Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование систем параксиальной электронной оптики. Учебное пособие
.pdf
11
Можно заметить, что при выражение (2.9) принимает вид:
Ф
(2.10)
где Ф
– осевое распределение потенциала, т.е. распределение
потенциала вдоль оси симметрии поля.
Нам необходимо найти вид функций Ф
Ф Выразим
через Ф
, т.е. выразим Ф
Ф через Ф
Для этого подставим
разложение (2.9) в уравнение Лапласа (2.7), предварительно найдя:
Ф
Ф
Ф
(2.11)
Ф
Ф
Ф
(2.12)
Ф
Ф
Ф
(2.13)
Ф
Ф
Ф
Ф
(2.14)
Полученные выражения (2.12), (2.13), (2.14) необходимо
подставить в уравнение Лапласа. Перепишем уравнение Лапласа (2.7)
в следующем виде:
(2.15)
Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
справа и слева от равенства. Для этого составим таблицу.
12
Система равенств, связывающих функции Ф
Ф Ф
№
п/п
k
а
Ф
Ф
Ф
б
Ф
Ф
Ф
в
Ф
Ф
Ф
… … … … … … …
…
г
Ф
Ф
Ф
Легко увидеть, что из таблицы можно получить систему
выражений, определяющих функции Ф
Ф Ф через Ф
Из (а):
Ф
Ф
(2.16)
Ф
Ф
(2.17)
Из (б):
Ф
Ф
(2.18)
Ф
Ф
(2.19)
Ф
Ф
(2.20)
13
Из (в):
Ф
Ф
(2.21)
Ф
Ф
(2.22)
Ф
Ф
(2.23)
Анализируя выражения (2.17), (2.20), (2.23), можно заметить
определенную закономерность:
Ф
Ф
Ф
(2.24)
Ф
Ф
Ф
(2.25)
Ф
Ф
Ф
(2.26)
Для общего случая (г):
Ф
Ф
(2.27)
Ф
Ф
(2.28)
Ф
Ф
(2.29)
Ф
Ф
(2.30)
Теперь имеем все необходимое для окончательного вывода
зависимости потенциала аксиально-симметричного электростатичес-
кого поля от расстояния по оси (ось симметрии) и расстояния от
оси .
14
Подставим выражения (2.24), (2.25), (2.26) и (2.30) в формулу
степенного ряда (2.9):
Ф
Ф
Ф
Ф
Ф
(2.31)
∞
Ф
(2.32)
Ранее мы уже отмечали, что при выражение (2.9)
принимает вид:
Ф
где Ф
– осевое распределение потенциала, т.е. распределение
потенциала вдоль оси симметрии поля.
Выполняем необходимую замену в выражении (2.32) и получаем
распределение потенциала аксиально-симметричного
электростатического поля:
∞
(2.33)
Распределение потенциала любого аксиально-симметричного
поля полностью определяется и может быть найдено, если задано
распределение потенциала вдоль оси симметрии этого поля.
Также необходимо отметить, что для целей параксиальной
оптики достаточно знать первые три члена разложения [12]:
(2.34)
15
ГЛАВА 3. ДВИЖЕНИЕ ПАРАКСИАЛЬНЫХ ПУЧКОВ
ЭЛЕКТРОНОВ В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
Рассмотрим движение параксиальных пучков электронов в
аксиально-симметричном поле, т.е. в поле, обладающем осевой
симметрией.
Запишем для движущегося электрона второй закон Ньютона:
(3.1)
где – сила, действующая на электрон;
– масса электрона;
– ускорение электрона.
Поскольку ускорение является производной скорости.
(3.2)
то выражение (3.1) примет следующий вид:
(3.3)
Из электродинамики известно, что на электроны в
электрическом поле с напряженностью действует сила [4]
(3.4)
Приравняем выражения (3.4) в (3.3) и выразим :
(3.5)
(3.6)
Необходимо отметить, что вследствие осевой симметрии поля
азимутальная составляющая его напряженности равна нулю .
