Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Метрология и технические измерения. Практикум.pdf
2
(
)
σ
−
σ
+
σ
(
)
()(
σ+σ
−
(
)
()(
σ+σ
−
t
Z
1
() ()
=
−
2
∫
2
π
0
12 ; 5,0
−=+⋅
zFPdtezF
.
Функция распределения нормированного нормального распределения Гаусса табулирована (табл. 1.9). В частности, по формуле, представленной выше имеем:
1) для ошибки величиной меньше σ
,
6827,0184135,021)1(21)(2 =−⋅=−=−=σ<Δ FzFP
т.е. между абсциссами
М и
z
M располагается 68,27% всей пло-
z
щади кривой нормального распределения;
2) для ошибок величиной меньше
т.е. в интервале
3) для ошибок величиной меньше 3σ
т.е. в интервале
()
()
2;2zzMM лежит 95,45% всей площади;
3;3zzMM лежит 99,73% всей площади.
2
)
)
,
9545,0197725,02122122 =−⋅=−=−=σ<Δ FzFP
,9973,0199865,02132123 =−⋅=−=−=σ<Δ FzFP
1.9. Значения функции нормированного
нормального распределения F(z)
z F(z) z F(z) z F(z)
0,0 0,50000 1,4 0,91924 2,8 0,99744
0,1 0,53983 1,5 0,93319 2,9 0,99813
0,2 0,57926 1,6 0,94520 3,0 0,99865
0,3 0,61791 1,7 0,95543 3,1 0,99903
0,4 0,65542 1,8 0,96407 3,2 0,99931
0,5 0,69146 1,9 0,97128 3,3 0,99952
0,6 0,72575 2,0 0,97725 3,4 0,99966
0,7 0,75804 2,1 0,98214 3,5 0,99977
0,8 0,78814 2,2 0,98610 3,6 0,99984
0,9 0,81594 2,3 0,98928 3,7 0,99989
1,0 0,84134 2,4 0,99180 3,8 0,99993
1,1 0,86433 2,5 0,99379 3,9 0,99995
1,2 0,88493 2,6 0,99534 4,0 0,99997
1,3 0,90320 2,7 0,99653 4,5 0,99999
31
Как показывает последний результат, вероятность того, что случай-
zz−=Δ
ная величина ошибки измерения меньше чем на 3σ отличается от своего
математического ожидания, составляет 0,9973, т.е. почти равна единице.
Выход результата измерения за пределы этого интервала может объясняться двумя обстоятельствами:
1) либо случайная величина нормально распределена, тогда вероят-
ность этого события равна 0,0027, и о нём можно говорить, как о редком
событии;
2) либо рассматриваемая случайная величина не распределена по
нормальному закону, тогда у неё другое математическое ожидание, дисперсия и другая функция распределения.
Пример решения задачи. Установлено, что погрешность
ве-
личины z имеет нормальное распределение, а её среднеквадратическое
отклонение S = 0,2. Определить вероятность Р того, что погрешность ∆
измерения величины z будет равна 0,5.
Решение. Найдём значение величины z из формулы
5,0
2,0
.
5,2
==z
z
=
.
SS
Δ
−=zz
Из таблицы 1.8 для значения z = 2,5 определяем значение функции
Лапласа Ф(z) = 0,4938. Зная, что
P
()
z ==Φ , найдём значе-
2
)(Ф2 или
zР
ние вероятности Р = 2·0,4938 = 0,9876.
Ответ: вероятность того, что погрешность ∆ измерения величины z
будет равна 0,5 составляет 0,9876 или 98,76 %.
Задачи для самостоятельного решения
1. Погрешность измерения напряжения Δu распределена по нор-
мальному закону, причем систематическая погрешность равна Δuс, а
среднеквадратическая погрешность равна S. Найдите вероятность того,
что результат измерения ux отличается от истинного значения напряжения
uи не более чем на величину Δ.
2. В результате поверки амперметра установлено, что Р % погреш-
ностей результатов измерений, произведенных с его помощью, не превосходит Δ. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону с
нулевым математическим ожиданием, определить среднюю квадратическую погрешность.
3. В результате поверки амперметра установлено, что Р % погреш-
ностей результатов измерений, произведенных с его помощью, не превосходит Δ1. Считая, что погрешности распределены по нормальному закону
32
с нулевым математическим ожиданием, найдите вероятность того, что
погрешность результата измерения превзойдет ⎯Δ2.
