Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование систем параксиальной электронной оптики. Учебное пособие
.pdf
21
Подставляем получившееся выражение (3.39) в уравнение (3.15):
Φ
Φ
Ф
′′
(3.40)
Упрощаем:
Φ
Φ
Ф
′′
(3.41)
Разделим обе части выражения справа и слева на , затем
перенесем все в левую часть и получим следующее выражение:
Φ
Φ
Ф
′′
(3.42)
Пользуясь правилами дифференцирования, дифференцируем
выражение в скобках по :
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
′′
(3.43)
Раскрываем скобки в полученном выражении (3.43):
Φ
Φ
′
Φ
′′
(3.44)
Также данное уравнение может записываться в следующем виде:
Φ
′
Φ
Φ
′′
Φ
(3.45)
Полученное линейное дифференциальное уравнение второго
порядка относительно является уравнением Буша [7].
Данное уравнение впервые было получено Г. Бушем в 1926 году.
Выражения (3.42) и (3.44) являются двумя формами одного и
того же соотношения. Данное уравнение представляет собой
уравнение движения параксиальных электронов в аксиальносимметричном электростатическом поле. Оно связывает координаты
электрона и . Уравнение Буша часто в литературе называют
основным уравнением электронной оптики электростатических полей.
22
Проанализировав уравнение (3.45), мы можем сделать
следующие выводы:
1. В уравнение Буша входит только осевое распределение
потенциала Φ
. Значит, чтобы определить траекторию движения
параксиальных частиц в аксиально-симметричном электростатическом
поле, нам необязательно знать распределение потенциала во всем
пространстве. Нам необходимо знать только осевое распределение
потенциала Φ
, найденное тем или иным способом.
2. В уравнении Буша не присутствует ни заряд, ни масса
движущейся параксиальной частицы в аксиально-симметричном
электростатическом поле, поэтому данный закон можно использовать
для расчета траекторий движения не только электронов, но и любых
других заряженных частиц, например более тяжелых отрицательных
ионов.
3. Уравнение (3.45) является линейно однородным
дифференциальным уравнением второго порядка относительно Φ
.
Потенциал Φ
и его производные Φ
′
и Φ
′′
присутствуют в
первой степени, и правая часть уравнения равна 0. Отсюда следует,
что при изменении потенциалов всех электродов, создающих поле, в
равное число раз траектория движения параксиальных частиц не
изменится.
Допустим, увеличим Φ
в раз, получим следующее:
Φ
′
Φ
Φ
′′
Φ
Φ
′
Φ
Φ
′′
Φ
Как видно, все множители сокращаются и уравнения
становятся тождественно равными.
Следовательно, мы можем проводить исследования электронных
линз на моделях с пропорционально измененными напряжениями на
всех электродах или их подключением к цепям с переменным током.
4. Данное уравнение также является линейно однородным
дифференциальным уравнением второго порядка относительно
.Отсюда также следует, что если использовать модель электродов
электронно-оптической системы, увеличенную в определенное
количество раз, то и траектория движения будет увеличена, но
останется геометрически подобной траектории первоначальной
системы.
23
В заключение данного раздела можно сказать, что любое
аксиально-симметричное поле является электронной линзой. Оно
может создавать изображения с помощью параксиальных электронных
лучей (траекторий).
24
ГЛАВА 4. ПРЕДМЕТ И ИЗОБРАЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРОННОЙ
ОПТИКЕ. УВЕЛИЧЕНИЕ. ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА -
ЛАГРАНЖА
Как уже было сказано в заключение предыдущего раздела,
любое аксиально-симметричное поле является электронной линзой.
Оно может создавать изображения с помощью параксиальных
электронных лучей (траекторий), т.е. совокупность приосевых
траекторий, исходящих из перпендикулярного к оси предмета, создает
электронно-оптическое изображение.
Необходимо сказать, что идеальная линза обязана удовлетворять
следующим условиям:
1) масштаб полученного изображения или отношение расстояний
точек объекта и точек изображения от оси z (оптической оси) должны
быть постоянными величинами;
2) изображением любой точки объекта, которая испускает
электроны, должна являться определенная точка в плоскости
изображения, в которой опять сходятся все траектории электронов.
Если выполнены данные два условия, то линза позволяет
получить неискаженное (сигматическое) изображение.
В предыдущем разделе уже было сказано, что основным
уравнением электронной оптики является линейное однородное
дифференциальное уравнение второго порядка. Общим решением
такого уравнения будет являться следующая функция [5]:
,
(4.1)
где
и
– фундаментальная система решений уравнения
(3.45), т.е. такая система линейно независимых решений, которая
содержит количество функций, равное порядку
дифференцирования [5];
и
– произвольные постоянные.
