Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрология и технические измерения. Практикум.pdf
2.1. Значения квантиля t
n – 1 P = 0,95 P = 0,99 n – 1 P = 0,95 P = 0,99
распределения Стьюдента
n,P
3 3,182 5,841 16 2,120 2,921
4 2,776 4,604 18 2,101 2,878
5 2,571 4,032 20 2,086 2,845
6 2,447 3,707 22 2,074 2,819
7 2,365 3,499 24 2,064 2,797
8 2,306 3,355 26 2,056 2,779
10 2,228 3,165 28 2,048 2,763
12 2,179 3,055 30 2,043 2,750
14 2,145 2,977
∞
1,960 2,576
7. Результат измерения величины Х представляют в виде довери-
тельного интервала в форме неравенства (7) с указанием доверительной
вероятности Р.
Пример решения задачи. При многократном изменении температуры Т
в производственном помещении получены следующие значения в градусах Цельсия: 20,4; 20,2; 20,0; 20,5; 19,7; 20,3; 20,4; 20,1. Укажите доверительные границы истинного значения температуры в помещении с вероятностью Р = 0,95.
Решение. По формуле (5) находится среднее значение Т
=Т
По формуле (6) вычисляется среднее квадратическое отклонение
среднего арифметического S
()()()()
S
=
По таблице 1.11 находим значение t
сти Р = 0,95 и n – 1 = 7.
Доверительные границы действительного значения температуры в
помещении с вероятностью Р = 0,95 рассчитываются по формуле (7).
8
S = 0,09.
t
= 2,365.
n, P
1,204,203,207,195,200,202,204,20
+++++++
L
()
188
−⋅
при доверительной вероятно-
n, P
365,209,02,20365,209,02,20 ⋅+<<⋅− T .
.С2,20
°=
2222
1,202,204,202,202,202,204,202,20
−+−++−+−
.
41
Окончательно результат измерения температуры Т в производствен-
±
=
ном помещении
4,2020 << T ; Р = 0,95
или
95,0,С2,02,20 =°
РТ .
1. При многократном измерении силы F получены значения в ньютонах: 403; 408; 410; 405; 406; 398; 496; 404. Укажите доверительные границы истинного значения силы с вероятностью Р = 0,95.
2. При многократном измерении силы электрического тока получены значения в амперах: 0,8; 0,85; 0,8; 0,79; 0,82; 0,78; 0,79; 0,8; 0,84.
Укажите доверительные границы истинного значения силы тока с вероятностью Р = 0,99.
3. При многократном измерении длины балки L получены значения
в миллиметрах: 90,3; 90; 89,8; 89,9; 90,4; 90; 90,3; 89,1; 90,5; 90,4; 90.
Укажите доверительные границы истинного значения длины с вероятностью Р = 0,95.
4. При многократном измерении температуры Т объекта получены
значения в градусах Цельсия: 40,4; 41,0; 40,2; 40,0; 43,5; 42,7; 40,3; 40,4;
40,8 °С. Укажите доверительные границы истинного значения температуры с вероятностью Р = 0,99.
5. При многократном измерении напряжения U электрического тока получены значения в вольтах: 263; 268; 273; 265; 267; 261; 266; 264;
267 В. Укажите доверительные границы истинного значения напряжения
с вероятностью Р = 0,95.
6. При многократном измерении силы F получены значения в Н:
403; 408; 405; 399; 410; 405; 406; 398; 406. Укажите доверительные грани-
цы истинного значения силы с вероятностью Р = 0,99.
7. При многократном измерении силы I электрического тока полу-
чены значения в мА: 22,4; 22,1; 22,3; 22,2; 21,5; 21,7; 22,3; 21,4; 22,1.
Укажите доверительные границы истинного значения силы тока с вероятностью Р = 0,95.
8. При многократном измерении уровня жидкости L в технологическом резервуаре получены значения в м: 64; 64,25; 64,3; 64,4; 65; 64,5;
64,9; 63,7; 64,8. Укажите доверительные границы истинного значения
уровня с вероятностью Р = 0,99.
