Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные математические принципы в реализации некоторых алгоритмов информационной безопасности. Учебное пособие
.pdf
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРАВНЕНИЯ
Теория чисел имеет свою алгебру, известную, как теория сравне-
ний. Обычная алгебра первоначально развивалась как стенография для
операций арифметики. Аналогично, сравнения представляют собой
символический язык для делимости, основного понятия теории чисел.
Зафиксируем некоторое натуральное число m и введем определение.
Определение. Элементы a, b Z называются сравнимыми по модулю m, если при делении на m они дают одинаковые остатки, т. е.
ra rb
mm
щем виде:
.
Таким образом, данное сравнение можно представить в следую-
(mod )ab m
.
Сформулируем критерий сравнимости.
Теорема 3.1 (критерий сравнимости). Для любых a, b Z
(mod ) |ab m mab
.
Доказательство
1) Пусть сначала имеем (mod )ab m. Необходимо доказать, что
|ma b .
Раз речь зашла о делении чисел, то разделим a, b на m. Получим
amq ra
1
bmq rb
2
Однако, по определению (mod )ab m, имеем
ra rb
mm
0.
Вычтем второе уравнение из первого. Получим
41
,
m
.
m
ra rb
mm
.
Значит,
a b mq r a mq r b
12
mm
()( )().
mq q r a rb mq q
12 12
mm
Отсюда |ma b . Первая часть теоремы доказана.
2) Теперь пусть имеем |ma b. Необходимо доказать, что
(mod )ab m . Запишем процесс деления (a – b) на m:
abmq q rarb
()( ).
12
mm
Так как (a – b) делится без остатка на m, то первое слагаемое справа
очевидно также делится на m (так как m здесь является сомножителем).
Следовательно, второе слагаемое также делится на m. Теорема пол-
ностью доказана.
Для понимания критерия сравнимости рассмотрим примеры:
1) m = 3, 8 5(mod 3) , так как 8 – 5 = 3 и 3 делится без остатка на 3;
2) m = 5, 12 2(mod5) , так как 12 – 2 = 10 и 10 делится без остатка на 5;
3) m = 2, 3 7(mod 2) , так как 3 – 7 = –4 и –4 делится без остатка на 2;
4) m = 5, 11 3(mod 5) , так как 11 – 3 = 8 и 8 не делится без остатка на 5;
5) m = 27, 81 0(mod 27), так как 81 – 0 = 81 и 81 делится без
остатка на 27.
Последний пример показывает, что вообще, вместо того, чтобы говорить: число а делится на число m, мы можем записать: 0(mod )am
.
Так как это означает, что a – 0 = a = mk, где k – некоторое целое число.
И вместо того, чтобы сказать, что а – четное число, мы можем записать:
0(mod 2)a
.
Аналогично нечетное число удовлетворяет условию:
1(mo d 2)a
.
Способ, которым мы записываем сравнения, напоминает уравнения, и в действительности, сравнения и алгебраические уравнения
имеют много общих свойств. Простейшими из них являются следующие свойства, представленные в теореме 3.2:
42
Теорема 3.2 (свойства сравнений).
1) Отношение сравнимости целых чисел по модулю m является от-
ношением эквивалентности на m.
2) Сравнения можно почленно складывать, вычитать и перемно-
жать, т. е. для любых a, b, с, dZ и любой операции *{,,}
:
(mod ), (mod ) * * (mod ).a b m c d m ac bd m
3) Обе части сравнения можно умножать и делить на одно и то же
число. Если d – общий делитель чисел a, b, m из Z, то
(mod ) / / (mod / ).ab m adbd md
4) Обе части сравнения можно умножать и делить на число, взаимно простое с модулем. Если d – общий делитель чисел a, b из Z и
(d, m) = 1, то
(mod ) / / (mod ).ab m ad bd m
Доказательство
1) Напомним определение отношения эквивалентности.
Отношение эквивалентности – бинарное отношение на множестве
А, обладающее свойствами:
1) рефлексивности: ,aAaa
2) симметричности: , ,ab Aa b b a
3) транзитивности: , , , ,abc A a b b c a c
;
;
.
Очевидно, что для сравнений данные свойства выполняются.
Рефлексивность (mod )aa m
, так как a и a при делении на m да-
ют одинаковые остатки.
Симметричность (mod ), (mod )ab mba m
, так как если a и b
при делении на m дают одинаковые остатки, то остатки от деления b и
a на m также равны.
Транзитивность (mod ), (mod ) (mod )ab mbc m ac m
. Дан-
ное свойство не столь очевидно. Докажем его.