Рассмотрим две плоскости А-А и В-В, проходящие через точки
А
и
на рисунке 4.1.
25
Рисунок 4.1 – Параксиальные траектории, исходящие из точки А под
разными углами
и фокусирующиеся в плоскости изображений
В-В в точку В
Необходимо, чтобы решение (4.1) удовлетворяло заданным
условиям (4.2) и (4.3) в начальной точке плоскости А-А,
:
(4.2)
(4.3)
где
– какое-то число;
– какое-то число.
Затронем геометрический смысл производной. Как известно из
курса математики, производная функции в точке
равна
тангенсу угла наклона касательной
, проведенной в этой точке к
графику функции.
Значит,
(4.4)
где
А
– угол наклона касательной прямой к траектории движения
электрона в начальной точке с координатами
26
Рассмотрим два частных решения (две траектории), показанные
на рисунке 4.2, которые удовлетворяют ниже представленным
условиям:
(4.5)
(4.6)
Рисунок 4.2 – Траектории, удовлетворяющие заданным условиям
Условие (4.5) означает, что одно из двух частных решений – это
траектория электрона, проходящая в точке через ось , т.е.
. Так как сила, которая воздействует на электрон,
направлена к оси , то этот электрон в какой-то точке
опять
пересечет ось , т.е.
. Через данную точку будет проходить
плоскость В-В [1].
Условие (4.6) означает, что другое частное решение – это
траектория электрона, проходящая в точке
на расстоянии единицы
длины от оси , т.е.
. В плоскости В-В электрон пролетит
через точку на расстоянии
, знание которого в дальнейших
выкладках необязательно.
27
Найдем производную решения (4.1) нашего ЛОДУ второго
порядка (3.45):
(4.7)
Теперь необходимо определить константы и
. Для этого
подставим условия (4.2) и (4.3) в решение (4.1) и производную этого
решения (4.7) при учете условий (4.5) и (4.6), наложенных на частные
решения и их производные.
Для решения (4.1):
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
Аналогично для производной решения (4.7):
(4.12)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
Теперь, зная и
, запиcываем решение (4.1) в следующем
виде:
(4.16)
Подставим в полученное решение (4.16) точки и
и условия
(4.5) и (4.6).
28
Решение (4.16) в точке А имеет вид:
(4.17)
(4.18)
(4.19)
Значит,
– не зависит от
, т.е. не зависит от угла наклона
касательной прямой к траектории движения электрона в начальной
точке с координатами А
Решение (4.16) в точке В имеет вид:
(4.20)
(4.21)
(4.22)
также не зависит от , т.е. выполняется условие
.
Следовательно, мы можем сделать следующий вывод: в точке
фокуса
справедливым является ниже представленное равенство:
(4.23)
Для производной решения (4.7) произведем аналогичные
операции. Запишем производную решения (4.7) в следующем виде:
(4.24)
Подставим в полученную производную решения (4.24) точки
и
и условия (4.5) и (4.6).
29
Выражение (4.24) в фокусе точки А имеет вид:
(4.25)
(4.26)
(4.27)
Данное выражение также можно записать в следующем виде:
(4.28)
Выражение (4.24) в фокусе точки В имеет вид:
(4.29)
Поскольку в точке фокуса А производная
′
и отдельно
на производную
′
не наложено никаких ограничений, то пусть:
(4.30)
(4.31)
(4.32)
Теперь введем понятия линейного и углового увеличений.
Линейное увеличение (M) – это отношение длины
,
полученной оптической системой изображения предмета, к длине
самого предмета
:
(4.33)
Угловое увеличение (Г) – это отношение тангенса угла
наклонной прямой траектории в точке к тангенсу угла
наклонной прямой траектории в начальной точке
:
30
(4.34)
Перейдем к определению линейного и углового увеличений
через частные решения.
Подставим выражения (4.19) и (4.22) в выражение для линейного
увеличения (4.33):
(4.35)
Упростим полученное выражение, применив условие (4.6):
(4.36)
(4.37)
Отсюда следует, что линейное увеличение (M) не зависит от
положения точек относительно оси . Изображение будет
неискаженным, геометрически подобным [1].
Аналогично определяем угловое увеличение через частные
решения.
Подставим выражения (4.28) и (4.32) в выражение для углового
увеличения (4.34):
(4.38)
Упростим полученное выражение, применив условие (4.5):
(4.39)
(4.40)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]