Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрология и технические измерения. Практикум.pdf
22. Манометром со шкалой (0...0,25) МПа измерены значения избыточного давления 0; 0,02; 0,06; 0,08; 0,1; 0,15; 0,2; 0,25 МПа. Определить
значения абсолютной и относительной погрешностей, если приведённая
погрешность манометра равна 1,5%. Результаты представить в виде таблицы и графиков.
23. Расходомером со шкалой (0…100) м3/ч, имеющим относительную погрешность δQ = 2,5%, измерены значения расхода 0, 20, 30, 40, 60,
70, 80, 90, 100 м3/ч. Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и
приведённой погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.
24. Уровнемером со шкалой (5…50) м, имеющим абсолютную погрешность ΔH = 0,5 м, измерены значения уровня: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 40,
50 м. Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведённой
погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде
таблицы и графиков.
25. Термометром со шкалой (–50…0) °С, имеющим относительную
погрешность δТ = 1,5%, измерены значения температуры –50, –45, –40, –30,
–20, –10, 0 °С. Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и при-
ведённой погрешностей от результата измерений. Результаты представить
в виде таблицы и графиков.
1.3. Обнаружение грубых погрешностей измерений
Цель работы: получить навыки применения критерия Романовского
для обнаружения и устранения грубых погрешностей в ряду измеренных
значений.
Нормативная база:
• ГОСТ Р 8.736–2011. Государственная система обеспечения един-
ства измерений (ГСИ). Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения.
Используемые термины и определения в Приложении.
Методические указания. Грубой погрешностью измерения называ-
ется погрешность измерения, существенно превышающая зависящие от
объективных условий измерений значения систематической и случайной
погрешностей [6]. Обычно грубая погрешность является следствием значительного внезапного изменения условий эксперимента: скачка тока источника электропитания; не учтенное экспериментатором изменение температуры окружающей среды (при длительном эксперименте); неправильный отсчёт показаний из-за отвлечения внимания экспериментатора
и др. Наличие грубых погрешностей в выборке результатов измерений
могут сильно исказить среднее значение выборки и как следствие доверительный интервал. Поэтому выявление и исключение результатов, содержащих промах обязательно.
21
Обычно результат измерения, содержащий грубую погрешность, сразу виден в ряду измеренных значений, но в каждом конкретном случае это
необходимо доказать. Существует довольно много статистических методов для выявления грубых погрешностей: критерий «трёх сигм», критерий
Романовского, вариационный критерий Диксона, критерий Шовене, критерий Н. В. Смирнова (Граббса) и другие. Большинство из них предполагают, что распределение группы результатов измерений подчиняется
нормальному закону.
В нормативных изданиях [6] предлагается для нахождения грубой
погрешности ряда измеренных значений, подчиняющихся нормальному
закону распределения, использовать критерий Граббса.
Для этого вычисляют критерии Граббса G1 и G2, предполагая, что
наибольший x
или наименьший x
max
результат измерений вызван нали-
min
чием промахов:
max
=
1
S
xхG−
G
,
2
хx
−
= ,
min
S
где x – среднее арифметическое значение ряда результатов измерений;
S – среднее квадратическое отклонение.
В соответствии с выбранным уровнем значимости q (q = 0,05; 0,01)
определяют критические значения GT по табл. 1.4.
Полученные значения G1 и G2 сравнивают с определённым по
табл. 1.4 значением GT. Если G1 > GT или G2 > GT, то значения x
соответственно x
исключают из ряда измеренных значений как малове-
min
max
или
роятные (содержащие грубую погрешность). Вновь рассчитывают среднее
арифметическое и среднее квадратическое отклонение и повторно проводят проверку наличия промахов.
измерений n
1.4. Критические значения GT критерия Граббса
Количество
Критическое значение G
Свыше 1% Свыше 5%
при уровне значимости q
T
3 1,155 1,155
4 1,496 1,481
5 1,764 1,715
6 1,973 1,887
7 2,139 2,020
8 2,274 2,126
9 2,387 2,215
10 2,482 2,290
22
Если G1 ≤ GT или G2 ≤ GT, то значения x
или соответственно x
max
min
не считают промахом и сохраняют их в ряду измеренных значений.