9. При многократном измерении объёма V тела получены следующие значения: 0,3; 0,35; 0,3; 0,29; 0,32; 0,28; 0,29; 0,3; 0,34 м3. Укажите
доверительные границы истинного значения объёма с вероятностью
Р = 0,95.
Задачи для самостоятельного решения
42
10. При многократном измерении сопротивления R в электрической
цепи получены следующие значения: 703; 708; 705; 699; 710; 705; 707;
698; 703 Ом. Укажите доверительные границы истинного значения сопротивления с вероятностью Р = 0,99.
11. При многократном измерении силы F получены значения в Н:
98,3; 98; 99,8; 99,9; 98,4; 98; 98,3; 99,1; 98,5; 98,4; 98. Укажите довери-
тельные границы истинного значения силы с вероятностью Р = 0,95.
12. При многократном измерении силы I электрического тока получе-
ны значения в А: 0,1; 0,15; 0,1; 0,09; 0,12; 0,08; 0,09; 0,1; 0,14. Укажите доверительные границы истинного значения силы тока с вероятностью Р = 0,99.
13. При многократном измерении длины балки L получены значения
в мм: 80,3; 80; 79,8; 79,5; 80,2; 80; 80,3; 79,9; 80,3; 80,4; 90. Укажите доверительные границы истинного значения длины с вероятностью Р = 0,95.
14. При многократном измерении температуры T объекта получены
значения в °С: 50,3; 50,1; 50,2; 50,0; 50,6; 49,7; 50,3; 50,4; 50,1 °С. Укажите
доверительные границы истинного значения температуры с вероятностью
Р = 0,99.
15. При многократном измерении напряжения U электрического то-
ка получены значения в В: 113; 118; 113; 115; 117; 111; 116; 114; 117; 115;
112 В. Укажите доверительные границы истинного значения напряжения
с вероятностью Р = 0,95.
16. При многократном измерении объёма резервуара V получены
значения: 83,4; 83,0; 83,2; 83,2; 82,5; 82,7; 83,3; 82,4; 83,1 л. Укажите доверительные границы истинного значения объёма с вероятностью Р = 0,99.
17. При многократном измерении силы I электрического тока получены значения в мА: 22,4; 22,1; 22,3; 22,2; 21,5; 21,7; 22,3; 21,4; 22,1.
Укажите доверительные границы истинного значения силы тока с вероятностью Р = 0,95.
18. При многократном измерении высоты h опорного стержня получены значения: 90,3; 90; 89,8; 89,9; 90,4; 90; 90,3; 89,1; 90,5; 90,4; 90 мм.
Укажите доверительные границы истинного значения высоты стержня с
вероятностью Р = 0,99.
19. При многократном измерении объёма V тела получены следующие
значения: 0,7; 0,74; 0,7; 0,69; 0,72; 0,68; 0,68; 0,7; 0,71 м3. Укажите доверительные границы истинного значения объёма с вероятностью Р = 0,95.
20. При многократном измерении сопротивления R в электрической
цепи получены следующие значения: 1503; 1508; 1505; 1499; 1510; 1505;
1507; 1498; 1503 Ом. Укажите доверительные границы истинного значения сопротивления с вероятностью Р = 0,99.
21. При многократном измерении атмосферного давления Pa получены значения в мм рт ст: 764; 764; 766; 765; 763; 765; 763; 765. Укажите
доверительные границы истинного значения атмосферного давления с
вероятностью Р = 0,95.
43
22. При многократном измерении относительной влажности w в
=
производственном помещении получены значения в %: 48; 45; 45; 46; 47;
47; 45; 48; 46. Укажите доверительные границы истинного значения отно-
сительной влажности с вероятностью Р = 0,99.
23. При многократном измерении диаметра детали d получены следующие значения в мкм: 9990,3; 9990; 9989,8; 9989,9; 9990,4; 9990;
9990,3; 9989,1; 9990,5; 9990.4; 9990. Укажите доверительные границы истинного значения диаметра с вероятностью Р = 0,95.
