23) примет вид:
(2.24)
Уравнение (2.24) представляет уравнение поверхности уровня.
Поверхность уровня обладает определенными свойствами.
1. Поверхности уровня не пересекаются.
. (2.23)
.
2. Направление объемных сил нормально к поверхности уровня.
Равновесие жидкости в поле земного тяготения. Рассматривая уравнение
(2.23) для случая работы его в поле земного тяготения, т.е. X=0, Y=0, а Z=-g
(рис. 2.6). В данном случае уравнение (2.23) примет вид:
Проводя интегрирование уравнения (2.25) окончательно получим
44
. (2.25)
, (2.26)
где p – величина гидростатического давления столба воздуха над выделенной
ghpp
0
222
zнyнxнн
PPPP
в
P
0
P
н
P
н
н
P
ц. д
г
P
x
y
z
Pв
Pн
P
x.
P
z.
P
p
0
c.т.
поверхностью; h – высота столба воздуха; h – высота столба жидкости над
выделенной поверхностью.
Окончательно уравнение (2.26) примет вид:
. (2.27)
2.3.4. Сила давления жидкости на плоские поверхности
Сила давления жидкости на плоские поверхности. Определим силу
давления Pн на произвольную наклонную площадь ω (рис. 2.7). В данном
случае величина Pн определяется из соотношения:
. (2.28)
Рис. 2.7. Силы давления жидкости на плоские поверхности
45
CoshpР
zyсрxн
0.0
CoshpР
zxсрyн
0.0
CoshpР
xyсрzн
0.0
0
2
0
0
hCos
h
J
h
c
Проекции силы Pн на оси x y z можно определить из выражений:
,
,
. (2.29)
где α, β, γ – углы пространственной ориентации силы Pн и осей координат x y z.
Центром давления называется точка приложения силы давления в столбе
жидкости на расчетную площадку. Центр давления характеризуется
координатами x y z, а для плоскости двумя координатами. В этом случае
положение центра давления можно определить из выражения
, (2.30)
где hc – расстояние от поверхности уровня жидкости до точки приложения
силы давления; j0 – момент инерции площадки ω относительно
рассматриваемой оси, проходящей через центр тяжести площадки; h0 –
расстояние от поверхности уровня жидкости до центра тяжести площадки; α –
угол ориентации площадки ω.
Для рассматриваемого случая, величина hc > h0, т.е. центр давления всегда
ниже центра тяжести рассматриваемой площадки. Исключение составляет
частный случай, когда площадка расположена горизонтально, в плоскости x o y.
В этом случае центр давления совпадает с центром тяжести площадки.
Расстояние между центром тяжести и центром давления принимается как
эксцентриситетом приложения силы давления и центром тяжести.
Рассмотрим криволинейную поверхность (рис. 2.8).
46
Рис. 2.8. Давление жидкости на криволинейные поверхности
CospddR
x
CospddR
y
CospddR
z
CospdR
x
CospdR
y
Co spdR
z
222
zнyx
PRRR
R
0
P
x
y
z
R
R
x.
R
z
R
R
с
Так как поверхность пластины криволинейная, то силы dR образуют
систему не параллельных сил. Такую систему можно привести к главному
вектору R. В общем случае можем записать:
, (2.31)
где α β γ – углы пространственной ориентации силы R и осей координат x y z.
Сумма проекций элементарных сил может быть выражена в виде
равнодействующей силы R;
. (2.32)
Сила R по величине будет равна
c
. (2.33)
47
Решение уравнений можно представить в виде:
xcx
hR
/
ycy
hR
/
zcz
hR
/
0 X
0xM
0Y
0yM
0Z
0zM
P
z
-P
x
/
z
y
-P
y
/
P
y
x
P
x
-P
z
/
h
в
h
н
ω
z
0-0
G
г
В
Н
, (2.34)
где h
/
– глубина погружения центра тяжести площадок, соответственно, ωx, ωy,
c
ωz.
2.3.5. Закон Архимеда
Погрузим тело произвольной формы (рис. 2.9) в жидкость. Тело находится
в состоянии равновесия. Определим величину сил, воздействующих на
рассматриваемое тело. К рассматриваемому телу приложены поверхностные и
массовые силы, а также моменты:
(2.35)
В случае состояния равновесия моменты сил уравновешены и
исключаются из рассмотрения. Проекции рассматриваемых сил приведены на
рис. 2.9.
Рис. 2.9. Расчетная схема, закон Архимеда
48
Px, Py, Pz, Р|x, P|y, P|z – проекции сил гидростатического давления,
0|xxPP
0|yyPP
0| GPP
zz
0| GPP
zz
соответственно, на оси координат x,y,z.
. (2.36)
Учитывая, что данная система находится в поле сил земного тяготения,
массовая сила, действующая на погруженное тело, составит
Gг=γт×Wт , (2.37)
где W
– объем погруженного тела; γт = ρg удельный вес погруженного тела.
т
В случае нахождения рассматриваемого тела в состоянии равновесия,
сумма поверхностных и массовых сил должна быть равна нулю:
где Gг – сумма проекций массовых сил; Pz – P
,
|
=Rz – сумма проекций
z
(2.38)
поверхностных сил вдоль оси z.
Подставляя в уравнение (2.38) составляющие, получим
-γт×Wт+γ в×ω
(hнhв)=0 (2.39)
z
или
-γт×Wт+ γв×Wв=0. (2.40)
Из анализа уравнения (2.40) следует, что в случае равенства удельного веса
тела и воды тело находится в состоянии покоя. При условии γв >γт, тело должно
всплыть, а при условии γв<γт, тело опустится на дно емкости.
49
2.4. Основы гидродинамики
dV
=V
i
ср
t
V
ср
2.4.1. Основные характеристики потока жидкости
Поток жидкости. Под потоком жидкости подразумевается движение
безразмерного множества отдельных частиц, которые движутся по своим
траекториям. Как и в гидростатике, основной искомой величиной является
величина гидростатического давления, а также значения скорости, расхода и
т.п. при условии движения всех частиц жидкости.
Скорость течения потока. Под скоростью движения потока жидкости
подразумевается суммарное передвижение всех частиц потока в одном
направлении. В связи представлением о скорости потока необходимо ввести
ряд определений скорости.
Локальная скорость течения. Локальной скоростью движения жидкости
является скорость движения безразмерно малой частицы жидкости.
Средней скоростью течения. Под средней скоростью движения потока
жидкости подразумевается суммарное передвижение всех частиц потока в
одном направлении, проходящее через площадку, перпендикулярную векторам
скорости. Локальная и средняя скорость движения потока жидкости связаны
выражением:
, (2.41)
где Vi – локальная скорость; ω – площадь поперечного сечения движению
потока.
Установившимся потоком жидкости является поток, скорость в котором не
зависит от времени (рис. 2.10).
Рис. 2.10. Установившийся поток движения жидкости
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]