Также одним из часто используемых критериев для оценки промаха
является критерий Романовского [7]. Как правило, его применяют при
объёме выборки n < 20.
В этом случае используют уровень значимости β, который определяется равенством
xM
−
x
=β
maxmin/
S
x
, (2)
где Мх – среднее арифметическое
n
x
i
∑
=
1
i
M
=
x
хi – результат измерения в ряду измеренных значений; х
, (3)
n
min/max
– результат
измерения, подозрительный на содержание грубой погрешности,
(х
– наименьший результат измерения в ряду измеренных значений,
min
х
– наибольший результат измерения в ряду измеренных значений);
max
Sx – статистическое среднее квадратическое отклонение (СКО)
=
S
x
∑
=
i
n
1
n
2
)(
−
Mx
xi
, (4)
)1(
−
n – количество измерений.
1.5. Значения теоретического уровня
n
значимости βт критерия Романовского
Р
0,90 0,95 0,99
3 1,412 1,414 1,414
5 1,869 1,917 1,972
7 2,093 2,182 2,310
9 2,238 2,349 2,532
11 2,343 2,470 2,689
13 2,426 2,563 2,809
15 2,523 2,670 2,946
17 2,551 2,701 2,983
19 2,601 2,754 3,049
23
В зависимости от выбранной доверительной вероятности Р, т.е. от
желания экспериментатора получить уверенный результат проверки гипотезы и числа измерений n из табл. 1.5 находят теоретический уровень
значимости βт и сравнивают с ним рассчитанное значение β. Если β > βт,
то результат х
следует отбросить как содержащий грубую погреш-
min/max
ность. Если β < βт, то выборку следует сохранить в полном объёме.
Пример решения задачи. При многократном измерении напряжения
электрического тока с помощью цифрового вольтметра получены значения в В: 10,38; 10,37; 10,39; 10,38; 10,39; 10,44; 10,41; 10,5; 10,45; 10,39;
11,1; 10,45. Проверить полученные результаты измерений на наличие грубой погрешности с вероятностью Р = 0,95.
Решение.
1. По формуле (3) находится среднее арифметическое значение Мх
=
M
x
→
12
44,1039,1038,1039,1037,1038,10
++++++
→
45,101,1139,1045,105,1041,10
++++++
=
.
В.47,10
2. По формуле (4) рассчитывается среднее квадратическое отклоне-
ние Sx данного ряда
=
S
x
→
)112(
−
22222
02,063,008,002,003,0
+++++
.2,0
=
→
2222222
06,003,008,009,008,01,009,0
+++++++
3. Из ряда измеренных значений напряжения выбираем результаты,
подозрительные на содержание грубой погрешности: наименьший
х
= 10,37 В и наибольший х
min
Рассчитываем критерий β
Рассчитываем критерий β
= 11,1 В.
max
для х
min
=β
min
для х
max
=β
max
= 10,37 В по формуле (2)
min
37,1047,10
−
2,0
= 11,1 В
max
1,1147,10
−
2,0
.5,0
=
.15,3
=
4. Из таблицы 1.5 при заданном значении доверительной вероятно-
сти Р = 0,95 и числа измерений n = 12 находим теоретический уровень
значимости βт для данного ряда – βт = 2,52.
24
Примечание. Значение βт для n = 12 находится следующим образом
β+β
=
Т
12/===
n
ТТ
13/11/
nn
=β
2
.
Аналогично находятся значения βт для всех чётных значений n.
5. Сравниваем значения β
0,5 < 2,52, т.е. β
следовательно результат х
min
его следует оставить в ряду измеренных значений.
3,15 > 2,52, т.е. β
следовательно результат х
max
и β
min
с найденным значением βт:
max
< βт,
min
= 10,37 В не содержит грубую погрешность и
max
> βт,
= 11,1 В содержит грубую погрешность и его
следует исключить из ряда измеренных значений.
