Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Двойственный подход с модифицированными функционалами Лагранжа для исследования контактных задач механики. Монография.pdf
1.2б), на границе области конечные элементы являются усеченными. Мно-
жество индексов узлов триангуляции обозначим I, а множество индексов
граничных узлов –– IΓ.
x
2
✻
а) Разбиение области
△2
△3
4
△4
△5
△6
5 6
✲
x
1
б) Обозначение узлов конечного
элемента
△1
23
1
Рисунок 1.2 –– Триангуляция T
h
Для каждого конечного элемента зададим базисную функцию по формуле
1 +
1 +
1 +
1 +
1 +
1 +
xi−x
, (x,y) ∈ △1,
h
yi−y
, (x,y) ∈ △2,
h
x−x
h
x−x
h
y−y
h
xi−x
h
yi−y
i
+
i
, (x,y) ∈ △4,
i
, (x,y) ∈ △5,
+
, (x,y) ∈ △3,
h
y−y
i
, (x,y) ∈ △6.
h
ϕi(x,y) =
P
Линейная оболочка базисных функций Vh= {vh: vh=
vkϕk, vk∈ R}. Соот-
k∈I
ветственно множество K заменяется на Kh= {vh∈ Vh: vh> 0 на Γ}.
Полученную дискретную задачу J (vh) → min
vh∈K
перепишем в виде
h
I(y) =
b
Kh= {y ∈ R
1
hAy,yi − hF,yi → min
2
|I|
: yi> 0 если i ∈ IΓ},
y∈bK
,
h
(1.15)
(1.16)
здесь A –– матрица жесткости, F –– вектор нагрузки, рассчитываемые по фор-
мулам
A =
Z
∇ϕi∇ϕjdΩ
Ω
i,j∈I
, F =
Z
fϕidΩ
Ω
.
i∈I
Обозначение h·,·i используется для скалярного произведения в евклидовом про-
странстве R
|I|
.
21
Минимизируемая функция I(·) и ограничения (−yi6 0 для i ∈ IΓ) –– вы-
пуклые. МножествоbKhкомпактное. Выполнение условия (
существование решения. Используем для решения задачи (
1.16) описанный ра-
нее метод модифицированных функций Лагранжа.
Функция Лагранжа определена на множестве R
X
j∈I
(pj− ryj)
Γ
M(y,p) =
1
hAy,yi − hF,yi +
2
1
2r
|I|
× R
|Ia|
+
Метод Удзавы для поиска седловой точки
(i) y
(ii) p
Запишем алгоритм (
1 repeat
2 y
k+1
k+1
j
k+1
= argmin
= argmin
|I|
y∈R
k
= p
+ θ max{−y
j
|I|
y∈R
M(y,pk),
k
p
k+1
j
, −
j
}, j =
r
1.17) при помощи псевдокода.
2r
P
1
i∈I
Γ
1
hAy,yi − hF,yi +
2
1,|IΓ|, θ ∈ (0,2r).
k
(p
− ryi)
i
1.14) гарантирует
2
− p
2
.
j
(1.17)
2
+
− (p
k
2
)
i
;
3 for j ∈ I
j∈I
k+1
j
Γ
4 p
5 end
6 until max
|p
do
Γ
= p
k+1
j
k
+ r max− y
j
k
− p
| 6 1000 · ε · h;
j
k+1
j
, −
k
p
j
;
r
Алгоритм 1: Задача Синьорини.
Функция M(·,·) непрерывно дифференцируема по yi(i ∈ I), при этом
P
∂M(y,p)
∂y
i
=
Aijyj− Fi, i ∈ I \ IΓ,
j∈I
P
Aijyj− Fi− (pi− ryi)+, i ∈ IΓ.
j∈I
Значит, на первом шаге алгоритма можно применить модификацию метода поточечной релаксации. Для внутренних узлов (i ∈ I \ IΓ) расчетная формула
y
k+1
i
= −
A
X
1
(
ii
j<i
Aijy
k+1
i
+
X
j>i
Aijy
k
− Fi).
i
Для граничных узлов предварительно вычисляется:
ψi= −
A
X
1
(
ii
j<i
Aijy
k+1
i
+
X
Aijy
j>i
22
k
− Fi),
i
далее полагается
ψi, если ψi>
=
−
1
Aii+r
(
P
j<i
Aijy
k+1
i
+
P
j>i
Aijy
k
− Fi− p
i
k
i
y
k+1
i
Критерий остановки счета в методе поточечной релаксации:
), если ψi<
k
p
i
,
r
k
p
i
.
r
max
i∈I
|y
k+1
i
− y
k
| 6 ε · h.
i
Значение двойственной переменной на втором шаге можно пересчитывать
по формуле
p
k+1
j
= (p
k
j
− θy
k+1
)+, j ∈ IΓ.
j
1.3.3 Результаты вычислительных экспериментов
Коэффициенты матрицы A рассчитываются точно, коэффициенты векто-
ра F –– методом численного интегрирования (значения функции f показаны на
рисунке
1.1).
