Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Двойственный подход с модифицированными функционалами Лагранжа для исследования контактных задач механики. Монография.pdf
Домножив их соответственно на (1 − λ) и λ (при 0 6 λ 6 1), а затем сложив,
получим:
−(1 − λ)[v′] − λ[v′′] 6 (1 − λ)m′+ λm′′, λ ∈ (0,1).
Тогда имеем
χ((1 − λ)m′+ λm′′) = inf
−[v]6(1−λ)m′+λm
J(v) 6
′′
6 J ((1 − λ)[v′] + λ[v′′]) 6 (1 − λ)J(v′) + λJ(v′′) =
= (1 − λ)χ(m′) + λχ(m′′).
Лемма 1. Если {ui} –– ограниченная последовательность в H1(Ωγ), то {[ui]}
является компактной последовательностью в L2(γ).
Доказательство. Будем считать, что γ может быть продолжена до пересече-
ния с внешней границей Γ так, что область Ω разбивается на две подобласти ––
Ω′, Ω′′, с липшицевыми границами ∂Ω′, ∂Ω′′соответственно, при этом γ+=
∂Ω′′∩γ, γ−= ∂Ω′∩γ (рисунок
и H1(Ω′′) ⊂ H
1/2
(∂Ω′′) ⊂ H
1/2(γ+
2.2). Вложения H1(Ω′) ⊂ H
1/2
(∂Ω′) ⊂ H
) непрерывны, –– следовательно, справедли-
1/2(γ−
вы следующие оценки для норм
ku′k
1/2(γ−
H
6 C1ku′k
)
H1(Ω′)
,
)
ku′′k
1/2(γ+
H
6 C2ku′′k
)
H1(Ω′′)
,
где u′, u′′–– сужения некоторой функции u (возможно, принимающей на γ−и γ
разные значения) на областях Ω′и Ω′′соответственно.
✻
Ω
Ω
′′
′
✩
✪
✲
✬
Ω
✫
γ
Рисунок 2.2 –– Предположение о возможном разбиении области Ω
Возведя эти неравенства во вторую степень и сложив, получим
ku′′k
2
1/2(γ+
H
+ ku′k
)
2
1/2(γ−
H
6 C2ku′′k
)
2
H1(Ω′′)
+ C1ku′k
2
H1(Ω′)
, C1,C2> 0,
+
31
или иначе ku+k
2
H
1/2
+ ku−k
(γ)
Из известного неравенства ku − vk
2
H
1/2
6 max{C1,C2}kuk
(γ)
2
6 2(kuk
X
2
+ kvk
X
2
H1(Ωγ)
.
2
) получаем
X
ku+k
2
H
1/2
+ ku−k
(γ)
2
H
1/2
(γ)
1
>
ku+− u−k
2
2
H
1/2
(γ)
.
Здесь в правой части – норма скачка функции. Таким образом, мы пришли
p
к неравенству k[u] k
H
1/2
6 Ckuk
(γ)
H1(Ωγ)
, где C =
2 max{C1,C2}.
Это означает, что если {ui} является ограниченной последовательностью
в H1(Ωγ), то {[ui]} –– ограниченная последовательность в H
Пространство H
1/2
(γ) компактно вкладывается в пространство L2(γ), из
1/2
(γ).
чего следует, что {[ui]} является компактной последовательностью в L2(γ).
Теорема 6. Функционал чувствительности χ(·) является слабо полунепрерыв-
ным снизу функционалом на L2(γ).
Доказательство. Так как функционал χ(·) выпуклый, то для доказательства
теоремы достаточно показать, что он полунепрерывен снизу (в смысле сходимости по норме) в L2(γ). Возьмем произвольную сходящуюся последовательность
{mi} ⊂ L2(γ), пусть
m = l i m
mi. Функционал чувствительности χ(·) будет по-
i→∞
лунепрерывным снизу, если выполняются условия:
1. lim
2. lim
χ(mi) = +∞ при m /∈ dom χ;
i→∞
χ(mi) > χ(
i→∞
m) при m ∈ dom χ.
Рассмотрим поочередно оба случая. При доказательстве можно ограни-
читься последовательностью {mi} из эффективной области χ(·), mi∈ dom χ,
так как вне этой области функционал принимает значение +∞ и неравенство
полунепрерывности снизу выполняется.
