Математические методы в психологии. Учебное пособие-1

ющие: повысилась мотивация после воздействия на неё; снизилась ли агрессивность; увеличилось количество запоминаемой информации при использовании приёмов мнемотехники, выше ли уровень интеллекта у студентов-зоологов, чем у студентов-филологов; кого выбрать в жёны из примерно равных по предпочтениям, совпадает ли ваш выбор и выбор вас как мужа и многое другое.

7.3. λ-критерий Колмогорова-Смирнова

Этот критерий можно использовать так же, как и χ2-критерий Пирсона, для сопоставления распределений. Разница между критериями в том, что при применении 2 сопоставляются частоты двух распределений, а при применении критерия сравниваются накопленные частоты по каждому разряду.

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.

Если различия между двумя распределениями существенны и в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, можно признать различия статистически достоверными. В формулу критерия включается эта разность. Чем больше эмпирическое значение , тем более существенны различия.

Гипотезы Н0: различия между двумя распределениями недостоверны (судя

по точке максимального накопленного расхождения между ними).

Н1: Различия между двумя распределениями достоверны (судя по точке максимального накопленного расхождения между ними).

Ограничения критерия Колмогорова-Смирнова:

-измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений;

-выборки должны быть случайными и независимыми;

-желательно, чтобы суммарный объем двух выборок был больше или равен 50;

-сопоставление эмпирического распределения с теоретическим

иногда допускается при n 5;

- разряды должны быть упорядочены по нарастанию или убыванию какого-либо признака (дни недели, 1-й, 2-й, 3-й месяцы после прохождения курса терапии, повышение температуры тела, усиление чувства недостаточности и т. д.). Во всех тех случаях, когда разряды представляют собой не упорядоченные по возрас-

81

танию или убыванию какого-либо признака категории, следует применять метод 2.

Алгоритм расчёта критерия:

1.Занести в таблицу наименования разрядов с их порядковыми номерами и соответствующие им эмпирические частоты (первый, второй столбцы).

2.Посчитать относительные эмпирические частоты (частости)

для каждого разряда по формуле: f*эмп=fэмп/n,

где fэмп – эмпирическая частота по данному разряду; n – общее количество наблюдений.

Занести результаты в третий столбец таблицы.

3. Посчитать накопленные эмпирические частости по формуле:

∑ f*j=∑f*j-1+ f*j,

где ∑f*j-1 – частость, накопленная для предыдущих разрядов; j – порядковый номер разряда;

f*j – эмпирическая частость данного j-го разряда. Занести результаты в 4-й столбец таблицы.

4.Посчитать теоретические частости по формуле: f*теор=1/к, где к – количество разрядов. Записать результаты в пятый столбец.

5.Посчитать накопленные теоретические частости по аналогичной формуле с эмпирическими частостями и записать результаты в шестой столбец таблицы.

6.Вычислить разности между эмпирическими и теоретическими накопленными частостями по каждому разряду (шестой столбец минус четвёртый столбец). Абсолютные величины этих разностей записываются в седьмой столбец. Они обозначаются как d.

7.Определить максимальное значение d и обозначить его как

dмах.

8. По таблице определить: если dмах≥dтабл, то можно сделать вывод о том, что различия между распределениями достоверны

(или для обратного отношения между dмах и dтабл – не достоверны). Заметим, что для сравнения двух эмпирических распределений

(а не теоретического и эмпирического) алгоритм с пункта 4 немного отличается:

1. Записать теоретические частоты и посчитать эмпирические частости для второго распределения по аналогии с первым распределением (а не с теоретическим). Результаты занести в 4-й и 5-й столбец таблицы.

82

2. Разности и dмах определяются аналогично, но далее рассчитывается λ:

λ= dмах*√n1*n2/(n1+n2),

где n1 – количество наблюдений в первой выборке; n2 – количество наблюдений во второй выборке.

3.По специальной таблице определить, какому уровню статистической значимости соответствует полученное значение λ.

4.Если λэмп≥1.36, то можно сделать вывод о том, что различия между выборками достоверны.

Отметим для общего случая использования критерия Колмого- рова-Смирнова, что выборка должна быть большой для сравнения

эмпирических распределений (n1, n2≥50) и эмпирического с теоретическим (n≥5). Кроме того, разряды должны быть упорядочены по

возрастанию или убыванию исследуемого признака (расположены однонаправлено). В противном случае используется χ2-критерий.