4. Погрешность результата измерения тока распределена равно-
мерно в интервале от Δ1 до Δ2. Найдите: систематическую погрешность
результата измерения; среднее квадратическое отклонение результата
измерения; вероятность того, что исправленный результат измерения отличается от истинного значения измеряемого тока не более чем на Δ3.
5. Результат измерения тока содержит случайную погрешность,
распределённую по нормальному закону. Равноточные измерения имеют
следующие значения: I1, I2, I3, I4, I5. Записать правильно результат измерений при доверительной вероятности Р, а также определить вероятность
того, что результат измерения отличается от истинного значения не более
чем на Δ.
Численные значения величин для самостоятельного решения задач в
соответствии с вариантом приведены в табл. 1.10.
1.10. Значения величин для самостоятельного решения задач
Номер
задачи
1
Значения
Δuc
1 2 3 4 5
30 мВ 40 мВ 70 мВ 20 мВ 50 мВ
s 50 мВ 60 мВ 40 мВ 60 мВ 70 мВ
Δ
120 мВ 140 мВ 130 мВ 100 мВ 150 мВ
Варианты
Р 70 60 50 70 80
2
Δ
20 мА 15 мА 35 мА 45 мА 30 мА
Р 80 85 75 90 70
3
Δ1
Δ2
Δ1
4
Δ2
Δ3
20 мА 10 мА 15 мА 25 мА 15 мА
40 мА 30 мА 35 мА 25 мА 45 мА
–1 мА –2 мА 0 мА –3 мА –1 мА
+3 мА +4 мА +2 мА +5 мА +4 мА
1 мА 2 мА 3 мА 1,5 мА 0,5 мА
I1 200,3 мА 300,3 мА 100,3 мА 200,6 мА 150,9 мА
I2 200,2 мА 300,2 мА 100,2 мА 200,4 мА 150,6 мА
I3 200,6 мА 300,6 мА 100,6 мА 201,2 мА 150,4 мА
5
I4 200,0 мА 300,0 мА 100,0 мА 200,0 мА 150,2 мА
I5 200,4 мА 300,4 мА 100,4 мА 200,8 мА 150,7 мА
P 0,99 0,98 0,96 0,95 0,97
Δ
0,2 мА 0,3 мА 0,1 мА 0,4 мА 0,2 мА
33
Тема 2. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
2.1. Формы представления результатов измерений
Цель работы: приобретение навыков представления результатов измерений в различных видах документации в соответствии с установленными правилами.
Нормативная база.
• Рекомендация МИ 1317–2004. Государственная система обеспе-
чения единства измерений. Результаты и характеристики погрешности
измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров.
• Стандарт СЭВ СТ СЭВ 543–77. Числа. Правила записи и округ-
ления.
• РМГ 29–2013. Государственная система обеспечения единства
измерений. МЕТРОЛОГИЯ. Основные термины и определения.
Методические указания. Описание измерений, их результатов, а
также характеристик погрешностей измерений в нормативно-технической, конструкторской, технологической, методической, научной и других видах документации осуществляется в соответствии с установленными правилами по определённой форме.
Результат измерений представляют именованным или неименованным числом.
Пример.
100 кВт; 20 °С – именованные числа;
0,44; 2,765 – неименованные числа.
Совместно с результатом измерений записывают характеристики его
погрешности или их статистические оценки, а также, при необходимости,
условия проведения измерений [8].
Пример.
1. Результат измерения расхода жидкости Q, полученного по атте-
стованной методике выполнения измерений (МВИ) записывается в виде:
а) Q = 8,25 м3/с; ∆Q = 0,15 м3/с; Р = 0,95.
Условия измерений: температура жидкости 22 °С, кинематическая
вязкость 1,0·10–6 м2/с.
б) Q = 8,25 м3/с. Характеристики погрешности и условия измерений – в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ № 00 от
00.00.0000 г.
2. Результат измерения расхода жидкости Q, полученного по неат-
тестованной МВИ; его статистические оценки характеристик погрешности измерений σ определены в процессе измерений, запишется следующими способами:
а) Q = 8,25 м3/с; σ = 0,06 м3/с.
34
Условия измерений: температура жидкости 22 °С, кинематическая
вязкость 1,0·10–6 м2/с.
б) Значение измеряемого расхода Q – в интервале от 8,25 до 9,05 м3/с
с доверительной вероятностью Р = 0,95.