1. Пусть m /∈ dom χ. Рассмотрим последовательность {u
argmin
v∈K
следовательности {u
J(v).
m
i
Докажем, что lim
i→∞
ku
k
m
H1(Ωγ)
i
} существует ограниченная подпоследовательность. Не
m
i
= +∞. Допустим противное: т. е. пусть у по-
ограничивая общности, полагаем что сама последовательность {u
на в H1(Ωγ). В силу леммы
1/2
в L2(γ). Пусть t ∈ H
(γ) есть слабая предельная точка этой последовательно-
00
1 {[u
]} является компактной последовательностью
m
i
сти, которую, не ограничивая общности, мы будем считать слабым пределом
}, где u
m
i
} ограниче-
m
i
m
=
i
1
.
Тогда {[u
1
Определение пространства H
]} сходится к t по норме в L2(γ).
m
i
1/2
(γ) можно найти в [
00
32
47].
Так как mi−→ m в L2(γ) и u
−→ t в L2(γ), то из условия −[u
m
i
] 6 m
m
i
i
следует, что − t 6
m, а это означает, что K
противоречие показывает, что lim
i→∞
ku
m
k
H1(Ωγ)
i
6= ∅ или
m
= +∞.
m ∈ dom χ. Полученное
В силу коэрцитивности функционала J(·) получаем
lim
χ(mi) = l i m
i→∞
i→∞
J(u
) = +∞.
m
i
2. Пусть теперь m ∈ dom χ. Из последовательности {mi} выделим подпо-
следовательность {mj} ⊂ {mi}, для которой
lim
χ(mj) = l i m
j→∞
Как и в предыдущем пункте, рассмотрим последовательность {u
argmin
v∈K
J(v).
m
j
Если последовательность {u
} не является ограниченной в H1(Ωγ), то
m
j
в силу коэрцитивности функционала J(u
χ(mi).
i→∞
) −→ +∞, а тогда lim
m
i
}, где u
m
j
χ(mi) = +∞
i→∞
и требуемое неравенство полунепрерывности снизу выполняется.
m
=
j
В случае, если последовательность {u
} ограничена в H1(Ωγ), вновь про-
m
j
ведем рассуждения из первого пункта доказательства и получим −t 6
Пусть eu = argmin
J(u
) − J(eu) =
m
j
Z
1
=
|∇eu + (u
2
Ω
γ
Z
[v]=t на γ
J(v). Имеем
Z
1
|∇u
2
Ω
γ
− eu)|2dΩ −
m
j
m
|2dΩ −
j
Z
Z
fu
Ω
γ
Z
1
|∇eu|2dΩ −
2
Ω
γ
m
j
dΩ −
Z
1
|∇eu|2dΩ +
2
Ω
γ
Z
f(u
Ω
γ
Z
− eu) dΩ =
m
j
Z
Ω
γ
1
=
Ω
γ
∇eu∇(u
− eu) dΩ +
m
j
|∇(u
2
Ω
Z
γ
− eu)|2dΩ −
m
j
f(u
Ω
γ
− eu) dΩ =
m
j
1
= hΘ,[u
где
− eu]i +
m
j
|∇(u
2
Ω
γ
− eu)|2dΩ,
m
j
Z
Z
m.
f eu dΩ =
и при этом Θ ∈ H
−1/2
00
hΘ,[v]i =
(γ) [
7; 47].
∇eu∇v dΩ −
Ω
γ
33
Ω
γ
fv dΩ,
Так как {[u
]} слабо сходится к t в H
m
j
слабого предела имеем
Поэтому справедлива оценка
lim
j→∞
hΘ,[u
− eu]i = 0.
m
j
1/2
(γ), то в силу единственности
00
lim
j→∞
J(u
) > J(eu) > χ(
m
j
m)
и, следовательно,
χ(mj) > χ(
lim
j→∞
m).
2.2.3 Свойства модифицированного функционала
Двойственный функционал имеет два эквивалентных представления [60]:
M(l) = inf
v∈H
1
Γ
(Ωγ)
J(v) +
2r
Z
Z
1
(l − r[v])
γ
2
+
Z
− l
ds
2
, (2.11)
r
(l) = inf
M
m∈L2(γ)
χ(m) +
lm ds +
γ
m2ds, (2.12)
2
γ
где χ(·) –– определенный ранее функционал чувствительности.
Запись (
точки, а запись (
2.11) используется непосредственно в алгоритмах поиска седловой
2.12) –– в доказательстве нескольких следующих теорем.