Расчеты проведены при ε = 10−4, r = 150 для разного шага триангуляции.
В таблице 1 представлено количество итераций для внутреннего и внешнего
цикла, а также время счета (хотя оно и не показательно, поскольку зависит
от ЭВМ).
Таблица 1 –– Число итераций метода при разном шаге триангуляции
Шаг сетки h 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256
Число внешних итераций 2 2 2 2 2 2
Число внутренних итерации 440 1934 7925 30014 103056 321979f
1
Время выполнения, (с) 0 0 0 14 196 2339
Число внешних итераций 2 2 2 2 2 2
Число внутренних итерации 108 481 478 3080 4628 14551f
2
Время выполнения, (с) 0 0 0 1 8 107
Число внешних итераций 1 1 2 2 2 2
Число внутренних итерации 27 123 569 2554 11357 50016f
3
Время выполнения, (с) 0 0 0 1 21 368
На рисунке 1.3 изображено решение задачи для f1при h =
32
1
.
23
0
0.5
1
0
0.5
1
0
0.84
1
Рисунок 1.3 –– Решение задачи Синьорини для f1(h = 1/32)
0
0.5
1
0
0.5
1
−0.1
0
0.1
0
0.5
1
0
0.5
1
−0.1
0
0.1
На первом шаге алгоритма
лаксации с проектированием [
триангуляции h =
1
он приводит к решению задачи с f1за 30001 итерацию.
64
1 можно использовать метод поточечной ре-
5]. Для сравнения: при той же точности и шаге
Решение задач для f2и f3представлено на рисунке
а) Решение для f
2
1.4.
б) Решение для f
3
Рисунок 1.4 –– Решения задачи Синьорини для разных значений f (h = 1/32)
24
Глава 2. Модельная задача теории упругости с трещиной
γ
Γ
Ω
n
В этой главе рассматривается возможность применения модифицирован-
ных функционалов Лагранжа для решения задачи бесконечномерного выпук-
лого программирования с нелинейными краевыми условиями.
Классический подход к описанию задачи о равновесии упругого тела с тре-
щиной состоит в том, что на берегах трещины задаются краевые условия вида
равенств [
48]. Исследованию таких краевых задач посвящено большое число
работ. В то же время хорошо известно, что с точки зрения приложений получае-
мые линейные модели имеют очевидный недостаток: противоположные берега
трещины могут проникать друг в друга.
В монографии [47] анализируются более сложные модели, в которых бе-
рега трещины не могут проникать друг в друга. Взаимное непроникновение
достигается за счет того, что на берегах задаются нелинейные краевые условия.
Анализ подобных задач можно найти в [
37; 42; 43; 45; 46; 80]. Для их решения
используются различные подходы и приемы, приводятся численные расчеты.
2.1 Постановка задачи
Рассмотрим двумерную модельную задачу о равновесии пластины, содер-
жащей трещину [47, с. 58]. Полагаем, что Ω ⊂ R2–– ограниченная выпуклая
область с границей Γ; γ ⊂ Ω –– непрерывная незамкнутая кривая без самопересечений (рисунок 2.1). Обозначим Ωγ= Ω \ γ.
Рисунок 2.1 –– Пластина с трещиной
25
В области Ωγтребуется найти функцию u –– такую, что:
−△u =f в Ωγ,
u =0 на Γ, (2.1)
[u] > 0,
∂u
= 0,
∂n
∂u
[u] =0 на γ,
∂n
∂u
60 на γ±.
∂n
Здесь f ∈ L2(Ω) –– заданная функция; n –– выбранная нормаль к трещине; [u] =
u+− u−–– скачок функции u на γ (в каждой точке x ∈ γ функция принимает
два значения: u+и u−, соответствующие разным берегам трещины, условно
называемым верхним и нижним в зависимости от направления нормали n).
Значение функции u в области Ω можно интерпретировать как вертикаль-
ные смещения точек пластины под действием силы f относительно исходного
положения.