Пример: какая позиция (место) является наиболее ярко показывающей различие в отношении к противоположному полу у выборки студентов 3-го курса физико-математического факультета и 3-го курса студентов церковно-приходского училища.

Выводы. Часто исследователю бывает полезно сопоставить полученное им эмпирическое распределение с теоретическим или каким-либо заданным распределением. Например, для того, чтобы доказать, что полученное распределение признака подчиняется или, наоборот, не подчиняется нормальному закону распределения. Это лучше делать с помощью машинных программ обработки данных, особенно при больших объёмах выборок.

В практических целях эмпирические распределения должны проверяться на «нормальность» в тех случаях, когда мы намерены использовать параметрические методы и критерии.

Традиционные для отечественной математической статистики критерии определения расхождения или согласия распределений – это метод χ2 К. Пирсона и критерий λ-Колмогорова-Смирнова.

Оба эти метода требуют тщательной группировки данных и довольно сложных вычислений. Кроме того, возможности этих критериев в полной мере проявляются на больших выборках (n>30). Тем не менее они могут оказаться столь незаменимыми, что исследователю придётся пренебречь экономией времени и усилий. Например, они незаменимы в следующих двух случаях:

83

-в задачах, требующих доказательства неслучайности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив;

-в задачах, требующих обнаружения точки максимального расхождения между двумя распределениями, которая затем используется для перегруппировки данных с целью применения критерия φ* (углового преобразования Фишера).

Вопросы для самопроверки

1.χ2-критерий Пирсона.

2.Особые случаи применения критерия Пирсона: поправка на непрерывность.

3.Особые случаи применения критерия Пирсона: укрупнение разрядов признака.

4.λ-критерий Колмогорова-Смирнова.

Рекомендуемая литература и интернет-источники

Основная: 1–3. Дополнительная: 1– 3. Методическая: 1–2. Интернет-ресурсы: 1– 3.

84

8. Многофункциональные статистические критерии

План

8.1.Критерий φ* – угловое преобразование Фишера.

8.2.Использование критерия φ* в сочетании с критерием λ Колмо- горова-Смирнова.

8.3.Биномиальный критерий m.

8.1. Критерий φ*-угловое преобразование Фишера

Многофункциональные критерии в целом, как видно из названия, могут использоваться по отношению к самым разнообразным выборкам, данным, задачам. Это означает, что данные могут быть представлены в любой шкале (начиная от шкалы наименований), выборки могут быть несвязанные, связанные (одна и та же). Многофункциональные критерии позволяют решать задачи сопоставления уровней исследуемого признака, сдвигов в значениях исследуемого признака и сравнения распределений.

Критерий φ*-угловое преобразование Фишера (читается «фи со звёздочкой» или просто «фи») предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий эффект.

Суть углового преобразования Фишера состоит в переводе процентных долей в величины центрального угла, который измеряется в радианах. Большей процентной доле соответствует больший угол φ, а меньшей – меньший, но соотношение здесь не линейное:

φ=2arcsin(√P),

где Р – процентная доля, выраженная в долях единицы.

Критерий φ* позволяет определить, действительно ли один из углов статистически достоверно превосходит другой при данных объёмах выборок. Чем больше величина φ, тем более вероятно, что различия достоверны.

Ограничения критерия сводятся к следующему:

-ни одна из сопоставляемых долей не должна быть равна нулю;

-верхний предел отсутствует, а нижний определяет следующее соотношение выборок:

если n1=2, то n2≥30;

если n1=3, то n2≥7;

85

если n1=4, то n2≥5;

- при n1, n2≥5 возможны любые сопоставления. Алгоритм расчёта критерия:

1.Определить те значения признака, которые будут критерием для разделения испытуемых на тех, у кого «есть эффект» и на тех, у кого «нет эффекта». Если признак количественно определён, то использовать λ для определения оптимальной точки разделения.

2.Подсчитать количество испытуемых первой группы, у кого «есть эффект». Посчитать кол-во испытуемых второй группы, у кого «есть эффект».

3.Определить процентные доли испытуемых, у кого «есть эффект».

4.По специальной таблице определить величины углов φ, соответствующих каждой из сопоставляемых процентных долей.

5.Посчитать эмпирическое значение φ* по формуле:

φ*=(φ1-φ2)√(n1*n2)/(n1+n2),

где φ1 – угол, соответствующий большей процентной доле; φ2 – угол, соответствующий меньшей процентной доле; n1 – количество наблюдений в выборке 1;

n2 – количество наблюдений в выборке 2.

