Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрология и технические измерения. Практикум.pdf
3. При определении силы инерции по зависимости F = ma измере-
ниями получены значения m = 100 кг и ускорение a = 2 м/с. Средние квадратические отклонения результатов измерений σ = 0,5 кг и σ = 0,01 м/с.
Случайная погрешность измерения силы ε c вероятностью P = 0,966 (t = 2,12)
равна:
Варианты ответов:
а) ε = 4 Н
б) ε = 3 Н
в) ε = 1 Н
г) ε = 0,01 Н
4. Сопротивление нагрузки определяется по закону Ома R = U/I.
Показания вольтметра U = 100 В, амперметра I = 2 А. Средние квадратические отклонения показаний: вольтметра σ = 0,5 В, амперметра σ = 0,05 А.
Доверительные границы истинного значения сопротивления с вероятностью P = 0,95 (t = 1,96) равны:
Варианты ответов:
а) 48,5 Ом ≤ R ≤ 51,5 Ом, P = 0,95
б) 47,5 Ом ≤ R ≤ 52,5 Ом, P = 0,95
в) 40,0 Ом ≤ R ≤ 60,0 Ом, t = 1,96
г) 48,9 Ом ≤ R ≤ 51,1 Ом, P = 0,95
2.4. Обработка результатов совместных измерений
Цель работы: получить навыки обработки результатов совместных
измерений и построения статической характеристики средства измерения.
Методические указания. Совместные измерения выполняются с це-
лью определить функциональную зависимость между некоторыми физическими величинами
Y = f (X
, ..., Xk).
1
При этом совместно (т.е. одновременно) измеряют значения аргументов
(X1i, ..., Xki) и соответствующие значения величины Y: Yi = f (X1i, ..., Xki);
по полученным экспериментальным данным строят искомую функциональную зависимость. Наиболее важным для практики является зависимость величины выходного сигнала Y от входного сигнала X
Y = f (X).
На практике наиболее распространены линейные зависимости, кото-
рые являются наиболее простыми и удобными.
При построении зависимости следует придерживаться следующего
порядка действий.
1. Определить функциональный вид зависимости. Вид зависимости
может быть приближенно известен либо из физических закономерностей,
описывающих данное явление, либо на основе предыдущего опыта и
51
предварительного анализа данных. Иногда он бывает задан заранее как
желательный или требуемый.
2. Выбрать метод построения зависимости по экспериментальным
данным. При этом следует учитывать выбранный вид зависимости.
3. Вычислить оценки параметров зависимости выбранного вида.
Задачи построения функциональных зависимостей по экспериментальным данным часто встречаются в различных прикладных областях; в
современной математике разработаны многочисленные методы решения
таких задач, прежде всего – статистические методы, основанные на вероятностных моделях для погрешностей измерений. Наиболее распространенным из них является классический метод наименьших квадратов (МНК).
В этом методе оценки параметров зависимости определяют из условия,
что сумма квадратов отклонений расчётных значений от экспериментальных значений yi минимально. Применительно к зависимости вида
k
()
XaY
ϕ=
это означает:
j
j
∑
j
=1
m
min
∑∑
i
==
1
Условие минимизации Q приводит к системе уравнений:
m
∂
Q
∂
a
l
⎡
⎢
∑∑
⎢
11
==
i
⎣
из которой получается линейная система относительно коэффициентов aj:
k
jj
∑
1
=
j
m
где
j
l
()() ()
j
j
⎡
⎢
⎢
⎣
l
m
∑∑
i
==
k
j
11
k
ϕ−=
j
1
() ()
ϕ−−=
==
,
l
.;
XygXXb
ϕ=ϕϕ=
i
lilili
⎤
()
XayQ
⎥
ijji
⎥
⎦
⎤
XXay
⎥
ijji
⎥
⎦
,...,,1
klgba
2
.
,
02
=ϕ
il
В результате решения этой системы и получают оценки МНК.
Пример решения задачи. Разработанный преобразователь имеет ста-
тическую характеристику вида
U = a·Х + b,
где Х – входной сигнал; U – выходной сигнал; а, b – некоторые постоянные коэффициенты.