Пусть H
1
(Ωγ) = {v ∈ H1(Ωγ): v = 0 на Γ}. Задача (
Γ
2.1) соответствует
задаче минимизации функционала энергии
Z
Z
1
J(v) =
2
Ω
γ
K = {v ∈ H
|∇v|2dΩ −
1
(Ωγ): [v] > 0 п. в. на γ}.
Γ
fv dΩ → min
Ω
γ
, (2.2)
v∈K
В предположении H2-регулярности функции u можно показать, что ре-
шение задачи (
подробно исследован в [
2.2) является и решением (2.1). Вопрос о разрешимости (2.2)
47]. В этой монографии выявлены важные свойства
функционала J(·):
– J(·) выпуклый на множестве H1(Ωγ), т. е. для любых значений аргумен-
тов v1, v2∈ H1(Ωγ) и любого числа t ∈ [0,1] выполняется
J(tv1+ (1 − t)v2) 6 tJ(v1) + (1 − t)J(v2);
– J(·) дифференцируем по Гато в любой точке пространства H1(Ωγ), т. е.
для любых v, h ∈ H1(Ωγ) существует предел
dJ(v,h) = li m
t→0
t
;
– J(·) слабо полунепрерывен снизу на H1(Ωγ), т. е. для любого v0∈
H1(Ωγ) выполняется
J(v + th) − J(v)
J(v) > J (v0);
lim
v→v
0
26
– J(·) коэрцитивен на H
1
(Ωγ), т. е. J (v) −→ +∞ при kvk
Γ
H
1
(Ωγ)
Γ
−→ ∞.
Из слабой полунепрерывности снизу и коэрцитивности следует, что задача
2.2) имеет решение. Применяя неравенство Фридрихса, можно показать, что
(
это решение ещё и единственное.
2.2 Метод решения модельной задачи
Для решения задачи (
2.2) применяем схему двойственности, основанную
на модифицированном функционале Лагранжа. Этот метод двойственности
позволяет снять ограничение [v] > 0 на γ и вместо минимизации функционала
1
J(·) на K в задаче (
2.2) проводить минимизацию на всем пространстве H
(Ωγ).
Γ
2.2.1 Определение модифицированного функционала Лагранжа
Обозначим Km= {v ∈ H
1
(Ωγ): − [v] 6 m на γ}. Если функция m ∈
Γ
L2(γ) ограничена снизу на γ, то соответствующее ей множество Kmне является
пустым. Множество Kmможет быть пустым, если m ∈ L2(γ) \ H
ограничена снизу на γ [
15].
1/2
(γ) и не
Определим вспомогательный функционал KL(·, · ,·) соотношением
KL(v,l,m) =
J(v) +
+∞, если Km= ∅.
R
lm ds, если Km6= ∅,
γ
Тогда для l ∈ (L2(γ))+классический функционал Лагранжа можно сформиро-
вать следующим образом
Z
L(v,l) = inf
m∈L2(γ)
Теорема 5. Если решение u задачи (
KL(v,l,m) = J(v) −
l[v] ds.
γ
2.2) принадлежит пространству H2(Ωγ),
то классический функционал Лагранжа L(·,·) обладает седловой точкой (u, −
∂u
) на H
∂n
1
(Ωγ) × (L2(γ))+, т. е.:
Γ
L( u , l ) 6 L(u, −
∂u
) 6 L(v, −
∂n
∂u
) ∀(v,l) ∈ H
∂n
1
(Ωγ) × (L2(γ))+.
Γ
27
Доказательство. Так как [u] > 0,
∂u
∂n
6 0, −
∂u
[u] = 0, получаем левую часть
∂n
неравенства седловой точки
Z
Z
∂u
L( u , l ) = J(u) −
l[u] ds 6 J (u) = J (u) −
(−
)[u] ds = L(u, −
∂n
γ
γ
Чтобы показать выполнение правой части неравенства седловой точки, по-
кажем неотрицательность разности
∂u
).
∂n
L(v, −
Z
1
=
2
Ω
Z
=
Ω
γ
∂u
) − L(u, −
∂n
|∇v|2dΩ −
γ
∇u∇(v − u) dΩ +
∂u
) =
∂n
Z
1
|∇u|2dΩ −
2
Ω
γ
1
2
Z
Ω
Z
γ
|∇(v − u)|2dΩ −
Ω
γ
f(v − u) dΩ −
Z
f(v − u) dΩ +
Ω
γ
Z
∂u
(−
)([v] − [u]) ds =
∂n
γ
Z
∂u
([v] − [u]) ds.
∂n
γ
Здесь первое, третье и четвертое слагаемые в сумме дают ноль, а второе слагаемое неотрицательно. Таким образом, (u, −
∂u
) –– седловая точка классического
∂n
функционала Лагранжа.
