Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Двойственный подход с модифицированными функционалами Лагранжа для исследования контактных задач механики. Монография.pdf
Можно показать, что каждое классическое решение является слабым.
А если слабое решение является достаточно гладким, то оно будет и класси-
ческим [7].
Если одно из тел зафиксировано (условие (
3.3)), то пространство жестких
перемещений трехмерное
R = {z ∈ H1(Ω): z = (z′,z′′), z′= 0, z
′′
′′
, b′′∈ R1. Оно является ядром билинейной формы A(·,·).
1
, a
2
где a
′′
1
= a
′′
− b′′x2, z
1
′′
2
= a
′′
+ b′′x1}, (3.10)
2
Для доказательства сходимости метода двойственности потребуется коэр-
цитивность функционала потенциальной энергии L (·) на множестве допустимых функций K. Необходимые для этого условия приводятся в теореме 2.4 из
7, с. 127]. Их выполнение гарантирует существование и единственность реше-
[
ния. Далее предполагаем, что условия этой теоремы выполнены (но, возможно,
при этом K ∩ R 6= {0}).
3.2 Модифицированная схема двойственности
В случае, когда K ∩ R 6= {0}, ядро билинейной формы A(·,·) не тривиаль-
но (тело Ω′′имеет одну степень свободы), поэтому нельзя доказать сходимость
классических методов двойственности к седловой точке.
С целью решения задачи (
3.8) мы применяем модифицированные функ-
ционалы Лагранжа. Этот метод двойственности позволяет снять ограничение
′
v
n
+ v
′′
6 0 и вместо минимизации функционала L (·) на K в задаче (3.8) про-
n
водить минимизацию на более широком пространстве V .
3.2.1 Определение модифицированного функционала Лагранжа
Обозначим Km= {v ∈ V : (v
′
n
′′
+ v
) 6 m на ΓK}. Если функция m ∈
n
L2(ΓK) ограничена снизу на ΓK, то соответствующее ей множество Kmне яв-
ляется пустым. Оно может быть пустым, если m ∈ L2(ΓK) \ H
ограничена снизу на ΓK[
15].
1/2
(ΓK) и не
Определим вспомогательный функционал KL(·, · ,·) соотношением
KL(v,l,m) =
L (v) +
+∞, если Km= ∅.
R
lm ds, если Km6= ∅,
Γ
K
51
Тогда для l ∈ (L2(ΓK))+классический функционал Лагранжа можно сформи-
ровать следующим образом:
Z
′′
L(v,l) = inf
m∈L2(ΓK)
KL(v,l,m) = L (v) +
′
l(v
n
Γ
K
+ v
) ds.
n
Теорема 12. Если решение u задачи (
3.8) принадлежит пространству H2(Ω),
то классический функционал Лагранжа L(·,·) обладает седловой точкой (u, −
′
(u)) на V × (L2(ΓK))+, т. е.:
σ
n
L(u,l) 6 L(u, − σ
′
(u)) 6 L(v, − σ
n
Доказательство. Так как (u
′
n
+ u
′′
n
′
(u)) ∀(v,l) ∈ V × (L2(ΓK))+.
n
) 6 0, σ
′
6 0, (u
n
′
n
′′
+ u
)σn= 0, получаем
n
левую часть неравенства седловой точки
Z
L(u,l) =
1
A(u,u) − F P (u) +
2
1
A(u,u) − F P (u) +
=
2
+ u
(−σ
′′
) ds 6
n
′
)(u
n
′
l(u
n
Γ
K
Z
Γ
K
′
n
1
A(u,u) − F P (u) =
2
′′
+ u
) ds = L(u, − σ
n
′
).
n
Чтобы показать выполнение правой части неравенства седловой точки, по-
кажем неотрицательность разности
Z
L(v, − σ
′
) − L(u, − σ
n
Z
=
−
Γ
Ω
Z
K
c
ijkmεij
′
σ
((v
n
′
) = L (v) − L (u) +
n
(u)εkm(v − u) dΩ −
′
n
+ v
′′
) − (u
n
′
n
+ u
′′
)) ds +
n
′
′
(−σ
Γ
K
Z
)((v
n
n
Fi(vi− ui) dΩ −
Ω
Z
1
c
2
ijkmεij
Ω
+ v
′′
) − (u
n
′
n
Z
Pi(vi− ui) ds−
Γ
K
(v − u)εkm(v − u) dΩ.