Для определения значений коэффициентов a и b статической характеристики с данным преобразователем проведены эксперименты, в результате которых получены экспериментальные данные, представленные
в табл. 2.3.
52
2.3. Результаты совместных измерений входного и выходного сигнала
∂
∂
[
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
преобразователя
Xi 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90
Yi 0,739 0,810 0,850 0,909 0,959 1,020 1,071 1,129 1,185 1,235
Для определения коэффициентов функции статической характеристики преобразователя воспользуемся предложенным выше порядком
действий.
1. Статическая характеристика имеет вид U = a⋅Х + b, так как имен-
но такой вид статической характеристики является желательным.
2. В качестве метода построения статической характеристики выби-
раем метод наименьших квадратов.
3. Определим коэффициенты a и b.
Запишем функцию невязки
V = a⋅Xi + b – Yi.
Согласно методу наименьших квадратов необходимо выполнение
условия:
V 2 → min,
т.е.
Q = V 2 = [a·Xi + b – Yi] 2 → min.
Функция нескольких переменных принимает экстремальное значение, если все её частные производные равны нулю, т.е.
Получаем систему уравнений:
⎧
⎨
[]
⎩
Q
Q
=
a
∂
∂
.
0=
b
=⋅−+⋅⋅
]
YbXa
ii
,02
XYbXa
iii
=⋅−+⋅⋅
.012
Разделив обе части всех уравнений на 2, раскрыв скобки, просуммировав все значения X и Y из табл. 2.3 и перенеся свободные члены в правую часть уравнений, окончательно система уравнений запишется в виде:
10
⎧
2
⎪
∑∑∑
⎪
iii
===
1
⎨
10
⎪
∑∑∑
⎪
===
1
iii
⎩
10
1
10
10
⋅=⋅+⋅
XYbXaX
,
iiii
1
10
=⋅+⋅
1
1
.1
YbaX
ii
53
Подставив значения из табл. 2.3, получим:
⎧
⎨
⎩
Решив эту систему уравнений, найдём значения коэффициентов
a ≈ 1,0947, b ≈ 0,2518,
т.е. искомая статическая характеристика прибора имеет вид:
ba
=⋅+⋅
,913,675,67625,4
ba
.907,91075,6
=⋅+⋅
Y = 1,0947·X + 0,2518.
Задачи для самостоятельного решения
Определить функцию, которой выражается линейная градуировочная
характеристика вольтметра переменного тока по данным табл. 2.4. в соответствии с вариантом.
2.4. Результаты совместных измерений входного и выходного сигнала
№ ва-
рианта
Вид сигнала
вольтметра
Номер измерения
1 2 3 4 5
1. Входной сигнал X, В 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Выходной сигнал Y, В 0,19994 0,40002 0,60007 0,80006 1,0002
2. Входной сигнал X, В 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9
Выходной сигнал Y, В 0,09995 0,30002 0,50007 0,70006 0,90006
3. Входной сигнал X, В 0,15 0,35 0,55 0,75 0,95
Выходной сигнал Y, В 0,14991 0,35004 0,55007 0,75006 0,95003
4. Входной сигнал X, В 0,25 0,45 0,65 0,85 1,05
Выходной сигнал Y, В 0,24995 0,45002 0,65007 0,85004 1,05004
5. Входной сигнал X, В 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Выходной сигнал Y, В 1,19995 1,40003 1,60003 1,80004 1,99994
6. Входной сигнал X, В 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9
Выходной сигнал Y, В 1,09994 1,30004 1,50007 1,70006 1,90002
7. Входной сигнал X, В 1,15 1,35 1,55 1,75 1,95
Выходной сигнал Y, В 1,14993 1,35002 1,55003 1,75004 1,95006
8. Входной сигнал X, В 1,25 1,45 1,65 1,85 2,05
Выходной сигнал Y, В 1,24995 1,45006 1,65005 1,85007 2,05004
9. Входной сигнал X, В 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
Выходной сигнал Y, В 2,19993 2,40004 2,60006 2,80004 2,99998
10. Входной сигнал X, В 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9
Выходной сигнал Y, В 2,09999 2,30003 2,50007 2,70006 2,90002
54
2.5. Обработка результатов совокупных измерений
Цель работы: получить навыки обработки результатов совокупных
измерений.