Условия измерений: температура жидкости 22 °С, кинематическая
вязкость 1,0·10–6 м2/с.
3. Результаты измерений сопротивлений медного проводника R в
зависимости от его температуры t, полученные по аттестованной МВИ
имеют вид:
R(t), Ом 91,420 95,720 100,000 104,281 108,563 112,844
t, °С –20 –10 0 10 20 30
Характеристики погрешности и условия измерений – в соответствии
со свидетельством об аттестации МВИ № 00 от 00.00.0000 г.
4. Результат измерений кинематической вязкости µ жидкости по аттестованной МВИ; результат получен как среднее арифметическое серии
результатов измерений запишется следующим образом: результат измерений µ = 1,0·10–6 м2/с. Число измерений – 5, в течение 7 мин. Характеристики погрешности и условия измерений – в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ № 00 от 00.00.0000 г.
При нахождении результата измерений и характеристик его погрешностей практически всегда выполняются численные расчёты различной
степени сложности. Все промежуточные расчёты целесообразно проводить с тем числом разрядов, которые возможно получить. Конечный результат округляется в соответствии с правилами, в основе которых лежит
следующий принцип: «Наименьшие разряды числовых значений ре-
зультатов измерений принимают такими же, как и наименьшие разряды числовых значений среднего квадратического отклонения
абсолютной погрешности измерений или числовых значений границ,
в которых находится абсолютная погрешность измерений (или статистических оценок этих характеристик погрешности)» [8].
Рекомендацией МИ 1317–2004 установлено, что характеристики погрешности и их статистические оценки должны быть выражены числом,
содержащим не более двух значащих цифр.
Значащие цифры числа – это все цифры от первой слева, не равной
нулю, до последней записанной цифры справа. При этом нули, следующие из множителя 10n, не учитываются.
Пример.
В числе 10 – две значащие цифры.
В числе 10,0 – три значащие цифры.
В числе 0,01 – одна значащая цифра.
35
В числе 0,123·105 – три значащие цифры.
В числе 123·10–3 – три значащие цифры.
В нормативной, технической и научной документации при необходимости указания точного числа, в тексте после этого числа пишут слово
«точно».
Пример. Рассмотрим практическое различие двух вариантов записи
чисел:
а) длина электрода 1,90 м;
б) длина электрода 1,90 м (точно).
В обоих вариантах число 1,90 имеет три значащих цифры. Однако
вариант а) не исключает, что на практике длина электрода может быть и
1,904 м и 1,897 м (т.е. можно изготовить электрод и на 4 мм длиннее или
на 3 мм короче указанного размера, так как после округления чисел 1,904
и 1,897 до трёх значащих цифр все равно получится 1,90), а запись числа в
варианте б) не допускает изготовления электрода с размером отличным от
указанного.
При указании числового значения величины и её предельных отклонений их последние значащие цифры должны быть одинакового разряда [9].
Пример
Правильно.
12,0 ± 0,3
12,34 ± 0,50
12,30 ± 0,45
123 ± 4
Неправильно.
12 ± 0,3
12,34 ± 0,5
12,3 ± 0,45
123 ± 0,4
Правила округления чисел.
1. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то
остающиеся цифры числа не изменяют.
2. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов равна или
больше 5, то последнюю сохраняемую цифру числа увеличивают на единицу.
3. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры
неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она чётная, и увеличивают на единицу, если она нечётная.
4. «Лишние» цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают.
5. Округление производится сразу до необходимого количества значащих цифр (без промежуточных этапов).
Пример
1. Округлить число 123,456 до трёх значащих цифр. Ответ: 123.
2. Округлить число 123,456 до четырёх значащих цифр. Ответ: 123,5.
36
3. Округлить число 123,45 до четырёх значащих цифр. Ответ: 123,4.
4. Округлить число 1234 до двух значащих цифр. Ответ: 12⋅102.
5. Округлить число 123,46 до трёх значащих цифр. Ответ: 123.
Комментарий: поэтапное округление даст неправильный результат.
На первом этапе – округление до четырёх значащих цифр даёт 123,5.
На втором этапе – округление до заданных трёх значащих цифр даёт 124 –
ошибка!
Задачи для самостоятельного решения
1. Выберите правильную запись результата измерения силы тока I,
полученного по аттестованной методике выполнения измерений (МВИ):
а) I = 0,10 А; δI = 0,05; Р = 0,95.