Теорема 7. Точка (v∗,l∗) тогда и только тогда является седловой точкой модифицированного функционала Лагранжа M (·,·), когда v∗–– решение исходной
задачи (
2.2) и для всех m ∈ L2(γ) выполняется неравенство
Z
Z
r
χ(m) +
l∗m ds +
m2ds > χ(0).
2
γ
γ
Доказательство. Предположим, что (v∗,l∗) –– седловая точка M (·,·), значит,
выполняется двустороннее неравенство:
M(v∗,l) 6 M (v∗,l∗) 6 M (v,l∗) ∀(v,l) ∈ H
1
(Ωγ) × L2(γ).
Γ
Тогда
sup
l∈L2(γ)
M(v∗,l) = M (v∗,l∗) = inf
v∈H
1
Γ
34
M(v,l∗),
(Ωγ)
M(v∗) = M (l∗). (2.13)
Кроме того, из определения
Из (
2.13) и (2.14) ясно, что v∗–– решение (2.8), а l∗–– решение (2.9). Теперь
из (
2.7) следует, что v∗–– решение задачи (2.2). Можно записать такую цепочку
M(·) и M(·) ясно, что
inf
v∈H
M(v) > sup
1
(Ωγ)
Γ
l∈L2(γ)
M(l). (2.14)
равенств:
M(l∗) = M (v∗) = χ(0),
это означает, что
Z
Z
r
(l∗) = inf
M
m∈L2(γ)
Z
{χ(m) +
Z
l∗m ds +
γ
m2ds} = χ(0),
2
γ
r
χ(m) +
l∗m ds +
m2ds > χ(0) ∀m ∈ L2(γ).
2
γ
γ
Теперь, наоборот, предположим, что v∗= u есть решение задачи (2.2) и вы-
полняется неравенство
Z
Z
r
χ(m) +
l∗m ds +
m2ds > χ(0) ∀m ∈ L2(γ). (2.15)
2
γ
Z
Z
Согласно (
γ
2.12):
r
M
Вместе с (
(l) = inf
2.15) это даёт
m∈L2(γ)
Так как M (v) > M(l), ∀v ∈ H
χ(m) +
M
(l∗) > χ(0) = M (u).
1
(Ωγ), ∀l ∈ L2(ΓK), получаем M(l∗) =
Γ
lm ds +
γ
m2ds.
2
γ
M(u), или
inf
v∈H
M(v,l∗) = sup
1
(Ωγ)
Γ
M(u,l).
l∈L2(γ)
Очевидно, что для M(u,l∗) выполняется двойное неравенство
inf
v∈H
M(v,l∗) 6 M (u,l∗) 6 sup
1
(Ωγ)
Γ
M(u,l).
l∈L2(ΓK)
35
Так что получаем (по предположению v∗= u)
inf
v∈H
M(v,l∗) = M (u,l∗) = sup
1
(Ωγ)
Γ
это приводит нас к неравенству седловой точки
M(v∗,l) 6 M (u,l∗) 6 M (v,l∗) ∀(v,l) ∈ H
Теорема 8. Пусть u ∈ H2(Ωγ), тогда (u, −
∂u
) –– седловая точка модифициро-
∂n
ванного функционала Лагранжа M(·,·).
Доказательство. По теореме
∂u
L(u,l) 6 L(u, −
) 6 L(v, −
∂n
5:
∂u
) ∀(v,l) ∈ H
∂n
Это означает, что
l∈L2(ΓK)
M(v∗,l),
1
(Ωγ) × L2(γ).
Γ
1
(Ωγ) × (L2(γ))+.
Γ
Мы имеем
L(u, −
sup
l∈(L2(γ))
L(u,l) = L(u, −
+
L(u) = sup
l∈(L2(γ))
∂u
) = inf
∂n
v∈H
1
(Ωγ)
Γ
= infminfvKL(v, −
L(u) = L(u, −
J(u) −
+
∂u
L(v, −
) = inf
∂n
∂u
,m) = inf
∂n
= inf
∂u
) = inf
∂n
∂u
) = L
∂n
v∈H
(−
1
(Ωγ)
Γ
L(v, −
∂u
).
∂n
Z
l[u] ds= J (u) = χ(0).