+ u
′′
)) ds =
n
Здесь первые четыре слагаемых в сумме дают ноль, а пятое слагаемое неотрицательно. Таким образом, (u, − σ
′
) –– седловая точка классического функционала
n
Лагранжа.
Теперь определим функционал KM(·, · ,·)
KM(v,l,m) =
L (v) +
+∞, если Km= ∅,
R
lm ds +
Γ
K
R
r
m2ds, если Km6= ∅,
2
Γ
K
52
и построим модифицированный функционал Лагранжа
Z
r
M(v,l) = inf
m∈L2(ΓK)
K(v,l,m) = inf
m∈L2(ΓK):
′
(v
+v
n
′′
)6m
n
L (v) +
Z
Γ
K
(lm +
m2) ds=
2
1
где r = const > 0, (l + r(v
= L (v) +
= L (v) +
′
n
′′
+ v
))+= max{0, l + r(v
n
2r
1
2r
inf
m∈L2(ΓK):
′
(v
+v
n
Z
Γ
K
′′
Γ
)6m
n
K
(l + r(v
((l + rm)2− l2) ds =
′
n
′
n
+ v
+ v
′′
n
′′
n
))
)}.
2
+
− l
2
ds,
Определение 3. Пара (v∗,l∗) ∈ V × L2(ΓK) называется седловой точкой функционала M(·,·), если выполняется двустороннее неравенство
M(v∗,l) 6 M (v∗,l∗) 6 M (v,l∗) ∀(v,l) ∈ V × L2(ΓK).
Введем функционалы:
(l) = in f
M
M(v) = sup
Если v ∈ K, то выполняется условие (v
M(v,l),
v∈V
l∈L2(ΓK)
M(v,l).
′
′′
+v
n
) 6 0 на ΓK. Тогда KM(v,l,0) =
n
L (v) для всех l ∈ L2(ΓK), и, следовательно, можно точно сказать, что
M(v,l) = inf
m∈L2(ΓK)
KM(v,l,m) 6 L (v) ∀v ∈ K.
Так что получаем
Если (v
′
n
M(v) = sup
′′
+ v
) 6 m, то
n
l∈L2(ΓK)
M(v,l) 6 L (v) ∀v ∈ K. (3.11)
Z
r
KM(v,0,m) = L (v) +
m2ds.
2
Γ
K
Поэтому для всех v ∈ V будет верно следующее:
M(v,0) = inf
m∈L2(ΓK)
KM(v,0,m) = inf
m∈L2(ΓK):
′
(v
+v
n
′′
)6m
n
r
= L (v) +
2
m∈L2(ΓK):
′
(v
+v
n
53
{L (v) +
Z
inf
′′
Γ
)6m
n
Z
r
m2ds} =
2
Γ
K
m2ds > L (v).
K
И теперь получаем
M(v) = sup
l∈L2(ΓK)
Из (
3.11) и (3.12) следует, что
M(v,l) > M(v,0) > L (v) ∀v ∈ V. (3.12)
M(v) = L (v) ∀v ∈ K. (3.13)
Очевидно, что KM(v,l,m) > KL(v,l,m), и, следовательно,
M(v,l) > L(v,l) ∀l ∈ (L2(ΓK))+.
Тогда
M(v) > L(v), где L(v) = sup
l∈(L2(ΓK))
L(v,l).
+
Если v /∈ K, то
L(v) = sup
3.13) и (3.14) следует, что
Из (
l∈(L2(ΓK))
L(v,l) = +∞ (3.14)
+
L (v), если v ∈ K,
M(v) =
+∞, если v /∈ K.
