Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Двойственный подход с модифицированными функционалами Лагранжа для исследования контактных задач механики. Монография.pdf
Вычисление M (l) само по себе требует решения экстремальной задачи. Но
поскольку градиент функционала M
двойственной задачи (
3.17) можно использовать градиентный метод
k+1
l
= lk+ θk∇M
с любым начальным l0∈ L2(ΓK), шагом θk∈ [β,2r − β], при β ∈ (0,r]
и градиентом ∇M (lk) = argmin
m∈L2(ΓK)
Теорема 18. Для алгоритма (
Доказательство. Аналогично [
3.25) выполняется предельное равенство
lim
k∇M
k→∞
56, с. 31].
(·) Липшиц-непрерывен, то для решения
(lk), k = 0,1,2, . . . (3.25)
χ(m) +
(lk)k
R
lkm ds +
Γ
K
L2(ΓK)
= 0.
R
r
2
Γ
K
m2ds.
Для упрощения записей в дальнейшем будем использовать для скачка
функции на ΓKобозначение [v] = v
следующим образом [
109; 60]:
′
n
′′
+ v
. Алгоритм (
n
3.25) можно переписать
(i) u
(ii) l
k+1
= argmin
v∈V
k+1
= lk+ r max[u
L (v) +
k+1
1
2r
], −
Z
(lk+ r[v])
Γ
K
k
l
+
2
− (lk)
.
ds
2
r
Покажем, что алгоритм (3.26) сходится по функционалу, т. е. lim
k→∞
min
L (v).
v∈K
С одной стороны, слабая полунепрерывность χ(·) обеспечивает выполне-
ние неравенства
Z
Z
r
lim
k→∞
χ(m(lk))+
lkm(lk) ds+
Γ
K
m2(lk) ds= lim
2
Γ
K
χ(m(lk)) > χ(0) = L (u∗),
k→∞
а с другой стороны:
Z
Z
r
(lk) = χ(m(lk)) +
M
lkm(lk)ds +
m2(lk) ds =
2
Γ
K
Z
Γ
K
Z
r
= inf
m∈L2(ΓK)
χ(m) +
lkm ds +
Γ
K
m2ds6 χ(0), k = 0,1,2, . . .
2
Γ
K
,
(3.26)
L (uk) =
61
Откуда получается неравенство
lim
k→∞
χ(m(lk)) +
Z
lkm(lk) ds +
Γ
K
Следовательно, существует предел
lim
k→∞
χ(m(lk)) +
Теперь из теоремы
lim
k→∞
Z
lkm(lk) ds +
Γ
K
18 следует
L (uk) = lim
k→∞
Предположив, что решение u∗задачи (
можно доказать [
15], что метод (3.26) сходится к единственной седловой точке
(u∗, − σn) функционала Лагранжа.
Z
r
m2(lk) ds6 χ(0).
2
Γ
K
Z
r
m2(lk) ds= χ(0) = L (u∗).
2
Γ
K
χ(m(lk)) = χ(0) = L (u∗).
3.8) обладает H2(Ω)-гладкостью,
3.3 Итеративная проксимальная регуляризация
модифицированного функционала Лагранжа
Конечно-элементная реализация алгоритма Удзавы в полукоэрцитивном
случае приводит к вырожденной матрице квадратичной формы минимизиру-
емого функционала. Для устранения этого недостатка построим устойчивый
алгоритм, основанный на итеративной проксимальной регуляризации модифи-
цированного функционала Лагранжа [58].
Выберем произвольную пару (v0, l0) ∈ V × L2(ΓK). На (k + 1)-м шаге
находим пару (v
(i) определяем v
k+1
где ev
k+1,lk+1
k+1
= argmin
v∈V
) следующим образом:
из критерия kv
M(v,lk) +
k+1
− ev
1
kv − vkk
2
k+1
2
0,Ω
k
1,Ω
, δk> 0,
6 δk,
∞
X
k=1
δk< ∞.
(3.27)
(ii) корректируем двойственную переменную по формуле
k+1
l
= (lk+ r[v
k+1])+
.