γ
v∈H
m
1
(Ωγ)
Γ
v∈H
−[v]6m
inf
m∈L2(γ)
inf
1
(Ωγ):
Γ
KL(v, −
J(v) +
Z
∂u
χ(m) +
m
(−
∂n
γ
∂u
),
∂n
∂u
,m) =
∂n
Z
∂u
(−
∂n
γ
)m ds.
)m ds=
Из написанного следует, что
χ(0) = infm{χ(m) +
36
Z
∂u
(−
)m ds}
∂n
γ
или
χ(m) +
На основании того, что
Z
χ(m) +
(−
γ
∂u
)m ds +
∂n
Z
∂u
(−
)m ds > χ(0) ∀m ∈ L2(γ).
∂n
γ
Z
r
m2> χ(m) +
2
γ
Z
∂u
(−
)m ds > χ(0),
∂n
γ
и теоремы
7 делаем вывод: (u, −
∂u
) –– седловая точка модифицированного
∂n
функционала Лагранжа M(·,·).
Рассмотрим функционал, построенный при фиксированном l ∈ L2(γ)
Z
Z
r
Fl(m) = χ(m) +
lm ds +
m2ds, r > 0 –– const.
2
γ
γ
Благодаря третьему слагаемому этот функционал является сильно выпуклым,
а с учетом теоремы
6 он еще и слабо полунепрерывный в L2(γ).
Так как χ(·) слабо полунепрерывный снизу в L2(γ), его надграфик epi χ
есть выпуклое замкнутое множество в L2(γ) × R, R = (−∞, + ∞) . По теореме
отделимости существуют такие α ∈ L2(γ) и a ∈ R, что
Z
αm ds + χ(m) + a > 0 ∀m ∈ dom χ.
γ
Следовательно, для функционала Fl(·) справедлива оценка
Z
Z
Z
r
Fl(m) > −
αm ds +
lm ds +
m2ds − a ∀m ∈ L2(γ),
2
γ
γ
γ
поэтому Fl(m) −→ +∞ при kmk
−→ ∞, т. е. Fl(·) коэрцитивен в L2(γ).
L2(γ)
Из слабой полунепрерывности снизу и коэрцитивности Fl(·) следует существование элемента m(l) = argmin
m∈L2(γ)
Fl(m). А сильная выпуклость Fl(·) на dom χ
обеспечивает единственность элемента m(l) для любого l ∈ L2(γ).
Теорема 9. Двойственный функционал M
(·) непрерывен в L2(γ).
Доказательство. Для любого m ∈ L2(γ) сильная выпуклость Fl(·) дает
χ(m(l)) +
Z
lm(l) ds +
γ
Z
r
m2(l) ds +
2
γ
r
km − m(l)k
2
Z
Z
2
L2(γ)
6
r
6 χ(m) +
lm ds +
m2ds.
2
γ
γ
37
Возьмем два произвольных элемента l1, l2∈ L2(γ) и пусть m1= m(l1),
m2= m(l2). Тогда из последнего неравенства следует
Z
χ(m1) +
l1m1ds +
γ
Z
χ(m2) +
l2m2ds +
γ
Складывая неравенства (
rkm1− m2k
Z
r
2
2
m
ds +
1
γ
r
km2− m1k
2
Z
r
6 χ(m2) +
l1m2ds +
2
m
2
ds +
2
γ
r
km1− m2k
2
Z
Z
r
2
γ
r
6 χ(m1) +
l2m1ds +
2
γ
2.16), получаем неравенство
Z
2
6
L2(γ)
(l1− l2)(m2− m1) ds,
γ
Z
γ
Z
γ
2
L2(γ)
2
m
2
2
L2(γ)
2
m
1
6
ds,
(2.16)
6
ds.
дающее оценку
1
Из неравенств (
Z
l2(m2− m1) ds +
γ
km1− m2k
L2(γ)
6
r
kl1− l2k
2.16) также получается соотношение
Z
6
r
2
γ
Z
(m
2
2
l1(m2− m1) ds +
γ
− m
2
) ds 6 χ(m1) − χ(m2) 6
1
. (2.17)
L2(γ)
Z
r
2
γ
(m
2
2
− m
2
) ds.
1
Перейдем в этом соотношении к пределу при l2−→ l1в L2(γ). С учетом (
получаем
lim
χ(m2) = χ(m1).
l2→l
1
Отсюда делаем вывод, что функционал M
(·) непрерывен в L2(γ).