Методические указания. Совокупные измерения – это проводимые
одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых
искомые значения величин определяют путём решения системы уравнений, получаемых при измерениях этих величин в различных сочетаниях.
Число уравнений должно быть не меньше числа измеряемых ве-
личин.
Совокупные измерения широко распространены в метрологической
практике, например, при калибровке наборов мер или шкал приборов.
При обработке результатов наблюдений традиционно используется метод
наименьших квадратов (МНК), однако в его применении возникают некоторые особенности.
Уравнения измерений при совокупных измерениях одноименных величин A1, ..., Ak имеют вид
k
miAcY
...,,1,
==
j
jii
∑
1
=
где коэффициенты c
j
принимают значения 0, 1, – 1; c
i j
ется сумма величин, в которую входит Aj; c
величин сравнивается с Aj; c
= 0, если величина Aj не участвует в
i j
, (8)
= 1, если измеря-
i j
= – 1, если сумма нескольких
i j
i-м измерении. По результатам yi измерений или сличений различных со-
четаний величин Aj находят значения этих величин. Обычно число измерений (сличений) m больше, чем число величин k, поэтому система
условных уравнений (3.1) является избыточной. Для её решения обычно
используется МНК.
Пример решения задачи. Выполняется калибровка углов четырёхгранной призмы. При определении отклонений xi углов призмы от 90° и
их сумм получены следующие значения:
x1 = 5′35″; x2 = 3′22″; x3 = –2′47″; x4 = –6′26″;
x1 + x2 = 8′50″; x2 + x3 = 31″; x3 + x4 = –8′53″; x4 + x1 = –37″.
Из условия, что сумма углов равна 360°, получаем уравнение связи
для отклонений
x1 + x2 + x3 + x4 = 0.
Выразим x4 через остальные переменные и подставим в исходные
уравнения:
x1 = 5′35″; x2 = 3′22″; x3 = –2′47″; x1 + x2 + x3 = 6′26″;
x1 + x2 = 8′50″; x2 + x3 = 31″; x1 + x2 = 8′53″; x2 + x3 = 37″. (9)
55
Исходя из (8) условные уравнения, описывающие наблюдения, будут
∂
∂
∂
иметь вид
yi = ci1·x1 + ci2·x2 + ci3·x3.
Получим значения коэффициентов cij и соответствующие им значе-
ния результатов наблюдений yi, используя уравнения (9).
Комбинации значений c11 = 1, c12 = 0, c13 = 0 соответствует значение
результата наблюдений
y1 = 1·x1 + 0·x2 + 0·x3 = x1 = 5′35″.
Аналогично для каждого из уравнений (9) определим значения коэффициентов ci1, ci2, ci3, соответствующие значения результатов наблюдений yi и полученную информацию представим в виде табл. 2.5.
Для определения уточнённых значений x1, x2, x3 по данным табл. 2.5
воспользуемся методом наименьших квадратов.
Запишем функцию невязки:
V = ci1·x1 + ci2·x2 + ci3·x3 – yi .
Согласно методу наименьших квадратов необходимо выполнение
условия:
V 2 → min,
т.е.
Q = V 2 = [ ci1 ·x1 + ci2·x2 + ci3·x3 – yi]2 → min.
Функция нескольких переменных принимает экстремальное значение, если все её частные производные равны нулю, т.е.
Q
∂
x
Q
Q
=
=
∂
∂
x
.