62
Регуляризирующая добавка
1
kv − vkk
2
2
обеспечивает сильную выпук-
0,Ω
лость минимизируемого функционала, что гарантирует единственность реше-
ния вспомогательных задач
Введем величину µ
M(v,lk) +
k+1
= (lk+ r[ev
1
kv − vkk
2
2
0,Ω
k+1])+
→ min
. (3.28)
v∈V
, k = 0,1,2, . . . . Определим ска-
лярные произведения в пространствах L2(Ω) × L2(ΓK) и H1(Ω) × L2(ΓK)
следующим образом:
1
h(v1, t1),(v2, t2)i0= (v1, v2)
0,Ω
+
(t1, t2)
r
0,Γ
,
K
1
h(v1, t1),(v2, t2)i1= (v1, v2)
H1(Ω)
+
(t1, t2)
r
0,Γ
.
K
Порожденные ими нормы:
k(v, t)k
k(v, t)k
2
= kvk
0
2
= kvk
1
2
0,Ω
H1(Ω)
+
1
r
+
ktk
1
r
2
0,Γ
ktk
K
2
0,Γ
,
.
K
И пусть zk= (vk,lk), wk= (evk,µk).
Теорема 19. Пусть множество седловых точек функционала Лагранжа L(·,·)
не является пустым. Тогда последовательность {wk}, генерируемая по алго-
ритму (
3.27), ограничена в V × L2(ΓK) и, более того, –– последовательность
{evk} компактна в V .
Доказательство. Существование точек zk, wk, k = 1,2, . . . , очевидно. Пока-
жем, что для любого k имеет место неравенство
kz∗− zkk
2
> kw
0
k+1
− z∗k
2
+ kw
0
k+1
− zkk
2
, (3.29)
0
где z∗= (v∗,l∗) –– произвольная седловая точка L(·,·).
Определение седловой точки z∗эквивалентно соотношениям
[v∗] 6 0, l∗> 0, [v∗]l∗= 0, (3.30)
L(v∗,l∗) 6 L(v,l∗) ∀v ∈ V. (3.31)
Первые соотношения равносильны равенству
l∗= (l∗+ r[v∗])+. (3.32)
63
А второе равносильно равенству
Z
A(v∗,v − v∗) − F P (v − v∗) +
Из (
3.32) и (3.33) вытекает равенство
A(v∗,v − v∗) − F P (v − v∗) +
Очевидно, что ev
k+1
(ev
− vk,v − ev
k+1
, являясь точкой минимума, удовлетворяет равенству
k+1
Z
(lk+ r[ev
+
Γ
K
Положим, что в (
3.34) v = ev
Получим:
Γ
)0+ A(ev
k+1])+
k+1
l∗([v] − [v∗]) ds = 0 ∀v ∈ V. (3.33)
Γ
K
Z
(l∗+ r[v∗])+([v] − [v∗]) ds = 0 ∀ v ∈ V.
K
(3.34)
k+1
,v − ev
([v] − [ev
k+1
) − F P (v − ev
k+1
]) ds = 0 ∀v ∈ V.
k+1
)+
(3.35)
, в (3.35) v = v∗, и сложим эти два равенства.