6. Сопоставить полученное значение с критическими для

φ*≤1.64 (при р≤0.05) и φ*≤2.31 (при р≤0,01).

Если φ*эмп≥φ*кр, то нуль-гипотеза отвергается и принимается альтернативная, в обратном случае принимается нулевая гипотеза.

Для применения критерия Фишера существует несколько типичных экспериментальных задач.

Первая задача – сопоставление выборок по качественно определяемому признаку.

Допустим, нас интересует, различаются ли две группы студентов по успешности решения новой экспериментальной задачи. В первой группе из 20 человек с ней справились 12, а во второй из 25 – 10. Достоверны ли различия между выборками по успешности?

Для расчёта данного критерия необходимо разделить экспериментальные данные по принципу: «есть эффект» - «нет эффекта». В данном случае это просто: «есть эффект» – справились с задачей, «нет эффекта» - не справились. То есть необходимо сравнить 60% и 40% справившихся с задачей в двух группах.

По специальной таблице определяем φ1(60%) =1.772 (12 человек из 20 справились в первой группе), φ2(40%)=1.369 (10 из 25 во второй).

86

Эмпирическое значение критерия φ* в данном случае составляет =1.34 ед. По специальной статистической таблице определяем, какому уровню значимости соответствует это значение: для р≤0.05

φ*=1.64, для р≤0.01 φ*=2.31. У нас φ*эмп<φ*табл, значит полученное значение критерия статистически достоверно не отражает соотно-

шение сравниваемых параметров. Применительно к нашей задаче это означает, что доля лиц, справившихся с задачей, в первой группе, не больше, чем во второй.

Вторая задача – сопоставление двух выборок по количественно измеряемому признаку.

В данном случае мы сравниваем процент испытуемых в одной выборке, которые достигают определённого уровня значения признака, с процентом испытуемых, достигающих этого значения в другой выборке.

Предположим, нам необходимо узнать, действительно ли в группе агрессивных юношей чаще выбирается расстояние при разговоре меньше 50 см, чем в группе неагрессивных юношей (7 из 10 фактов у агрессивных и 2 из 11 у неагрессивных). Таким образом, здесь «есть эффект» - расстояние меньше или равно 50 см, а «нет эффекта» - больше 50 см.

То есть по таблице определяется φ1(70%) =1.982 и φ2(18,2%)=0.881. Эмпирическое значение φ*эмп=2.52. Критические (табличные)

нам уже известны; следовательно: φ*эмп>φ*табл, а значит, полученное значение значимо, то есть доля лиц, которые выбирают дистанцию при разговоре меньше или равную 50 см в группе агрессивных юношей больше, чем в группе неагрессивных юношей.

Третья задача – сопоставление выборок по уровню и по распределению признака.

Например, нам нужно узнать, различаются ли группы с большей энергией вытеснения и с меньшей энергией вытеснения по показателю недостаточности.

У нас обследованы две группы по соответствующим опросникам – на показатель энергии вытеснения и на наличие комплекса неполноценности. Получены результаты можно интерпретировать так: если показатели недостаточности принимают крайние значения, то «эффект есть», а если средние, то «эффекта нет». Тогда у 16 человек из группы с большей энергией вытеснения «эффект есть» и у 2 – нет. У 8 человек из группы с меньшей энергией вытеснения «эффект есть» и у 16 – нет.

87

Гипотеза будет звучать так: крайние значения показателя недостаточности в группе с более энергичным вытеснением встречаются чаще, чем в группе с менее энергичным вытеснением.

φ1(88,9%) =2.462 и φ2(33,3%)=1.230.

φ*эмп=3.951.

Критические значения: 1.64 (р≤0.05) и 2.31 (р≤0.01). Эмпирическое больше критического на уровне значимости

р≤0.01, следовательно, крайние значения показателя недостаточности в группе с большей энергией вытеснения встречаются чаще, чем

вгруппе с меньшей энергией вытеснения.

8.2.Использование критерия φ* в сочетании с критерием λ Колмогорова-Смирнова

Если выборки сопоставляются по каким-либо количественным признакам, то встаёт проблема выявления той точки распределения, которая может использоваться как критическая при разделении всех испытуемых на тех, у кого «есть эффект» и тех, у кого «нет эффекта».