2.17),
Теорема 10. Двойственный функционал M (·) дифференцируем по Гато
в L2(γ), его производная ∇M
(l) = argmin
m∈L2(γ)
Fl(m) удовлетворяет условию
Липшица с константой 1/r, т. е.
1
k∇M
(l1) − ∇M (l2)k
L2(γ)
6
r
kl1− l2k
L2(γ)
∀l1,l2∈ L2(γ).
38
Доказательство. Из непрерывности вогнутого функционала M(·) следует его
субдифференциреумость. Пусть t ∈ ∂M
(l) –– некоторый субдифференциал для
l ∈ L2(γ). Тогда для любого ξ ∈ L2(γ) справедливо соотношение
M(ξ) 6 M(l) + (t,ξ − l)
0,γ
,
из которого получаем неравенство
Z
Z
r
χ(m(ξ)) +
ξm(ξ) ds +
m2(ξ) ds 6
2
γ
Z
γ
Z
r
6χ(m(l)) +
lm(l) ds +
γ
Z
m2(l) ds + (t,ξ − l)
2
γ
Z
0,γ
r
6χ(m(ξ)) +
lm(ξ) ds +
γ
m2(ξ) ds + (t,ξ − l)
2
γ
0,γ
Из этих неравенств следует, что
6
.
Z
m(ξ)(ξ − l) ds 6 (t,ξ − l)
γ
∀ξ ∈ L2(γ).
0,γ
Для произвольных h ∈ L2(γ) и β > 0 положим ξ = l+βh. Тогда последнее
неравенство запишется в виде
Z
m(l + βh)h ds 6 (t,h)
γ
Устремляя β к нулю и учитывая (
2.17), получаем
∀h ∈ L2(γ).
0,γ
Z
следовательно,
m(l)h ds 6 (t,h)
γ
Z
m(l)h ds = (t,h)
∀h ∈ L2(γ),
0,γ
∀h ∈ L2(γ).
0,γ
γ
В силу единственности элемента m(l) для любого l ∈ L2(γ), из полученного равенства следует, что функционал M
(·) дифференцируем по Гато в L2(γ),
причем ∇M(l) = t = m(l). Неравенство (2.17) дает константу Липшица, завер-
шая доказательство теоремы.
39
Вычисление M (l) само по себе требует решения экстремальной задачи. Но
поскольку градиент функционала M
двойственной задачи (
2.9) можно использовать градиентный метод [15; 53; 56]
k+1
l
= lk+ θkm(lk), k = 0,1,2, . . . (2.18)
с любым начальным l0∈ L2(γ), шагом θk∈ [β,2r − β], при β ∈ (0,r]
и градиентом m(lk) = ∇M
(lk) = argmin
(·) Липшиц-непрерывен, то для решения
m∈L2(γ)
χ(m) +
R
lkm ds +
γ
R
r
m2ds.
2
γ
Теорема 11. Для алгоритма (2.18) выполняется предельное равенство
lim
km(lk)k
k→∞
L2(γ)
= 0.
Доказательство. Функция M(·) ограничена сверху величиной χ(0), принима-
ющей конечное значение в случае разрешимости исходной задачи. Из теоремы
10 следует, что для M (·) выполняется равенство
1
Z
M
(l + h) − M(l) =
hm(l + th),hi dt,
0
поэтому можно построить доказательство аналогично [
Алгоритм (2.18) переписывается следующим образом [60]:
(i) u
(ii) l
k+1
= argmin
k+1
= lk+ θkmax− [u]
v∈H
1
(Ωγ)
Γ
J(v) +
1
2r
Z
γ
k+1
(lk− r[v])
k
l
, −
+
,
r
l0∈ L2(γ), θk∈ [β,2r − β], β ∈ (0 ,r].
Можно показать, что при условии разрешимости задачи (
(
2.19) дает сходимость по функционалу J(·), т. е.
lim
J(uk) = min
k→∞
J(v) = J (u∗),
v∈K
56, с. 31].
2
− (lk)
ds
2
(2.19)
2.12) алгоритм
здесь u∗–– решение задачи (
2.2).
С одной стороны, слабая полунепрерывность χ(·) обеспечивает выполне-
ние неравенства
Z
Z
r
lim
k→∞
χ(m(lk))+
lkm(lk) ds+
γ
m2(lk) ds= lim
2
γ
χ(m(lk)) > χ(0) = J(u∗).
k→∞
40