(3.15)
Поэтому, используя модифицированный функционал Лагранжа, можно ис-
ходную задачу представить в виде
M(v) → min
, (3.16)
v∈V
а двойственную –– в виде
M(l) → max
l∈L2(ΓK)
. (3.17)
3.2.2 Функционал чувствительности
На L2(ΓK) определим функционал чувствительности
χ(m) =
v∈K
+∞, если Km= ∅.
L (v), если Km6= ∅,
inf
m
Этот функционал является выпуклым на dom χ. По определению χ(0) =
inf
L (v).
v∈K
54
Теорема 13. Функционал чувствительности χ(·) является слабо полунепрерыв-
ным снизу функционалом на L2(ΓK).
Доказательство. По аналогии с [
109; 15].
Функционал M(·) имеет два представления [60]:
(l) = in f
M
v∈V
L (v) +
1
2r
Z
(l + r(v
Γ
K
Z
′
n
+ v
Z
2
+
′′
))
n
− l
ds
2
, (3.18)
r
M
(l) = inf
m∈L2(ΓK)
χ(m) +
lm ds +
Γ
K
m2ds. (3.19)
2
Γ
K
Первое используется непосредственно в алгоритме поиска седловой точки,
а второе необходимо для доказательства представленных далее теорем.
Теорема 14. Точка (v∗,l∗) тогда и только тогда является седловой точкой модифицированного функционала Лагранжа M (·,·), когда v∗–– решение исходной
задачи (
3.8) и для всех m ∈ L2(ΓK) выполняется неравенство
Z
Z
r
χ(m) +
l∗m ds +
m2ds > χ(0).
2
Γ
K
Γ
K
Доказательство. Предположим, что (v∗,l∗) –– седловая точка M(·,·), это зна-
чит, что выполняется двустороннее неравенство:
M(v∗,l) 6 M (v∗,l∗) 6 M (v,l∗) ∀(v,l) ∈ V × L2(ΓK).
Тогда
sup
l∈L2(ΓK)
M(v∗,l) = M (v∗,l∗) = inf
v∈V
M(v,l∗),
M(v∗) = M (l∗). (3.20)
Кроме того, из определения
Из (
3.20) и (3.21) следует, что v∗–– решение (3.16), а l∗–– решение (3.17). Из
M(·) и M(·) ясно, что
M(v) > sup
inf
v∈V
l∈L2(ΓK)
M(l). (3.21)
(3.15) следует, что v∗–– решение задачи (3.8). Можно записать такую цепочку
равенств:
(l∗) = M (v∗) = χ(0),
M
55
она означает, что
M
(l∗) = inf
χ(m) +
m∈L2(ΓK)
Z
l∗m ds +
Γ
K
{χ(m) +
Z
r
2
Γ
K
Z
Z
r
l∗m ds +
m2ds} = χ(0),
2
Γ
K
Γ
K
m2ds > χ(0) ∀m ∈ L2(ΓK).
Теперь, наоборот, предположим, что v∗= u есть решение задачи (
3.8) и вы-
полняется неравенство
Z
Z
r
χ(m) +
l∗m ds +
m2ds > χ(0) ∀m ∈ L2(ΓK). (3.22)
2
Согласно (
Γ
K
3.19):
Γ
K
Z
Z
r
Вместе с (
M
(l) = inf
3.22) это даёт
m∈L2(ΓK)
M
χ(m) +
(l∗) > χ(0) = M (u).
Γ
K
lm ds +
2
Γ
m2ds.
K
Так как M (v) > M (l), ∀v ∈ V, ∀l ∈ L2(ΓK), то получаем M(l∗) = M (u), или
inf
M(v,l∗) = sup
v∈V
l∈L2(ΓK)
M(u,l).
Очевидно, что для M(u,l∗) выполняется двойное неравенство
inf
M(v,l∗) 6 M (u,l∗) 6 sup
v∈V
l∈L2(ΓK)
M(u,l),
так что получаем (по предположению v∗= u)
inf
M(v,l∗) = M (u,l∗) = sup
v∈V
l∈L2(ΓK)
M(v∗,l),
а это приводит к неравенству седловой точки
M(v∗,l) 6 M (u,l∗) 6 M (v,l∗) ∀(v,l) ∈ V × L2(ΓK).