В принципе эту точку можно выбрать произвольно, но для повышения точности расчётов можно использовать критерий Колмо- горова-Смирнова. То есть, например, у нас имеется два школьных класса, которым предложено решать задачи (или писать диктант). Количество ошибок в данном случае будет измеряемым признаком. Получены результаты (см. табл. 8.1).

Максимальная выявленная между двумя накопленными эмпирическими частостями составляет 0.218. Эта разность оказывается накопленной во второй категории. То есть теперь можно считать, что граница этой категории (40%) – критерий разделения результатов на «есть эффект» и «нет эффекта».

Таблица 8.1

Данные для анализа с использованием критерия КолмогороваСмирнова в сочетании с угловым преобразованием Фишера

88

Таким образом, после несложных подсчётов получается: у класса 1 «есть эффект» у 26 человек (>40%), у класса 2 – 9 человек. Работа со специальной таблицей и подстановка в формулу полученных значений дала следующий результат: φ*=1.764. Критические значения нам уже известны. Тогда вывод: доля лиц, решивших более 40% задач в классе 1 превышает эту долю в классе 2.

8.3. Биномиальный критерий m

Критерий m предназначен для сопоставления частоты встречаемости какого-либо эффекта с теоретической или заданной частотой его встречаемости. Он применяется в тех случаях, когда обследована лишь одна выборка объёмом не более 300 наблюдений. Биномиальный критерий m позволяет оценить, насколько эмпирическая частота интересующего нас эффекта превышает теоретическую или какую-либо другую частоту.

Биномиальный критерий незаменим, если налицо 2 условия:

-обследована лишь одна выборка испытуемых, и нет возможности или смысла делить эту выборку на две части с целью дальнейшего применения критерия, φ*, так как для нас по каким-то причинам важно исследовать частоту встречаемости признака в вы-

борке в целом;

-в обследованной выборке менее 30 испытуемых, что не позволяет нам применить критерий χ2.

Если в нашей выборке больше 30 испытуемых, мы все же мо-

жем использовать критерий m и тем самым сэкономить время на подсчёте χ2.

Эмпирическая частота наблюдений, в которых проявляется ин-

тересующий нас эффект, обозначается как m. Если mэмп превышает mкр, то различия достоверны.

Гипотезы:

-H0: Частота встречаемости данного эффекта в обследованной выборке не превышает теоретической (заданной, ожидаемой, предполагаемой).

-H1: Частота встречаемости данного эффекта в обследованной выборке превышает теоретическую (заданную, ожидаемую, предполагаемую).

Алгоритм расчёта критерия:

1. Определить теоретическую частоту встречаемости эффекта

по формуле: fтеор=n*Р,

89

где n – количество наблюдений;

Р – заданная вероятность исследуемого эффекта.

2.По таблице 8.2. определить, какой критерий применим.

3.Если критерий m применим, то определить критические его значения по специальным статистическим таблицам.

4.Считать эмпирическим значением m эмпирическую частоту встречаемости эффекта в обследуемой выборке.

5.Если эмпирическое m превышает критическое, то можно сделать вывод о том, что эмпирическая частота достоверно превышает частоту, соответствующую заданной вероятности.

Таблица 8.2

Выбор критерия для сопоставления эмпирической частоты с теоретической при разных вероятностях исследуемого эффекта и разных гипотезах

A.Если заданная вероятность Р<0.50, а fэмп>fтеор (например, допустимый уровень брака – 15%, а в обследованной выборке получено 25%), то критерий m применим для объёма выборки в не менее 2

ине более 50 наблюдений.

B.Если заданная вероятность Р<0.50, а fэмп<fтеор (например, допустимый уровень брака 15%, а в обследованной выборке 5%), то бино-

минальный критерий неприменим и следует применять χ2 для n≥30.

C.Если заданная вероятность Р=0.50, а fэмп>fтеор (например, вероятность выбора одной из равновероятных альтернатив = 50, а одна из них выбирается чаще чем в половине случаев), то применять m для 5≤n≤300.

D.Если Р=0.50, а fэмп<fтеор (например, одна из равновероятных выбирается реже, чем в половине случаев), то G для 5≤n≤300.

E.Если Р>0.50, а fэмп>fтеор (например, среднестатистический процент решения задачи – 80%, а получено 95%), то применять χ2

для n≥30.

F.Если Р>0.50, fэмп<fтеор (например, среднестатистический процент решения задачи – 80%, а получен – 60%), то биномиальный критерий можно использовать, сведя вычисления к пункту А, то есть в качестве «эффект есть» рассматривать неудачу решения задачи.

90