24. При многократном измерении концентрации C кислорода в газо-
вой смеси получены следующие значения в %: 10,4; 11,2; 10,2; 10,1; 13,5;
12,1; 10,3; 10,4; 10,8. Укажите доверительные границы истинного значе-
ния концентрации кислорода с вероятностью Р = 0,99.
25. При многократном измерении освещенности Е рабочего места
студента получены следующие значения: 258; 259; 263; 258; 259; 257; 256;
254; 257 лк. Укажите доверительные границы истинного значения осве-
щенности с вероятностью Р = 0,95.
2.3. Обработка результатов косвенных измерений
Цель работы: получить навыки обработки результатов косвенных
измерений и нахождения погрешности результата измерений.
Нормативная база.
• МИ 2083–90 ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей.
Используемые термины и определения в Приложении.
Методические указания. При проведении косвенных измерений ис-
комое значение физической величины Y находят на основании результатов измерений аргументов …dcba ,,, и т.д., связанных с Y уравнением
Функция f должна быть известна из теоретических предпосылок (из-
вестных закономерностей) или установлена экспериментально.
Пример. Определение плотности D тела цилиндрической формы по
результатам прямых измерений массы m, высоты h и диаметра цилиндра d, связанных с плотностью уравнением
D
Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей могут
быть получены из прямых, косвенных, совокупных, совместных измерений. Сведения об аргументах могут быть взяты из справочной литературы, технической документации.
44
),,,( …dcbafY
=
m
25,0
.
.
2
hd
⋅⋅π⋅
При оценивании доверительных границ погрешностей результата кос-
−+=
ΔΔΔ
(
−+=−+
=
Δ≈Δ≈Δ≈Δ
≈
Δ−Δ+Δ=Δ
Δ
Δ
Δ+Δ=Δ
венного измерения обычно принимают вероятность, равную 0,95 или 0,99.
Использование других вероятностей должно быть обосновано.
Для вычисления погрешностей косвенных измерений по известным
погрешностям прямых измерений существуют следующие методики.
Получение формул для вычисления погрешностей косвенных изме-
рений в случае зависимости вида
Исходные данные: cbacba
,,,,, .
(сумма, разность)
cbaY
Вывод формул для вычисления погрешностей косвенных измерений
в рассматриваемом случае можно выполнить следующим образом.
1. Найдём дифференциал правой и левой части
)
dcdbdacbaddY
.
2. Произведём широко используемую в теории погрешностей заме-
ну дифференциалов абсолютными погрешностями (при условии, что абсолютные погрешности достаточно малы)
,,, .
cdcbdbaaYdY
Тогда
cbaY
3. Учитывая, что знаки погрешностей
.
Δ ,,
обычно бывают
cba
заранее неизвестны, для получения гарантированной (предельной) оценки
абсолютной погрешности косвенного измерения в последней формуле все
знаки «–» заменим на знаки «+»
пр
.
cbaY Δ+Δ+Δ=Δ
4. Найдём предельную оценку относительной погрешности косвенного измерения, учитывая, что относительная погрешность есть отношение абсолютной погрешности к результату измерений:
=δ
Y
пр
Y
Y
cba
Δ+
.
cba
−+
Величина предельной погрешности во многих случаях бывает завышенной, поэтому часто применяют среднеквадратические оценки погрешности. Для получения среднеквадратической оценки погрешности в
формуле для предельной оценки погрешности сумму заменяют корнем
квадратным из суммы квадратов.
5. Найдём среднеквадратические оценки абсолютной и относитель-
ной погрешностей косвенного измерения:
() () ()
ск
222
cbaY Δ+Δ+Δ=Δ ;
Y
Δ
Y
=δ
ск
Y
() () ()
ск
=
−+
222
cba
Δ+Δ+Δ
cba
.