б) I = 0,10 А.
в) I = 0,10 А; ∆I = 0,05 А.
2. Выберите правильную запись результата измерения длины балки L,
полученного по аттестованной методике выполнения измерений (МВИ):
а) L = 0,90 м; ∆L = 0,01 м; Р = 0,95.
б) L = 0,90 м.
в) L = 0,90 м; Р = 0,95.
3. Выберите правильную запись результата измерения температуры T
объекта, полученного по аттестованной методике выполнения измерений
(МВИ):
а) Т = 40 °С; ∆Т = 1 °С.
б) Т = 40 °С. Характеристики погрешности и условия измерений –
в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ № 00 от 00.00.0000 г.
в) Т = 40 °С.
4. Выберите правильную запись результата измерения расхода жидкости Q, полученного по аттестованной методике выполнения измерений (МВИ):
а) Q = 1,00 м3/с; ∆Q = 0,05 м3/с; Р = 0,95. Условия измерений: темпе-
ратура жидкости 22 °С, кинематическая вязкость 1,0⋅10–6 м2/с.
б) Q = 1,00 м3/с. Характеристики погрешности и условия измерений –
в соответствии с инструкцией по эксплуатации.
в) Q = 1,00 м3/с; ∆Q = 0,05 м3/с; Р = 0,95.
5. Выберите правильную запись результата измерения освещенности Е рабочего места, полученного по аттестованной методике выполнения измерений (МВИ):
а) Е = 255 лк; ∆Е = 1 лк; Р = 0,95. Характеристики погрешности и
условия измерений – в соответствии со свидетельством об аттестации
МВИ № 00 от 00.00.0000 г.
б) Е = 255 лк. Характеристики погрешности и условия измерений –
в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ № 00 от 00.00.0000 г.
в) Е = 255 лк; ∆Е = 1 лк.
37
6. Выберите правильную запись результата измерения относительной влажности w в производственном помещении, полученного по неаттестованной МВИ:
а) w = 46,0%; σ = 0,2%; Р = 0,95. Условия измерений: температура
окружающей среды 20 °С.
б) w = 46,0%; σ = 0,2%; Р = 0,95.
в) w = 46,0%; σ = 0,2%; Р = 0,95. Характеристики погрешности и условия измерений – в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ
№ 00 от 00.00.0000 г.
7. Выберите правильную запись результата измерения атмосферно-
го давления P, полученного по неаттестованной МВИ:
а) Р = 764,0 мм рт ст; σ = 0,5 мм рт ст; с доверительной вероятностью Р = 0,95. Условия измерений: температура окружающей среды 20 °С.
б) Р = 764,0 мм рт ст; ∆Р = 0,5 мм рт ст; с доверительной вероятностью Р = 0,95.
в) Р = 764,0 мм рт ст; σ = 0,5 мм рт ст; с доверительной вероятностью Р = 0,95. Характеристики погрешности и условия измерений – в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ № 00 от 00.00.0000 г.
8. Выберите правильную запись результата измерения высоты h
опорного стержня, полученного по неаттестованной МВИ:
а) h = 100,0 мм; σ = 1,2 мм; Р = 0,95. Условия измерений: температура стержня 20 °С.
б) h = 100 мм; σ = 1,2 мм; Р = 0,95.
в) h = 100,0 мм; σ = 1,2 мм. Характеристики погрешности и условия
измерений – в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ № 00
от 00.00.0000 г.
9. Выберите правильную запись результата измерения коэффициен-
та преломления n жидкости, полученного по неаттестованной МВИ:
а) Значение n – в интервале от 39,73 до 40,29 с доверительной вероятностью Р = 0,95. Условия измерений: температура жидкости 22 °С.
б) Значение n – в интервале от 39,73 до 40,29; σ = 0,12. Условия измерений: температура жидкости 22 °С.
в) Значение n – в интервале от 39,73 до 40,29; Р = 0,95. Характеристики погрешности и условия измерений – в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ № 00 от 00.00.0000 г.
10. Выберите правильную запись результата измерения концентрации С угарного газа по аттестованной МВИ, полученный как среднее
арифметическое серии результатов измерений:
а) С = 1,7%. Число измерений – 5, в течение 12 мин. Характеристики
погрешности и условия измерений – в соответствии со свидетельством об
аттестации МВИ № 00 от 00.00.0000 г.