Теперь определим функционал KM(·, · ,·)
KM(v,l,m) =
J(v) +
+∞, если Km= ∅,
R
lm ds +
γ
R
r
m2ds, если Km6= ∅,
2
γ
и построим модифицированный функционал Лагранжа
Z
r
M(v,l) = inf
m∈L2(γ)
KM(v,l,m) = inf
m∈L2(γ):
−[v]6m
Z
J(v) +
(lm +
γ
m2) ds=
2
1
= J (v) +
= J (v) +
2r
Z
1
inf
m∈L2(γ):
−[v]6m
(l − r[v])
((l + rm)2− l2) ds =
γ
2
+
− l
2
ds,
2r
γ
где r = const > 0, (l − r[v])+= max{0, l − r[v]}.
Определение 2. Пара (v∗,l∗) ∈ H
1
(Ωγ) × L2(γ) называется седловой точкой
Γ
функционала M(·,·), если выполняется двустороннее неравенство
1
M(v∗,l) 6 M (v∗,l∗) 6 M (v,l∗) ∀(v,l) ∈ H
(Ωγ) × L2(γ).
Γ
28
Введем функционалы:
M
(l) = inf
v∈H
1
(Ωγ)
Γ
M(v,l),
M(v) = sup
l∈L2(γ)
M(v,l).
Если v ∈ K, то выполняется условие −[v] 6 0 на γ. Тогда KM(v,l,0) = J(v)
для всех l ∈ L2(γ), и, следовательно, можно точно сказать, что
M(v,l) = inf
m∈L2(γ)
KM(v,l,m) 6 J(v) ∀v ∈ K.
Так что получаем
M(v) = sup
l∈L2(γ)
M(v,l) 6 J(v) ∀v ∈ K. (2.3)
Если −[v] 6 m, то
Z
r
KM(v,0,m) = J(v) +
m2ds.
2
γ
Поэтому для всех v ∈ H
M(v,0) = inf
m∈L2(γ)
1
(Ωγ) будет верным следующее:
Γ
KM(v,0,m) = inf
m∈L2(γ):
−[v]6m
{J(v) +
r
= J (v) +
2
m∈L2(γ):
−[v]6m
inf
Так что теперь получаем
M(v) = sup
l∈L2(γ)
2.3) и (2.4) следует, что
Из (
M(v,l) > M(v,0) > J(v) ∀v ∈ H
M(v) = J(v) ∀v ∈ K. (2.5)
Очевидно, что KM(v,l,m) > KL(v,l,m), и, следовательно,
Z
r
m2ds} =
2
γ
Z
m2ds > J(v).
γ
1
(Ωγ). (2.4)
Γ
Тогда
M(v,l) > L(v,l) ∀l ∈ (L2(γ))+.
M(v) > L(v), где L(v) = sup
l∈(L2(γ))
29
L(v,l).
+
Если v /∈ K, то
L(v,l) = +∞ (2.6)
+
Из (
2.5) и (2.6) следует, что
L(v) = sup
l∈(L2(γ))
J(v), если v ∈ K,
M(v) =
+∞, если v /∈ K.
Поэтому, используя модифицированный функционал Лагранжа, можно ис-
ходную задачу (
2.2) представить в виде
M(v) → min
v∈H
, (2.8)
1
(Ωγ)
Γ
а двойственную задачу в виде
(l) → max
M
l∈L2(γ)
. (2.9)
(2.7)
2.2.2 Функционал чувствительности
Определим для функции m ∈ L2(γ) функционал чувствительности
χ(m) =
J(v), если Km6= ∅,
inf
v∈K
m
+∞, если Km= ∅.
Его эффективная область dom χ = {m ∈ L2(γ): χ(m) < +∞} является выпук-
лым, но незамкнутым множеством в L2(γ), причем
dom χ = L2(γ).
При условии, что m ∈ dom χ, в силу коэрцитивности функционала J (·) за-
дача
Z
Z
1
J(v) =
|∇v|2dΩ −
2
Ω
γ
fv dΩ → min
Ω
γ
v∈K
m
имеет единственное решение, которое обозначим um= argmin
−[v]6m
определению, χ(m) = J(um), а χ(0) = inf
−[v]60
J(v).
J(v). Тогда, по
(2.10)
Покажем, что χ(·) –– выпуклый на dom χ функционал. Пусть m′, m′′∈
dom χ и χ(m′) = J(v′), χ(m′′) = J(v′′). Выполняются неравенства
−[v′] 6 m′, − [v′′] 6 m′′.
30