45
Получение формул для вычисления погрешностей косвенных изме-
ΔΔΔ
x
Δ
≈Δ≈Δ≈Δ
≈
ΔΔΔ
δ=Δ
рений в случае зависимости вида
Исходные данные: cbacba
baY⋅
(произведение, деление).
=
c
,,,,, .
Вывод формул для вычисления погрешностей косвенных измерений
в рассматриваемом случае можно выполнить следующим образом.
1. Прологарифмируем левую и правую части заданной зависимости:
⎛
Y lnlnlnlnln −+=
= .
⎜
⎝
2. Найдём дифференциал правой и левой частей:
⎛
dYd lnlnlnlnln −+=
=
⎜
⎝
ba
⋅
⎞
⎟
c
⎠
ba
⋅
⎞
⎟
c
⎠
cba
cdbdad
.
3. Учитывая, что дифференциал от логарифма переменной величи-
ны находится по формуле:
()
xd =⋅=
ln
da
dY
a
Y
ln
dx
xd
db
b
dx
dc
.
c
, получаем:
dx
−+=
4. Произведём широко используемую в теории погрешностей замену дифференциалов малыми абсолютными погрешностями (при условии,
что абсолютные погрешности достаточно малы):
,,, .
cdcbdbadaYdY
Тогда
Y Δ
Δ
=
Y
5. Учитывая, что знаки погрешностей
Δ
Δ
a
−
+
b
.
c
заранее неизвест-
cba
,,
c
b
a
ны, для получения гарантированной (предельной) оценки относительной
погрешности косвенного измерения в последней формуле все знаки «–»
заменяем на знаки «+»:
Y Δ
Δ
⎞
⎛
⎟
⎜
Y
⎠
⎝
пр
a
Δ
Δ
+
=
a
c
b
+
,
c
b
пр
.
cbaY δ+δ+δ=δ
6. Предельную оценку абсолютной погрешности косвенного измерения находим по формуле
YYY ⋅
.
прпр
Величина предельной погрешности во многих случаях бывает завы-
шенной, поэтому часто применяют среднеквадратические оценки погреш-
46
ности. Для получения среднеквадратической оценки погрешности в фор-
−⋅=
Δ≈Δ
≈
Δ
Δ
муле для предельной оценки погрешности сумму заменяют корнем квадратным из суммы квадратов.
7. Найдём среднеквадратические оценки относительной и абсолют-
ной погрешностей косвенного измерения:
a
Δ
⎞
⎛
Y δ+δ+δ=
=δ
cк
Y ⋅δ+δ+δ=⋅
=Δ
cк
⎟
⎜
a
⎠
⎝
a
Δ
⎞
⎛
+
⎟
⎜
a
⎠
⎝
b
Δ
⎛
+
⎜
b
⎝
b
Δ
⎞
⎛
⎟
⎜
b
⎠
⎝
222
c
Δ
⎞
⎛
⎞
+
⎜
⎟
c
⎝
⎠
222
c
Δ
⎞
⎛
+
⎟
⎜
c
⎠
⎝
() () ()
⎟
⎠
() () ()
222
.
cba
222
YcbaY
.
Пример решения задачи.
Задача 1. Расчётная зависимость косвенного метода измерений име-
2
ет вид
U
P
. Найти предельные и среднеквадратические оценки абсо-
=
R
лютной и относительной погрешности косвенного измерения величины Р.
Решение.
1. Прологарифмируем левую и правую части заданной зависимости
2. Найдём дифференциал правой и левой частей
2
RURUP lnln2lnlnln
−⋅=−=
.
RdUdPd lnln2ln
.
3. Учитывая, что дифференциал от логарифма переменной величи-
ны находится по формуле
xd =⋅=
ln
dx
dU
2
U
()
ln
dP
P
xd
dx
dx
dR
−=
R
, получаем
x
.