Теорема 15. Пусть u ∈ H2(Ω). Тогда (u, −σ
′
(u)) –– седловая точка модифи-
n
цированного функционала Лагранжа M(·,·).
56
Доказательство. По теореме 12
L(u,l) 6 L(u, − σ
Это означает, что
sup
l∈(L2(ΓK))
L(u,l) = L(u, − σ
+
Теперь
L(u) = sup
′
L(u, − σ
) = inf
n
= infminfvKL(v, − σ
l∈(L2(ΓK))
L(v, − σ
v∈V
′
) 6 L(v, − σ
n
′
) = inf
n
v∈V
′
n
L(v, − σ
L(u) = L(u, − σ
L (u) +
+
′
,m) = inf
n
′
) = inf
n
Γ
v∈V
m
= inf
m
Z
l(u
K
m∈L2(ΓK)
′
(v
n
χ(m) +
) ∀(v,l) ∈ V × (L2(ΓK))+.
′
) ∀(v,l) ∈ V × (L2(ΓK))+.
n
′
) = L(−σ
n
′
+ u
n
inf
inf
v∈V :
′′
+v
)6m
n
′
).
n
′′
) ds= L (u) = χ(0),
n
′
KL(v, − σ
L (v) +
Z
(−σ
Γ
K
,m) =
n
Z
Γ
K
′
)m ds.
n
(−σ
′
)m ds=
n
Из написанного следует, что
χ(0) = inf
или
χ(m) +
Z
(−σ
Γ
K
На основании того, что
Z
′
χ(m) +
и теоремы
(−σ
Γ
K
14, делаем вывод: (u, −σ
)m ds +
n
функционала Лагранжа M(·,·).
χ(m) +
m
′
)m ds > χ(0) ∀m ∈ L2(ΓK).
n
Z
′
(−σ
Γ
K
)m ds
n
Z
r
m2> χ(m) +
2
Γ
K
′
) –– седловая точка модифицированного
n
Γ
Z
K
(−σ
′
)m ds > χ(0)
n
57
Рассмотрим функционал, построенный при фиксированном l ∈ L2(ΓK)
Z
Z
r
Fl(m) = χ(m) +
lm ds +
m2ds, r > 0 –– const.
2
Γ
K
Γ
K
Благодаря третьему слагаемому этот функционал является сильно выпуклым,
а с учетом теоремы
13 еще и слабо полунепрерывным в L2(ΓK).
Так как χ(·) слабо полунепрерывный снизу в L2(ΓK), его надграфик epi χ ––
выпуклое замкнутое множество в L2(ΓK) × R, R = (−∞, + ∞). По теореме
отделимости существуют такие α ∈ L2(γ) и a ∈ R, что
Z
αm ds + χ(m) + a > 0 ∀m ∈ dom χ.
Γ
K
Следовательно, для функционала Fl(·) справедлива оценка
Z
Z
Z
r
Fl(m) > −
αm ds +
lm ds +
m2ds − a ∀m ∈ L2(ΓK),
2
Γ
K
Γ
K
Γ
K
поэтому Fl(m) −→ +∞ при kmk
−→ ∞, т. е. Fl(·) коэрцитивен в L2(ΓK).
0,Γ
K
Из слабой полунепрерывности снизу и коэрцитивности Fl(·) следует существование элемента m(l) = argmin
m∈L2(ΓK)
Fl(m). А сильная выпуклость Fl(·) на
dom χ обеспечивает единственность элемента m(l) для любого l ∈ L2(ΓK).
Теорема 16. Двойственный функционал M
(·) непрерывен в L2(ΓK).
Доказательство. Для любого m ∈ dom χ сильная выпуклость Fl(·) дает
χ(m(l)) +
Z
lm(l) ds +
Γ
K
Z
r
2
Γ
K
m2(l) ds +
Z
r
km − m(l)k
2
2
6
0,Γ
K
Z
r
6 χ(m) +
lm ds +
m2ds.