Электроны движутся в одной из плоскостей цилиндрической
системы координат, в так называемой меридиональной плоскости.
16
Траектории движения таких электронов будут являться плоскими
кривыми.
Запишем (3.6) для радиальной составляющей напряженности
и аксиальной составляющей напряженности
. Так как скорость
является производной перемещения, то:
(3.7)
(3.8)
Поскольку ранее найдено распределение потенциала аксиальносимметричного электростатического поля:
∞
то имеем возможность выразить радиальную составляющую
напряженности через
Ф
:
(3.9)
∞
(3.10)
(3.11)
′′
(3.12)
17
Траектория движения параксиальных пучков электронов должна
удовлетворять следующему условию: расстояния нахождения
траекторий от оси симметрии поля очень малы. Поэтому на всей
протяженности траектории движения электронов будем считать, что
величина намного больше, чем
, и в таком случае можем
пренебрегать всеми величинами , степень которых больше единицы.
Значит, выражение (3.12) может быть представлено в
следующем виде:
′′
(3.13)
где Ф
– осевое распределение потенциала, т.е.
распределение потенциала вдоль оси симметрии поля.
Ф
′′
(3.14)
Тогда выражение (3.7) примет следующий вид:
Ф
′′
(3.15)
Из уравнения (3.15) следует вывод, что в полях с вращательной
симметрией сила, которая ускоряет электроны к оси, пропорциональна
их удалению от нее. Это решающая предпосылка для существования
угловой фокусировки.
Пусть электрон имеет нулевую начальную скорость и, находясь
в ускоряющем поле, переместился из данной точки с потенциалом 0 в
конечную точку с потенциалом . Запишем закон сохранения энергии.
Работа, затраченная электрическим полем на ускорение
электронов, равна произведению . Вся эта работа идет на придание
электрону кинетической энергии
[2].
Следовательно, можем написать закон сохранения энергии:
(3.16)
где – скорость ускоренного электрона в конечной точке;
– потенциальная энергия ускоренного электрона.
Как уже говорилось ранее, в параксиальной оптике
рассматриваются только движения в меридиональной плоскости.
Поэтому выразим кинетическую энергию через и .
18
По теореме Пифагора находим, что:
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
Подставляем выражение (3.20) в формулу кинетической энергии:
(3.21)
(3.22)
Получившееся выражение подставляем в закон сохранения
энергии (3.16):
(3.23)
Выразим производную по времени через
пространственные координаты из последнего дифференциального
уравнения. Преобразуем уравнение, вынося
в выражении
(3.23) за скобки:
(3.24)
(3.25)
19
В случае параксиальных пучков траектории являются пологими,
т.е. . Угол наклона движения электронов на всей
протяженности траектории к оси симметрии очень мал [7].
Следовательно, выражение (3.25) принимает следующий вид:
(3.26)
При малых
Φ
(3.27)
Производим замену в выражении (3.26) согласно выражению
(3.27) и получаем:
Φ
(3.28)
Выражаем в выражении (3.28):
Φ
(3.29)
Теперь выразим производную через пространственные
координаты с помощью уравнения (3.29).
Для произвольной функции , где и функции
и дифференцируемы, можем записать производную сложной
функции
:
(3.30)
Правую и левую части выражения (3.30) домножим на :
Φ
(3.31)
Преобразуем левую часть выражения (3.31) согласно выражению
(3.30).
20
Φ
(3.32)
Пусть , тогда из (3.32) получим:
Φ
(3.33)
Теперь есть все необходимое, чтобы получить выражение для
:
(3.34)
Подставим выражение (3.33) в выражение (3.34):
Φ
(3.35)
Снова воспользуемся математическим правилом
дифференцирования сложных функций (3.30):
Φ
Φ
(3.36)
Заменяем согласно выражению (3.29):
Φ
Φ
Φ
(3.37)
Упрощаем выражение (3.37), для этого вынесем из-под
дифференциала выражение
:
Φ
Φ
(3.38)
Φ
Φ
(3.39)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]