Применим теорему 3.1. Получим:
(mod ) | ;
ab m mab ab mq
(mod ) | .
ac m mbc bbmq
43
1
2
Сложим два последних выражения:
abbcmq mq
acmq q
() .
12
12
Значит, |ma c и (mod )ac m. Первая часть теоремы доказана.
2) Применим теорему 3.2:
(mod ) | , ;
ab m mab abmqabmq
(mod ) | , .
cd m mcd cd mqcd mq
11
22
Далее применим
,,
последовательно к последним двум вы-
ражениям:
abmq
,
1
cdmq
acbd mq q
acbd mq q
ac bd mdq bq mqq
.
2
(),
12
(),
12
().
12 12
Значит,
ac bd mq q m ac bd ac
()()( ) |()()()
ac bd mq q m ac bd ac
()( )( ) |()( )()
ac bd mdq bq mqq m ac bd ac
()( ) ( ) |()( ) ()
12
bd m
( )(mod );
12
bd m
()(mod);
12 12
bd m
()(mod)
ac bd m
(mod )
Вторая часть теоремы 3.2 доказана.
44
3) Введем обозначения:
x|z
ad a a ad
/,
11
bd b b bd
/,
md m m md
11
/.
11
Нам дано (mod )ab m . По теореме 3.1 m|a – b. Представим данное
выражение в новых переменных:
||(/).md ad bd md a b d
11 1 1 11
Получим:
|( ) / |( / / )mab mdadbd
111
.
Значит, / / (mod / )ad bd md .
Третья часть теоремы доказана.
4) Введем обозначения:
/,
ad a a ad
bd b b bd
11
/.
11
Нам дано (mod )ab m . По теореме 3.1 |ma b. Представим дан-
ное выражение в новых переменных:
||()mad bd m a b d
11 11
Отступление.
Докажем свойство:
По определению
По определению (x, y): существуют некоторые u, v из Z, что (x, y) =
= ux + vy.
У нас (x, y) = 1.
ux + vy = (x, y) = 1
Помножим на z:
uzx + vyz = z
uzx + vxt = z
x(uz + vt) = z
По определению
,, ,| ,(,)1xyz Zxyz xy
|xyz означает, что yz = xt.
, что и требовалось доказать.
.
имеем x|z.
45
На основании рассмотренного свойства
|( )ma b
. Обратная замена: |( / / ) / / (mod )madbd ad bd m
11
что и т. д.
|( )ma bd
11
равно
,
Пример. Из того, что 13 35(mod11)
и 35 9(mod11)
следует, что
13 9(mod11) .
По теореме 3.2 отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности на Z, и поэтому множество Z разбивается
на непересекающиеся классы чисел, сравнимых по модулю m, т. е. дающих одинаковые остатки при делении на m.
Определение. Вычетом класса чисел по модулю m называется лю-
бое число этого класса.
Определение. Система вычетов, состоящая из m вычетов, взятых
по одному из каждого класса, называется полной системой вычетов по
модулю m.
,,
Следствие. Для любых a, b
Z и любой операции
верно
равенство
() ()()
rab r rarb .
mmmm
Доказательство
( )(mod ), ( )(mod )
Так как
ab r a r b m
Отсюда по определению имеем
ara mbrb m
mm
( ) ( )(mod )
mm
.
, то по теореме 3.2 (п. 2)
() (()())
rab rrarb
mmmm
, что
и требовалось доказать.
Пример (на использование следствия)
Найти остаток от деления числа а = 128
1) Найдем r13(128
148
).
148
− 148
129
на число 13.
128 = −2(mod 13), ведь 128−(−2) = 130 делится на 13 без остатка.
1282 = (−2)2 = 4(mod 13),
1284 = 16 = 3(mod 13),
1286 = 1282 1284 = 4 3 = –1(mod 13),
148 = 6 · 24 + 4,
148
128
= (1286)24 1284 = 1 3 = 3(mod 13).
46
Таким образом, r13(128
2) Найдем r13(148
129
).
148
) = 3.
148 = 18 = 5(mod 13), так как 148 − 18 = 130 делится на 13 без
остатка,
1482 = 52 = 25 = 12 = −1(mod 13),
129 = 54 = 64 2 + 1,
129
148
= (1482)64 148 = 1 5 = 5(mod 13).
Таким образом, r13(148
3)
13 13 13 13 13 13
129
) = 5.
148 129
128 148 3 5 2 .() ( ) ( ) ( ) ( )r а rr r r r x
То есть х – это число, удовлетворяющее свойством: 13|х − (−2)
или 13|х + 2. Данному условию удовлетворяет число х = 11. Значит,
.() 11r а
13
Теорема 3.3. Если (mod )ab m
и k – произвольное целое число, то
(mod )ka kb m .