б) С = 1,70%; σ = 0,01%; Р = 0,95. Характеристики погрешности и
условия измерений – в соответствии со свидетельством об аттестации
МВИ № 00 от 00.00.0000 г.
38
в) С = 1,70%. Число измерений – 5. σ = 0,01%; Р = 0,95. Характеристики погрешности и условия измерений – в соответствии со свидетельством об аттестации МВИ № 00 от 00.00.0000 г.
11. Укажите соответствие количества значащих цифр записи числа.
Количество
значащих
цифр
А) одна
Б) две
В) три
1 2 3 4 5
1) 23,4
2) 10
3) 1,0
4) 1·10
5) 0,05
1) 10·101
2) 5,00
3) 0,2
–3
4) 9·10–2
5) 10,5·101
Число
№ варианта
1) 0,4
2) 89,2·10
3) 1,00
4) 0,08
5) 7,0·102
1) 47·10–2
–3
2) 8
3) 0,035
4) 1,6·102
5) 193
1) 0,4
2) 17
3) 1,08
4) 0,001·10
5) 0,51·10
–3
12. Укажите правильную запись числового значения величины и её
предельных отклонений
№ варианта
1 2 3 4 5
а) 94,0 ± 0,1
б) 72 ± 0,9
в) 8,34 ± 0,1
г) 1,9 ± 0,05
д) 0,93 ± 0,1
а) 0,5 ± 0,01
б) 78,04 ± 1,20
в) 100 ± 0,1
г) 0,25 ± 1
д) 36 ± 1,5
а) 100 ± 0,5
б) 220 ± 2,5
в) 1 ± 0,1
г) 85,0 ± 0,5
д) 0,10± 0,001
а) 1000 ± 10
б) 0,1 ± 0,05
в) 12,9 ± 1
г) 10 ± 0,5
д) 65,04 ± 0,5
а) 20 ± 0,2
б) 0,15 ± 0,01
в) 100,0 ± 10
г) 5,5 ± 0,01
д) 25,55 ± 1
13. Округлите представленные числа до указанного количества зна-
чащих цифр.
№ варианта
1 2 3 4 5
3
число
324,49
0,592
4,96
10473
3398
знач. цифр
три
две
одна
две
две
число
0,209
948
34,05
7899
0,105
знач. цифр
одна
одна
три
две
две
число
855
0,684
0,75
6994
194
знач. цифр
одна
две
одна
две
одна
число
0,505
3942
80,05
759,4
0,15
знач. цифр
две
одна
три
три
одна
число
75,49
0,561
0,9
38795
9,50
знач. цифр
три
одна
одна
две
одна
39
2.2. Обработка результатов прямых многократных измерений
Цель работы: получить навыки обработки результатов прямых многократных независимых измерений и нахождения доверительных границ
погрешности результата измерений.
Нормативная база.
• ГОСТ Р 8.736–2011. Государственная система обеспечения единст-
ва измерений (ГСИ). Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения.
Используемые термины и определения в Приложении.
Методические указания. Под многократными измерениями пони-
мают серию из не менее, чем четырёх измерений.
Статистическая обработка группы результатов прямых многократных независимых наблюдений, принадлежащих к нормальному распределению, выполняется в такой последовательности [6].
1. Многократно, n раз, производятся прямые измерения неизвестной ве-
личины Х. Таким образом, получают результаты n измерений:
K .
21
xxx ,,,
n
2. Из полученных результатов измерений исключают известные
систематические погрешности, путём введения поправки.
3. Вычисляют оценку измеряемой величины как среднее арифмети-
ческое x n результатов
n
x
i
∑
==1
i
x
. (5)
n
4. Вычисляют среднее квадратическое отклонение среднего ариф-
метического
=
S
∑
i
n
1
=
2
)(
−
xx
i
. (6)
)1(
−
nn
5. Проверяют наличие грубых погрешностей и при необходимости
исключают их.
6. Вычисляют доверительные границы случайной погрешности
(доверительную случайную погрешность) оценки измеряемой величины
с учётом заданной доверительной вероятности Р
где t
– квантиль распределения Стьюдента. Значения t
n, P
. (7)
xtSxtSx
+⋅<<⋅−
PnPn
,,
в зависимости
n, P
от заданной доверительной вероятности Р и количества измерений n даны
в табл. 2.1.
40