4. Произведём широко используемую в теории погрешностей заме-
ну дифференциалов малыми абсолютными погрешностями (при условии,
что абсолютные погрешности достаточно малы), т.е. ,, UdUPdP
,, UdUPdP Δ≈Δ≈
R
P Δ
Δ
P
5. Учитывая, что знаки погрешностей
U
Δ
⋅=
2
U
.
−
R
Δ ,,
RUP
заранее неиз-
вестны, для получения гарантированной (предельной) оценки относительной погрешности косвенного измерения Р в последней формуле все
47
знаки «–» заменяем на знаки «+». Таким образом, получили предельную
⋅δ=
Δ
−++
=
−++
=
=
+
=
оценку относительной погрешности косвенного измерения
P
Δ
⎞
⎛
⎟
⎜
P
⎠
⎝
пр
R
U
Δ
Δ
+
⋅=
U
22
R
.
RU
δ+δ⋅=
6. Предельную оценку абсолютной погрешности косвенного измерения находим по формуле
Р
⎛
2 ⋅
⎜
пр
⎝
⋅=Δ .
РРР
, т.е.
прпр
Δ
Δ
U
+
U
2
U
R
⎞
⎟
R
R
⎠
Величина предельной погрешности во многих случаях бывает завышенной, поэтому применяют среднеквадратические оценки погрешности.
Для получения среднеквадратической оценки погрешности в формуле для
предельной оценки погрешности сумму заменяют корнем квадратным из
суммы квадратов.
7. Найдём среднеквадратические оценки относительной и абсолют-
ной погрешностей косвенного измерения Р:
Δ
U
⎛
() ()()
P δ+δ⋅=
ск
()
P
⎞
⋅=δ
⎜
⎟
U
⎝
⎠
4 ⋅
ск
22
Δ
R
⎛
⎞
+
⎜
R
⎝
Δ
U
⎛
⎞
⋅=Δ
⎜
⎟
U
⎝
⎠
44 RU
⎟
⎠
22
Δ
R
⎛
+
⎜
R
⎝
2
U
⎞
⎟
R
⎠
22
,
.
Задача 2. Расчётная зависимость косвенного метода измерений имеет
cbaY⋅+⋅
вид
=
)(3
. Найти предельные и среднеквадратические оценки аб-
f
солютной и относительной погрешности косвенного измерения величины Y.
Решение.
1. Введём обозначение A = a + b. Тогда
2. Прологарифмируем левую и правую части заданной зависимости
3. Найдём дифференциал правой и левой частей
С учётом того, что 03ln
d , получим
cAY⋅⋅=3
.
f
fcAY lnlnln3lnln
.
fdcdAddYd lnlnln3lnln
.
fdcdAdYd lnlnlnln −
.
48
4. Учитывая, что дифференциал от логарифма переменной величи-
Δ≈Δ
≈
Δ+Δ=Δ
ΔΔΔ
Δ+Δ=Δ
⋅δ=
Δ
(
ны находится по формуле
()
dY
Y
dA
A
dx
ln
xd =⋅=
ln
xd
dc
c
dx
dx
−+=
x
df
.
f
5. Произведём широко используемую в теории погрешностей замену дифференциалов малыми абсолютными погрешностями (при условии,
что абсолютные погрешности достаточно малы), т.е. ,, AdAYdY
fdfcdc Δ≈Δ≈ ,
Y Δ
A
Y
6. Учитывая, что знаки погрешностей
−
.
f
c
fcA
,,
заранее неиз-
f
c
A
вестны, для получения гарантированной (предельной) оценки относительной погрешности косвенного измерения Y в последней формуле все
знаки «–» заменяем на знаки «+». Таким образом, получили предельную
оценку относительной погрешности косвенного измерения
Y Δ
Δ
⎞
⎛
⎟
⎜
Y
⎠
⎝
Здесь A = a + b, тогда baA
Y Δ
Δ
⎞
⎛
⎟
⎜
Y
⎠
⎝
пр
A
Δ
+
=
A
пр
. Окончательно
ba
=
Δ+Δ
ba
+
Δ
c
Δ
+
.