откуда
= A(ev
= A(ev
= A(ev
k+1
Z
+
Γ
K
k+1
k+1
− v∗,ev
= A(ev
k+1
(ev
− vk,v∗− ev
(l∗+ r[v∗])+− (lk+ r[ev
Z
Γ
k+1
− v∗,ev
1
r
Γ
(µ
K
(l∗+ r[v∗])+− (lk+ r[ev
K
− v∗,ev
Z
(µ
K
k+1
1
− v∗,ev
− v∗,ev
k+1
k+1
k+1
− v∗) −
= A(ev
k+1
− v∗) +
− v∗) +
− v∗,ev
= A(ev
k+1
Z
1
r
Γ
k+1
− v∗) +
k+1
)0− A(ev
k+1])+
k+1
− v∗) −
k+1
− v∗) +
1
r
k+1
− l∗)(lk+ r[ev
− l∗)(lk+ r[ev
Z
k+1
(µ
− l∗)(lk+ r[ev
r
Γ
K
k+1
([ev
− v∗,ev
k+1
k+1
] − [v∗]) ds = 0,
k+1
(ev
− vk,v∗− ev
k+1])+
([ev
Z
(l∗− µ
Γ
K
Z
k+1
(µ
Γ
K
k+1
k+1
]) − lk− (l∗+ r[v∗]) + l
k+1
)([ev
− l∗)(r[ev
] − lk− l∗− r[v∗] + l∗) ds =
k+1
]) − (l∗+ r[v∗])ds+
Z
1
+
(µ
k+1
− l∗)(−lk+ l
r
Γ
K
− v∗)+
k+1
] − [v∗]) ds =
k+1
] − [v∗]) ds =
k+1
] − r[v∗]) ds =
k+1
∗
∗
)0=
ds =
ds >
64
> A(ev
= A(ev
k+1
− v∗,ev
Таким образом:
k+1
(ev
k+1
− v∗,ev
k+1
− v∗) +
= A(ev
− vk,v∗− ev
k+1
1
r
k+1
− v∗) +
Z
(µ
Γ
K
− v∗,ev
= A(ev
k+1
k+1
)0+
Z
1
r
Γ
K
− l∗)(µ
k+1
− v∗) +
k+1
− v∗,ev
1
r
> A(ev
(µ
Z
Γ
k+1
− l∗)(lk+ r[ev
k+1
− l∗) ds +
Z
1
r
Γ
k+1
k+1
(µ
K
k+1
Z
1
+
r
Γ
K
Z
1
r
Γ
K
k+1
(µ
K
− l∗)(µ
Z
1
− v∗) +
r
Γ
K
− l∗)(lk− µ
− v∗,ev
k+1
k+1])+
(µ
(µ
(µ
k+1
k+1
k+1
k+1
k+1
− (l∗+ r[v∗])
− l∗)(−lk+ l
− l∗)(−lk+ l∗) ds =
− l∗− lk+ l∗) ds =
− l∗)(µ
) ds >
− v∗) > 0.
k+1
+
ds+
∗
ds =
− lk) ds.
(3.36)
Далее имеем:
2
kvk− v∗k
=k(vk− ev
0,Ω
=kvk− ev
2
klk− l∗k
0,Γ
K
=klk− µ
Домножим второе на
kvk− v∗k
= kvk− ev
1
klk− µ
+
2
0,Ω
k+1k2
k+1k2
+
r
Отсюда и из (
kvk− v∗k
> kvk− ev
3.36) вытекает соотношение
+
k+1k2
1
klk− l∗k
r
0,Ω
2
0,Ω
k+1
) + (ev
k+1k2
0,Ω
k+1k2
0,Γ
1
и сложим с первым:
r
1
klk− l∗k
r
+ 2(vk− ev
0,Ω
k+1
+ 2(vk− ev
+ 2(lk− µ
K
2
=
0,Γ
K
k+1
2
+
0,Γ
+
K
1
klk− µ
(lk− µ
r
2
0,Γ
K
>
k+1k2
r
− v∗)k
k+1
k+1
, ev
k+1
, µ
+ kev
0,Γ
K
2
0,Ω
k+1
− v∗)
k+1
, ev
, µ
=
k+1
k+1
− l∗)
k+1
− v∗)
− l∗)
+ kev
0,Ω
0,ΓK)
− v∗k
0,Ω
L2(ΓK)
k+1
+
2
0,Ω
+ kev
− v∗k
1
kµ
r
1
+
r
k+1
+ kev
k+1
k+1
kev
− v∗k
k+1
2
+
0,Ω
− l∗k
− v∗k
2
0,Ω
− v∗k
2
0,Γ
K
2
0,Γ
,
2
0,Γ
K
.
K
,
откуда и следует неравенство (
Из формул для l
kl
k+1
− µ
k+1
6 klk+ r[v
k+1
k+1
k+1
, µ
k
= k(lk+ r[v
0,Γ
K
] − lk− r[ev
3.29).