Доказательство
По теореме 3.1 из (mod )ab m следует |ma b. И |( )mka b (ведь
если 6 делится на 3 без остатка, то и 6 · 2 также). Получим:
|(mod)mka kb ka kb m , что и требовалось доказать.
, , , ,
Теорема 3.4 (обобщение). Для любых
(mod ), ..., (mod )
операции *={+, −,·}: Если
aa a bb b m
12 12
ab m a b m
11
... ... (mod )
nn
ab a bnZ
11
nn
n
, то
.
и любой
Доказательство
Последовательно применяя теорему 3.3, получим:
(mod ),
ab m
11
aa ba m
12 12
(mod ),
............................
aa a ba a m
12 12
.... ... (mod ),
nn
47
ba a m
12
bb a a m bb b b m
12 3 123
... (mod ) ... ... (mod ) ,
nn
что и требовалось доказать.
... (mod )
n
Теорема 3.5. Если (mod )ab m
nn
ab m
(mod )
.
, то при любом целом n ≥ 0
Доказательство
При n = 0 данное утверждение верно. Рассмотрим при n ≥ 1.
{}, ,
aabb
Утверждение верно согласно теореме 3.4, полагая
ii
что и требовалось доказать.
Пример. Из сравнения
8 3(mod11)
после возведения в квадрат следует сравнение
22
8 ( 3) (mod11),
64 9(mod11) ,
а после возведения в куб получаем сравнение
512 27(mod11)
.
Теорема 3.6. Любое слагаемое левой или правой части сравнения
можно перенести с противоположным знаком в другую часть.
Доказательство
Ввиду симметричности отношения сравнения (теорема 3.2) достаточно рассмотреть случай:
abc m
(mod ),
(mod ).
bb m
Складывая сравнения, получим:
abbcb m
acb m
(mod ),
(mod ),
что и требовалось доказать.
,
48
Простым следствием этой теоремы является то, что в левой и пра-
вой частях сравнения можно добавлять или отбрасывать одно и то же
слагаемое.
Теорема 3.7. В сравнении можно отбрасывать или добавлять слага-
емые, делящиеся на модуль.
Доказательство
Представим сравнение в виде (mod )acb m
делящееся на m (т. е. m|c). Тогда 0(mod )cm
, где с есть слагаемое,
. Складывая эти два срав-
нения, получим:
accb m
0(mod ),
(mod ).
ab m
Аналогично из (mod )ab m и m|c получаем (mod )acb m
, что и
требовалось доказать.
Замечание. Поскольку левую и правую части сравнения можно
менять местами, утверждение верно и для слагаемых правой части.
Теорема 3.8. Если (mod )ab m
и d|m, то (mod )ab d.
Доказательство
Если (mod )ab m , то по теореме 3.1 m|a – b.
Представим условие задачи в виде системы:
|,,
ma b a b mq a b mq
Значит,
|.
dm m dq
21
,abdqq
11
2
21
|abdqq dab
Теорема 3.1
(mod )ab d , что и требовалось доказать.
Теорема 3.9. Если (mod )ab m
, то множество общих делителей a
и m совпадает с множеством общих делителей b и m. В частности,
(a, m) = (b, m).
Доказательство
Если (mod )ab m , то |,ma b a b mqb a mq
. Любой об-
щий делитель λ чисел a и m является общим делителем чисел b и m и,
наоборот, если λ/b и λ/m, то λ/а.
49
Поскольку пара а, т и пара b, m имеют одни и те же общие делите-
s
s
р
ли, то и (a, m) = (b, m), что и требовалось доказать.
Теорема 3.10. Если
ab m ab m ab m
12
(mod ), (mod ),..., (mod )
то (mod )ab m , где m=[m1, m2,…, ms].
Доказательство
Если
12
| , | ,..., |
mabm ab mab
12
s
, то
(mod ), (mod ), ..., (mod )
ab m ab m ab m
и согласно свойствам наименьшего общего кратного
|ma b (mod )ab m
Теорема 3.1
, что и требовалось доказать.
Задания для самостоятельного решения
,
1. Если р – простое число, то
ррр
ab a b
.(mo)d()
2. Показать, что если 100а + 10b + c = 0(mod 21), то а – 2b + 4c =
= 0 (mod 21).
nn
31 mod10, то 31 mod10.() ()
3. Если
4. Показать, что 2
1131
= 2 (mod 11 31).
4
5. С каким наименьшим по абсолютной величине числом сравнимо
число N = 11 18 2322 13 19 по модулю 7?
14
6. Проверить, что
7. Найти остаток от деления 1532
31(mod 29).
5
– 1 на 9.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]