+
f
f
c
+
.
f
c
f
c
7. Предельную оценку абсолютной погрешности косвенного измерения находим по формуле
⎛
⎜
Y
=Δ
пр
⎜
⎝
ba
Δ
Δ+Δ
+
ba
+
, т.е.
YYY
прпр
⎞
f
c
Δ
3
⎟
+
c
⋅
⎟
f
⎠
)
cba
⋅+⋅
.
f
8. Найдём среднеквадратические оценки относительной и абсолютной
погрешностей косвенного измерения Y с учётом того, что
()
=δ
Y
⎛
()
⎜
Y
=Δ
ск
⎜
⎜
⎝
ск
()
ba
Δ+Δ
2
()
ba
+
22
Δ+Δ
ba
+
2
+
ba
22
c
Δ
⎛
+
⎜
c
⎝
2
⎛
Δ
⎛
⎜
c
⎝
2
⎛
⎞
⎜
+
⎟
⎜
⎠
⎝
Δ
c
⎞
⎜
+
⎟
⎜
f
⎠
⎝
2
⎞
⎞
⎟
f
Δ
⎟
⋅
⎟
⎟
f
⎟
⎠
⎠
ск
2
⎞
f
⎟
,
⎟
⎠
()
3
⋅+⋅
f
cba
.
22
baA Δ+Δ=Δ :
49
1. По известной расчётной зависимости косвенного метода измерения и по известным результатам и погрешностям прямых измерений, в
соответствии с полученным вариантом, рассчитать предельные и среднеквадратические оценки абсолютной и относительной погрешности косвенного измерения. Исходные данные приведены в табл. 2.2.
Задачи для самостоятельного решения
№ вари-
анта
10
11
12
13
14
15
Расчётная зависимость
1
y = 2⋅(a + b)⋅c
2
3
4
5
6
7
8
9
3
y = a
(b + c)/[2⋅(d – e)]
y = (b – a)⋅(c + d)/[3e
y = 3⋅(a + b)/[c2⋅(d – e)]
2
y = a
/[3⋅(b – c)⋅(d + e)]
y = 2⋅(a + b – c)/[d3⋅e]
2
y = a⋅b
/[2⋅(c – d + e)]
y = 2⋅(a – b)/[c⋅d2⋅e
y = 0.5/[(a + b)⋅(c – d)⋅e
y = a⋅(b + c – d)/[3⋅e
y = 3⋅a⋅b
y = a3⋅b/[3⋅(c – d)⋅e]
y = 2⋅a⋅b
y = 3⋅(ab)⋅c
y = 1/[a⋅(b – c)⋅d2⋅e]
2.2. Исходные данные
2
/(d – e)
2
]
3
]
2
3
]
2
/(c – d + e)
3
/[(c + d – e)]
2
/[2⋅(d + e)]
Погрешности и результаты
прямых измерений
a b c d e
Δa = 1
a = 50
Δa = 3
a = 100
Δb = 3
b = 90
Δb = 1
b = 70
Δc = 2
c = 60
Δc = 2
c = 80
]
Δa = 1
a = 100
Δb = 2
b = 80
Δc = 1
c = 60
Δd = 2
d = 70
Δd = 1
d = 60
Δd = 2
d = 40
Δe = 1
e = 40
Δe = 2
e = 90
Δe = 1
e = 20
2. При испытании материала на растяжение измерением получены
значения силы F = 903 ± 12 H и площади поперечного сечения стержня
S = (314 ± 4)⋅10 м
2
. Укажите предельные границы для истинного значения
напряжения, если предел прочности определяется по формуле σ = 4F/S.
Значение погрешности округляется до одной значащей цифры.
Варианты ответов:
а) σ = (11,5 ± 0,3)⋅10 Н/м²
б) σ = (11,8 ± 3,0)⋅10 Н/м²
в) σ = (11,5 ± 3,0)⋅10 Н/м²
г) σ = (11,2 ± 0,3)⋅10 Н/м²
50