6. После исключения промаха из ряда значений необходимо пере-
считать значения Мх, Sx, β
и количество измерений n (n = 11).
Мх = 10,414; Sx = 0,041; β
β
= 2,116 для х
max
Как видно 1,069 < 2,47, т.е. β
min
и β
, так как изменилось х
max
= 1,069 для х
min
= 10,5 В;
max
< βт, и 2,11 < 2,47, т.е. β
min
(х
max
.
= 10,5 В)
< βт.
max
max
= 10,37 В;
min
β
Т
47,2
11/
=n
Из приведённых расчётов следует, что полученный ряд измеренных значений напряжения электрического тока не содержит промахов с вероятностью Р = 0,95.
Задачи для самостоятельного решения
При многократном измерении физической величины Х получен ряд
измеренных значений (табл. 1.6). В соответствии с заданным вариантом,
используя критерий Романовского, необходимо проверить полученные
результаты измерений на наличие грубой погрешности с вероятностью Р.
1.6. Результаты многократного измерения физической величины Х
№ ва-
рианта
1 U, В
Х Результаты измерений Р
4,25; 4,21; 4,23; 4,21; 4,25; 4,23; 4,26; 4,22; 4,21;
0,90
4,23; 4,86; 4,21; 4,25; 4,24; 4,26; 4,22
2 R, кОм
7,36; 7,32; 7,34; 7,32; 7,36; 7,97; 7,34; 7,37; 7,33;
0,95
7,32; 7,34; 7,32; 7,36; 7,38; 7,37; 7,33
3 I, A
85,6; 85,7; 85,9; 85,6; 85,7; 85,8; 84,12; 85,6;
0,99
85,9; 85,9; 85,7; 85,8; 85,7; 85,8; 85,9; 85,6
4 φ, %
58; 57; 59; 58; 57; 58; 64; 56; 59; 59; 58; 58; 57;
0,90
58; 59; 58
25
№ ва-
рианта
Х Результаты измерений Р
Продолжение табл. 1.6
5 F, H 403; 408; 410; 405; 406; 398; 496; 404, 410; 353;
406; 398; 496; 404; 410; 405; 406; 398
6 ρ, кг/м3 93,08; 93,65; 93,26; 93,01; 92,35; 92,65; 92,43;
92,89; 93,87; 93,15; 93,44; 97,63; 92,99; 93,24
7 Q, Дж 20,4; 20,2; 20,0; 20,5; 19,7; 20,3; 20,3; 20,4; 25,4;
20,1; 20,2; 20,0; 20,5; 17,7; 20,1
8 В, Тл 64; 64,25; 62,3; 64,4; 65; 64,5; 64,9; 63,7; 64,8;
64; 64,25; 64,3; 64,4; 67; 64,5
9 Р, Па 1503; 1508; 1505; 1503; 1510; 1505; 1507; 1478;
1503; 1503; 1508; 1505; 1499; 1510; 1505; 1507; 1598
10 V, м3 50,3; 50,1; 50,2; 50,0; 50,6; 49,7; 50,3; 50,4; 50,1;
50,3; 50,1; 50,2; 50,0; 50,6; 42,7; 50,2; 50,0; 50,6
11 t, c 116; 117; 116; 115; 117; 101; 116; 115; 117; 115;
112; 117; 116; 115; 117; 116; 116; 114; 117
12 L, Гн 747; 764; 766; 765; 763; 765; 763; 765; 764; 764;
766; 765; 763; 765; 763; 765; 763; 785; 764
13 m, кг 0,7; 0,74; 0,38; 0,69; 0,72; 0,68; 0,68; 0,7; 0,71; 0,5;
0,74; 0,7; 0,69; 0,72; 0,68; 0,69; 0,72; 0,68; 0,68
14 Р, Вт 40,4; 41,0; 40,2; 40,0; 45,5; 42,7; 40,3; 40,4; 40,8;
40,4; 41,0; 40,2; 40,0; 33,5; 42,7; 40,4
15 f, Гц 780,3; 780; 788,8; 780,5; 780,2; 780; 780,3; 780,9;
780,3; 780,4; 780,2; 780; 780,3; 790,9; 780,3;
780,4; 780,0
16 S, м2 4604; 4608; 4605; 4604; 4610; 4605; 4607; 4578;
4604; 4604; 4608; 4605; 4597; 4610; 4605; 4607;
4698
17 Q, м3/с 744; 764; 766; 765; 763; 765; 763; 765; 764; 764;
766; 751; 763; 765; 763; 765
18 J, кд 354; 354; 396; 355; 353; 355; 353; 355; 354; 354;
356; 321; 353; 355; 353; 355
19
Т, °С
15,6; 15,7; 15,9; 15,6; 15,7; 15,8; 14,1; 15,6; 15,9;