0
=
x
321
Коэффи-
циенты
2.5. Значения коэффициентов cij в уравнениях (9)
Значение коэффициентов условных уравнений и
результаты наблюдений yi
1 2 3 4 5 6 7 8
сi1 1 0 0 1 1 1 0 0
сi2 0 1 0 1 1 1 1 1
сi3 0 0 1 1 0 0 1 1
yi
56
5′35″ 3′22″ –2′47″ 6′26″ 8′50″ 8′53″ 31″ 37″
Дифференцируя квадрат функции невязки последовательно по каж-
(
α1α4α
3
α
дому аргументу получим систему уравнений:
⎧
⎪
()
⎨
⎪
()
⎩
)
=⋅−⋅+⋅+⋅⋅
,02
cyxcxcxc
1332211
iiiii
(10)
=⋅−⋅+⋅+⋅⋅
,02
cyxcxcxc
2332211
iiiii
=⋅−⋅+⋅+⋅⋅
.02
cyxcxcxc
3332211
iiiii
Разделив обе части всех уравнений на 2, раскрыв скобки, просуммировав по всем данным табл. 2.5 и перенеся свободные члены в правую
часть уравнений, окончательно систему уравнений (10) запишем в виде:
8
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
2
1
∑∑ ∑ ∑
== = =
1
ii i i
8
∑∑∑ ∑
1
=== =
iii i
8
∑∑ ∑∑
1
== ==
ii ii
8
1
8
1
8
1
8
1
2
2121
8
1
8
3232131
1
8
⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅
ycxccxccxc
13132121
iiiiiii
1
8
⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅
ycxccxcxcc
23232
iiiiiii
1
2
8
⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅
ycxcxccxcc
33
iiiiiii
1
Подставив числовые значения коэффициентов cij и результатов наблюдений yi из табл. 2.5, получим
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Решая систему уравнений получим
x1 = 5′37,7″; x2 = 3′18,3″; x3 = –2′41,7″.
Следовательно,
xxx
=⋅+⋅+⋅
321
xxx
=⋅+⋅+⋅
321
xxx
321
′′′
,4492134
′′′
,8382363
′′′
=⋅+⋅+⋅
.644431
x4 = –(x1 + x2 + x3) = –6′14,3″.
Окружность разбита четырьмя произвольно проведёнными радиусами на секторы (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Пояснения к задаче для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
2
57
№ вари-
анта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
α1 α2 α3 α4 α1 + α2 α2 + α3 α3 + α4 α4 + α1
105°34′ 88°21′ 86°18′ 79°35′ 193°50′ 174°35′ 165°50′ 185°13′
104°31′ 89°25′ 85°15′ 80°38′ 193°54′ 174°39′ 165°56′ 184°50′
102°25′ 91°36′ 83°25′ 82°31′ 193°58′ 175°05′ 165°52′ 184°49′
108°29′ 85°34′ 89°38′ 76°24′ 193°55′ 175°08′ 165°59′ 184°55′
112°58′ 84°45′ 96°28′ 65°45′ 197°38 181°19′ 162°08′ 178°38′
109°37′ 87°43′ 85°56′ 76°47′ 197°24′ 173°33′ 162°38′ 186°29′
111°12′ 89°14′ 98°57′ 60°39′ 200°29′ 188°15′ 159°33′ 171°57′
115°38′ 89°49′ 98°57′ 55°55′ 205°29′ 188°11′ 154°14′ 171°32′
114°54′ 86°14′ 89°26′ 69°28′ 201°13′ 175°45′ 158°58′ 184°24′
115°14′ 86°19′ 97°48′ 60°38′ 201°35′ 184°10′ 158°31′ 175°46′
2.6. Исходные данные
При измерении центральных углов α1, α2, α3, α4 секторов и сумм
центральных углов соседних секторов были получены значения, приведённые в табл. 2.6. В соответствии с номером варианта, определить уточненные величины α1 , α2 , α3 , α4.
Тема 3. МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИБОРОВ И
СРЕДСТВ КОНТРОЛЯ
3.1. Классы точности средств измерений
Цель работы: приобретение навыков расчёта погрешностей измерения
в зависимости от установленного класса точности средства измерения.
Нормативная база.
• ГОСТ 8.401–80. Государственная система обеспечения единства
измерений (ГСИ). Классы точности средств измерений. Общие требования.
Используемые термины и определения в Приложении.
Методические указания. Класс точности средств измерения –
обобщённая характеристика данного типа средств измерений, как правило, отражающая их уровень точности и выражаемая точностными характеристиками средств измерений [3].