и из первого шага (
k+1])+
k+1
]k
6 rCk[v
0,Γ
− (lk+ r[ev
= rk[v
K
k+1
65
3.27) следует
k+1])+
k+1
] − [ev
] − [ev
k+1
]k
1,Ω
k
k+1
]k
6 rCδk,
0,Γ
0,Γ
6
K
6
K
где C > 0 –– константа вложения H1(Ω) в L2(Ω). Поэтому
k+1
Из (
3.29) имеем
kz
− w
Неравенство (3.37) дает
k+1
kz
− z∗k06 kz
6
Таким образом:
k+1
kz
kz
− z∗k06p1 + rC2δk+ kzk− z∗k0,
k+2
− z∗k06
. . .
k+p
kz
− z∗k06
k+1k2
k+1
kw
6 δ
1
− z∗k06 kzk− z∗k0.
k+1
2
+
k
− w
1
r2C2δ
r
k+1
2
= (1 + rC2)δ
k
k0+ kw
k+1
− z∗k06
p
1 + rC2δk+ kzk− z∗k0, k = 1,2, . . .
p
1 + rC2δ
k+1
+ kz
k+1
− z∗k0,
p
1 + rC2δ
k+p−1
+ kz
k+p−1
− z∗k0.
2
. (3.37)
k
Суммируя, получаем
kz
k+p
− z∗k06
6
p
1 + rC
p
1 + rC
2
2
p
X
i=1
∞
X
i=1
δ
k+i−1
δ
k+i−1
+ kzk− z∗k06
+ kzk− z∗k0.
Отсюда следует ограниченность в L2(Ω) × L2(ΓK) последовательности
{zk− z∗}. Тогда из (
3.37) вытекает, что и последовательность {wk} ограничена
в L2(Ω) × L2(ΓK).
Пусть li m
k→∞
kz
kzk−z∗k0= lim
n→∞
kn+p
− z∗k06p1 + rC
n
kz
−z∗k0. Неравенство (
∞
X
2
i=1
δ
kn+i−1
+ kz
3.38) при k = knдает
k
n
− z∗k0.
k
Устремив n к бесконечности, для p = 1,2, . . . имеем
(3.38)
или
lim
n→∞
lim
m→∞
kn+p
kz
− z∗k06 lim
kzm− z∗k06 lim
66
kzk− z∗k0,
k→∞
kzk− z∗k0,
k→∞
т. е. lim
m→∞
kzm− z∗k0существует, а это означает сходимость последовательности
{kzk− z∗k}.
Из (3.29) следует
kw
Учитывая (
Теперь из (
k+1
− zkk
3.36) следует
2
6 kzk− z∗k
0
6 kzk− z∗k
2
− kw
0
2
− (kw
0
3.37), при k → ∞ имеем
kw
k+1
k+1
− v∗,ev
lim
k→∞
lim
k→∞
A(ev
k+1
k+1
− z∗k
− z
2
0
k+1
− zkk0= 0.
k+1
− v∗) = 0.
6
k0− kz
k+1
− z∗k0)2.
(3.39)
(3.40)
Следовательно, {wk} ограничена в V × L2(ΓK). Тогда последовательность {evk}
компактна в L2(Ω). Повторно применяя (
3.40), получаем компактность после-
довательности {evk} в V .
Теорема 20. Пусть выполнено условие теоремы 19 и, кроме того, решения evk,
k = 1,2, . . . , вспомогательных задач (
3.28) удовлетворяют условиям
1. evk∈ H2(Ω), k = 1,2, . . . ,
2. kevkk
6 C, C > 0 –– постоянная.
2,Ω
Тогда последовательность {zk} сходится к единственной седловой точке
(v∗,l∗) функционала L(·,·).
Доказательство. Из (
3.40) следует, что
A(v
k+1
− v∗,v
lim
k→∞
k+1
− v∗) = 0.