15,9; 15,7; 17,8; 15,7; 15,8; 15,9; 15,6
20 V, м/с 80,6; 80,7; 80,9; 80,6; 80,7; 80,8; 84,12; 80,6;
80,9; 80,9; 80,7; 80,8; 89,7; 80,9; 80,6
0,95
0,99
0,90
0,95
0,99
0,90
0,95
0,99
0,90
0,95
0,99
0,90
0,95
0,99
0,90
0,95
26
1.4. Нормальный закон распределения погрешностей измерений
Цель работы: изучение основных параметров нормального распределения Гаусса и приобретение навыков для использования данного распределения на практике.
Нормативная база.
• ГОСТ Р 8.736–2011. Государственная система обеспечения един-
ства измерений (ГСИ). Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения.
Методические указания. При обработке результатов измерений
приходится встречаться с различными законами распределения измеряемых величин, рассматриваемых как случайные величины. Среди них равномерный закон распределения, арксинусный закон распределения, треугольный закон распределения (Симпсона), корреляционный закон распределения, биноминальный закон распределения и многие другие. Особое место занимает нормальный закон распределения, являющийся предельным. Этот закон был получен Муавром (1733), параллельно Лапласом (1780) и Гауссом (1809). Так как Гаусс внёс значительный вклад в
развитие этого закона, то принято называть нормальный закон распределения – нормальным законом распределения Гаусса. Он позволяет вести
расчёты даже в том случае, когда действительный закон распределения
погрешностей неизвестен, потому что нормальный закон распределения
даёт доверительный интервал Δ чаще увеличенным, чем уменьшенным.
Нормальный закон распределения (закон распределения Гаусса) для
случайной величины х определяется функцией f (x)
()
=
где
()
∞+∞−∈ ;x ;
M – математическое ожидание случайной величины x;
x
1
⋅
exf
πσ
2
2
()
−
Mx
x
−
2
2
σ
,
σ – среднеквадратическое отклонение (теоретическое).
Вероятность P (X < x) того, что случайная величина Х окажется
меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения F(x) по формуле
)<(
()
==
x
1
∫
πσ
2
∞−
2
()
Mt
−
x
−
2
σ
2
.
dtexFхХР
Функция распределения численно равна площади под кривой плотности нормального распределения (рис. 1.2).
27
Рис. 1.2. Иллюстрация нормального закона распределения
σ
σ<σ
σ
σ
некоторой величины х
Кривая плотности нормального распределения определяется пара-
метрами x,
M и
.
x
1. Центр симметрии распределения математического ожидания
M
является центром распределения, т.е. кривая плотности распределения величины x симметрична относительно точки рассеивания (
M – абсцисса).
x
2. Параметр σ характеризует форму кривой распределения. С уве-
личением значения )(
, кривая
21
()
xf распределения «растягивает-
ся» вдоль оси абсцисс.
Размерность величин
M и
x
совпадает.
Стандартное нормальное распределение это нормальное распреде-
ление случайной величины z, связанной с величиной x соотношением
=
z
−
Mx
x
σ
xx
Δ
−
=
=
,
SS
где x – среднее арифметическое; S – среднее квадратическое отклонение (СКО).