Класс точности средств измерений характеризует их свойства в отношении точности, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполненных с помощью этих средств. Классы точности
устанавливаются стандартами, содержащими технические требования к
средствам измерений, подразделяемых по точности.
58
Средства измерений должны удовлетворять требованиям к метроло-
x
γ
[
±
≤
[
±≤δ
гическим характеристикам, установленным для присвоенного им класса
точности как при выпуске их из производства, так и в процессе эксплуатации.
1. Для мер, пределы допускаемой основной погрешности которых
принято выражать в форме абсолютных погрешностей или относительных
погрешностей, причем последние установлены в виде графика, таблицы,
классы точности следует обозначать в документации прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами [10]. Например, набор
разновесов I класса точности.
2. Задание класса точности для приборов с преобладанием аддитивной погрешности. В этом случае класс точности приборов задаётся в виде
числа «К», которое размещается на шкале прибора или в документе.
В этом случае нормируется приведённая погрешность прибора
, выра-
женная в процентах, которая во всех точках шкалы не должна превышать
числа «К», выражающего класс точности прибора
Число «К» выбирается из ряда значений
К = (1,0; 1,5; 2,5; 4,0; 5,0; 6,0) ⋅ 10n,
]
x .
К%γ
где n = 0; –1; –2; –3.
3. Способ задания класса точности для приборов с преобладающими
мультипликативными погрешностями (например, масштабирующие преобразователи – делители напряжения, усилители). В этом случае класс
точности задаётся в виде числа «К» в кружочке:
Нормируется относительная погрешность измерения
]
Х .
К%
K
4. Способ задания класса точности у приборов с соизмеримыми ад-
дитивными и мультипликативными погрешностями (например, цифровые
вольтметр, амперметр). Класс точности задаётся двумя цифрами, разделёнными косой чертой a/b.
В этом случае нормируются относительные погрешности измерений,
которые вычисляются по формуле
[]
⎡
⎛
Х
⎜
bаΧ
⎢
⎜
⎢
⎝
⎣
⎤
⎞
k
⎟
−⋅+±≤δ
1%
,
⎥
⎟
Χ
⎥
⎠
⎦
где а – аддитивная составляющая погрешности; b – мультипликативная
составляющая погрешности; Xк – максимальное конечное значение предела измерений.
59
5. Способ задания класса точности для приборов с резко неравномерной шкалой. Класс точности часто задаётся числом «К», подчёркнутым галочкой. В этом случае приведённая погрешность нормируется в
процентах от длины шкалы.
Пределы всех основных и дополнительных допускаемых погрешностей выражаются не более, чем двумя значащими цифрами, причем погрешность округления при вычислении пределов не должна превышать 5%.
Пример решения задачи.
Задача 1. Амперметром класса точности 2,0 со шкалой (0…50) А измерены значения тока 0, 5, 10, 20, 25, 30, 40, 50 А. Рассчитать зависимости
абсолютной, относительной и приведённой основных погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.
Решение. Для записи результатов формируем таблицу (см. табл. 3.1),
в столбцы которой будем записывать измеренные значения I, абсолютные ΔI, относительные δI и приведённые γI погрешности.
В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения тока: 0, 5, 10, 20, 25, 30, 40, 50 А.
Класс точности амперметра задан числом без кружка, следовательно,
приведённая погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы не должна превышать по модулю класса точности, т.е. | γI | ≤ 2%.
При решении задачи рассмотрим худший случай | γI | = 2%, когда
приведённая погрешность принимает максимальное по абсолютной величине значение, что соответствует γI = +2% и γI = –2%.
Данные значения приведённой погрешности заносим в четвёртый
столбец табл. 3.1.
3.1. Результаты расчёта значений погрешностей
I, A
1 2 3 4
0
5
10
20
25
30
40
50
ΔI, A δI, % γI, %
±1
±∞
±2
±1 ±20 ±2
±1 ±10 ±2
±1 ±5 ±2
±1 ±4 ±2
±1 ±3,33 ±2
±1 ±2,5 ±2
±1 ±2 ±2
60