2
Γ
K
Γ
K
58
Возьмем два произвольных элемента l1, l2∈ L2(ΓK) и пусть m1= m(l1),
m2= m(l2). Тогда из последнего неравенства следует
Z
χ(m1) +
l1m1ds +
Γ
K
Z
χ(m2) +
l2m2ds +
Γ
K
Складывая неравенства (
rkm1− m2k
Z
r
2
Γ
2
ds +
m
1
K
Z
r
km2− m1k
2
r
6 χ(m2) +
l1m2ds +
2
Γ
m
2
ds +
2
Z
K
r
km1− m2k
2
Z
r
2
Γ
K
Γ
r
6 χ(m1) +
l2m1ds +
2
Γ
K
Γ
3.23), получаем неравенство
Z
2
0,Γ
6
K
(l1− l2)(m2− m1) ds,
Γ
K
2
6
0,Γ
K
Z
2
m
ds,
2
K
2
6
0,Γ
K
(3.23)
Z
2
ds.
m
1
K
которое дает оценку:
1
Из неравенств (
Z
l2(m2− m1) ds +
Γ
K
km1− m2k
0,Γ
K
6
r
kl1− l2k
3.23) также получается соотношение
Z
6
r
2
Γ
Z
Γ
K
2
(m
2
K
− m
2
) ds 6 χ(m1) − χ(m2) 6
1
l1(m2− m1) ds +
. (3.24)
0,Γ
K
Z
r
2
Γ
2
(m
2
K
− m
2
) ds.
1
Перейдем в этом соотношении к пределу при l2−→ l1в L2(ΓK). С учетом
3.24) получаем
(
lim
χ(m2) = χ(m1).
l2→l
1
Отсюда следует вывод, что функционал M(·) непрерывен в L2(ΓK).
Теорема 17. Двойственный функционал M (·) дифференцируем по Гато
в L2(ΓK) и его производная ∇M
(·) удовлетворяет условию Липшица с кон-
стантой 1/r, т. е.
1
k∇M
(l1) − ∇M (l2)k
0,Γ
kl1− l2k
6
K
r
0,Γ
K
∀l1,l2∈ L2(ΓK).
59
Доказательство. Из непрерывности вогнутого функционала M(·) следует его
субдифференциреумость. Пусть t ∈ ∂M
(l) –– некоторый субдифференциал для
l ∈ L2(ΓK), тогда для любого ξ ∈ L2(ΓK) справедливо соотношение
(ξ) 6 M (l) + (t,ξ − l)
M
0,Γ
,
K
из которого получаем неравенство
Z
Z
r
χ(m(ξ)) +
ξm(ξ) ds +
m2(ξ) ds 6
2
Γ
K
Z
Γ
K
Z
r
6χ(m(l)) +
lm(l) ds +
Γ
K
Z
m2(l) ds + (t,ξ − l)
2
Γ
K
Z
0,Γ
6
K
r
6χ(m(ξ)) +
lm(ξ) ds +
Γ
K
m2(ξ) ds + (t,ξ − l)
2
Γ
K
0,Γ
.
K
Из этого следует, что
Z
m(ξ)(ξ − l) ds 6 (t,ξ − l)
Γ
K
0,Γ
∀ξ ∈ L2(ΓK).
K
Для произвольных h ∈ L2(ΓK) и β > 0 положим ξ = l + βh. Тогда послед-
нее неравенство запишется:
Z
m(l + βh)h ds 6 (t,h)
Γ
K
Устремляя β к нулю и учитывая (
0,Γ
K
3.24), получаем
∀h ∈ L2(ΓK).
Z
m(l)h ds 6 (t,h)
Γ
K
0,Γ
K
∀h ∈ L2(ΓK),
и следовательно:
Z
m(l)h ds = (t,h)
0,Γ
K
∀h ∈ L2(ΓK).
Γ
K
В силу единственности элемента m(l) для любого l ∈ L2(ΓK) из полученного равенства следует, что функционал M
в L2(ΓK), причем ∇M
(l) = t = m(l). Неравенство (3.24) дает константу Лип-
(·) дифференцируем по Гато
шица, завершая доказательство теоремы.
60