(3.41)
Так как
k+1−vk
A(ev
то lim
k→∞
A(v
k+1−vk
,ev
k+1
− vk,v
) = A(ev
k+1
k+1−v∗
− vk) = 0, что вместе с равенством (
k+1−v∗
,ev
)+2A(ev
k+1−v∗,v∗−vk
3.39) дает
)+A(v∗−vk,v∗−vk),
lim
k→∞
kw
k+1
− zkk1= 0.
67
(3.42)
Поскольку решение ev
су W
2
(Ω), то оно является решением и краевой задачи
2
k+1
вспомогательной задачи (3.28) принадлежит клас-
σ
α
ij,j
(v) + F
α
− v + vk= 0 в Ω, i,j = 1,2, α =′,′′,
i
σ
= P
α
i
α
α
n
j
ij
на Γ
α
, α =′,′′,
τ
u = 0 на Γu⊂ ∂Ω′,
un= uini= 0 на Γ0⊂ ∂Ω′′,
−σn(v) = (lk+ r[v])
σ
Тем самым равенство −σn(ev
′
τ
k+1
= σ
) = µ
+
на ΓK,
′′
= 0 на ΓK.
τ
k+1
и предположения теоремы гарантиру-
ют компактность последовательности {µk} в L2(ΓK), поэтому последовательность {wk} компактна в V × L2(ΓK).
k
τ
w
= c∗= (a∗,b∗).
k
τ
− c∗k16 kz
k
τ
− w
k
τ
k1+ kw
k
τ
− c∗k1, то из (
3.37) следует, что
lim
τ→∞
Пусть lim
τ→∞
Так как kz
k
τ
kz
− c∗k1= 0. Покажем, что c∗является седловой точкой функционала
Лагранжа L(·,·). Имеем
kτ+1
kw
− c∗k16 kw
тогда с учетом (3.31) получаем, что lim
Тем самым lim
τ→∞
kz
kτ+1
− c∗k1= 0. В формуле l
устремим τ к бесконечности. Тогда из условия lim
kτ+1
τ→∞
− z
kw
k
τ
k1+ kz
kτ+1
− c∗k1= 0.
τ→∞
k
τ
− c∗k1,
kτ+1
k
z
= (l
τ
= lim
k
τ
τ→∞
+ r[v
kτ+1
z
kτ+1])+
= c
в H1(Ω) × L2(ΓK) вытекает, что b∗= (b∗+ r[a∗])+. Это равносильно соотно-
шениям
(3.43)
Равенство (
[a∗] 6 0, b∗> 0, [a∗]b∗= 0.
3.35) равносильно соотношению
Z
k+1
(ev
− vk,v)
0,Ω
+ A(ev
Пусть k = kτ, устремим τ к бесконечности. С учетом (
k+1
,v) − F P (v) +
(lk+ r[ev
Γ
K
k+1])+
[v] ds = 0 ∀v ∈ V.
3.42) получаем
Z
A(a∗,v) − F P (v) +
(b∗+ r[a∗])+[v] ds = 0 ∀v ∈ V,
∗
или
Γ
K
A(a∗,v) − F P (v) +
Z
b∗[v] ds = 0 ∀v ∈ V.
Γ
K
68
Следовательно:
L(a∗,b∗) 6 L(v,b∗) ∀v ∈ V
Совокупность условий (
3.43), (3.44) означает, что точка c∗= (a∗,b∗) явля-
(3.44)
ется седловой для функционала L(·,·).
Ранее было показано существование lim
точки z∗, в том числе и для c∗. Так как lim
τ→∞
m→∞
kz
kzm− z∗k0для любой седловой
k
τ
−c∗k0= 0, то lim
m→∞
kzm−c∗k0= 0.
Вместе с условием (3.41) это означает, что
lim
m→∞
kzm− c∗k1= 0,
т. е. последовательность {zk} сходится к c∗в H1(Ω) × L2(ΓK).