Функция плотности f (z) стандартного нормального распределения
случайных ошибок измерения табулирована (табл. 1.7) и имеет вид
()
где 0=
M ; 12=σ .
Z
1
)1,0,(
==
2
2
z
−
2
,
ezfzf
⋅
π
Функция стандартного нормального распределения F(z) определяет-
ся формулой
2
t
z
−
2
⋅
π
dtezFzFzZP
∫
∞−
28
() ( )
1,0,)<(
1
===
2
x
и позволяет рассчитать вероятность P (Z < z) того, что нормально распре-
()(
−=−
деленная случайная величина Z окажется меньше z.
Функция F(z) имеет ряд важных свойств:
()
1)
()
2)
()
3)
zF является нечётной функцией, причем
;0 =∞−F
;1=∞+F
)
zFzF
1 .
Плотность нормального распределения связана с плотностью стандартного нормального распределения соотношением
1
() ()
zfxf ⋅σ=
.
В метрологии часто используется функция стандартного нормального распределения F (z, 0, 1) для значений 0≥z . В этом случае её называ-
ют функцией Лапласа (или интегралом вероятностей) Ф(z)
Z
1
()
=Φ
∫
2
π
0
2
t
−
P
2
dtez
2
==⋅
.
)(Ф2 или
zР
Функция симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси
ординат, как гауссова функция).
График функции Ф(z) показан на рис. 1.3.
В литературе функцию Лапласа иногда называют функцией погрешностей (ошибок) и обозначают erf z. Функция Лапласа также табулирована (см. табл. 1.8).
1.7. Таблица значений функции плотности f (z)
z f (z) z f (z) z f (z) z f (z)
стандартного нормального распределения
0,1 0,3989 1,1 0,2179 2,1 0,0440 3,1 0,0033
0,2 0,3910 1,2 0,1942 2,2 0,0355 3,2 0,0024
0,3 0,3817 1,3 0,1714 2,3 0,0283 3,3 0,0017
0,4 0,3683 1,4 0,1497 2,4 0,0224 3,4 0,0012
0,5 0,3521 1,5 0,1295 2,5 0,0175 3,5 0.0009
0,6 0,3332 1,6 0,1109 2,6 0,0136 3,6 0,0006
0,7 0,3123 1,7 0,0940 2,7 0,0104 3,7 0,0004
0,8 0,2897 1,8 0,0790 2,8 0,0079 3,8 0,0003
0,9 0,2661 1,9 0,0656 2,9 0,0060 3,9 0,0002
1,0 0,2420 2,0 0,0540 3,0 0,0044 4,0 0,0001
29
Рис. 1.3. График функции стандартного нормального распределения Ф(z)
(функция Лапласа)
1.8. Значения нормированной функции Лапласа Р = 2Ф(z)
z Ф(z) z Ф(z) z Ф(z)
0,0 0,00000 1,4 0,41924 2,8 0,49744
0,1 0,03983 1,5 0,43319 2,9 0,49813
0,2 0,07926 1,6 0,44520 3,0 0,49865
0,3 0,11791 1,7 0,45543 3,1 0,49903
0,4 0,15542 1,8 0,46407 3,2 0,49931
0,5 0,19146 1,9 0,47128 3,3 0,49952
0,6 0,22575 2,0 0,47725 3,4 0,49966
0,7 0,25804 2,1 0,48214 3,5 0,49977
0,8 0,28814 2,2 0,48610 3,6 0,49984
0,9 0,31594 2,3 0,48928 3,7 0,49989
1,0 0,34134 2,4 0,49180 3,8 0,49993
1,1 0,36433 2,5 0,49379 3,9 0,49995
1,2 0,38493 2,6 0,49534 4,0 0,49997
1,3 0,40320 2,7 0,49653 4,5 0,49999
Соотношение между интегралом стандартного нормированного рас-
пределения Гаусса для 0≥z и интегралом вероятности (Лапласа) опреде-
ляется по формуле:
30