Покажем единственность седловой точки. Из условий 1 и 2 теоремы сле-
дует, что {evk} слабо компактна в H2(Ω). Пусть ea –– слабый предел в H2(Ω)
подпоследовательности {ev
k
к a∗. Значит, {ev
j
}сходится слабо к a∗в H1(Ω).
k
j
}. Но {ev
k
j
} вместе с {v
k
j
} сходится сильно в H1(Ω)
Так как сопряженное к H1(Ω) пространство вложено в сопряженное
к H2(Ω) пространство, то из единственности слабого предела следует, что
ea = a∗и, следовательно a∗∈ H2(Ω). Значит функционал Лагранжа L(·,·)
имеет единственную седловую точку c∗= (v∗, −σn(v∗)), т. е. a∗= v∗,
b∗= −σn(v∗).
3.4 Задача с учетом трения
В рассмотренной ранее задаче (3.1)–(3.7) касательная составляющая век-
тора напряжений на контакте στ= 0. Очевидно, что предположение об
отсутствии трения между Ω′и Ω′′не соответствует реальности, поэтому сле-
дует учитывать его влияние. Обзор коэрцитивного случая задачи контакта двух
тел можно найти в [92]. Мы продолжим рассматривать случай, когда одно из
тел не имеет жесткой фиксации [
93].
Как и ранее, в этой модели присутствуют условия
σ
α
ij,j
(u) + F
α
(u)n
σ
ij
α
= 0 в Ωα, (3.45)
i
α
j
= P
α
i
на Γ
α
, (3.46)
τ
u = 0 на Γu⊂ ∂Ω′, (3.47)
un= uini= 0 на Γ0⊂ ∂Ω′′. (3.48)
69
На ΓKвыполняется условие типа Синьорини:
+ u
′′
6 0, σ
n
′
u
n
′
(u) = σ
n
′′
(u) = σn6 0, (u
n
′
n
′′
)σn= 0. (3.49)
+ u
n
Конечное ненулевое трение на ΓKвыражается законом Кулона:
′
(u) = σ
σ
τ
′′
(u) = στ, |στ| 6 F|σn|, (|στ| − F |σn|)|u
τ
+ u
′′
= λστна {x ∈ ΓK: F σn< 0},
τ
′
u
τ
′
τ
′′
| = 0, (3.50)
+ u
τ
где F –– коэффициент трения, F > 0 на ΓK, λ –– неположительная функция на ΓK.
Решение u ∈ K данной краевой задачи удовлетворяет квазивариационно-
му неравенству
Z
A(u,v − u) +
F|σn|(|v
Γ
K
′
τ
+ v
′′
| − |u
τ
′
τ
′′
|) ds > F P (v − u) ∀v ∈ K. (3.51)
+ u
τ
Основной сложностью при исследовании и построении численных алго-
ритмов решения подобных задач является зависимость силы трения F |σn(u)|
от искомого решения u.
Для решения квазивариационного неравенства применим метод последо-
вательных приближений. Задаем начальную силу трения g0∈ L2(ΓK), g0> 0,
на (m + 1)-м шаге определяем u
m+1
как решение неравенства
Z
A(u
m+1
,v−u
m+1
)+
Γ
K
gm(|v
′
τ
+v
′′
|−|(u
τ
′
τ
+u
′′
τ
m+1
)
|) ds > F P (v−u
m+1
) ∀v ∈ K,
(3.52)
где gm= F |σn(um)|, m = 1,2, . . .
Задачу (
3.52) будем называть задачей с заданным трением. Можно пока-
зать, что она аналогична задаче минимизации функционала
Z
Lm(v) =
1
A(v,v) − FP (v) +
2
gm|v
τ
Γ
K
′
′′
| ds → min
+ v
τ
. (3.53)
v∈K
Каждый итерационный шаг метода последовательных приближений за-
ключается в решении задачи (
нового значения g
ных задач вида (
. Cходимость последовательности решений вспомогатель-
m+1
3.53) к фиксированной точке показана в работе [23].
Для решения задачи (
3.53) при заданной силе трения gmи вычислении
3.53) нами использован рассмотренный ранее моди-
фицированный метод двойственности. Как уже говорилось, помимо решения
70