Математические методы в психологии. Учебное пособие-1

ную величину (в нашем примере d2 = 171) и подставляют в формулу коэффициента ранговой корреляции.

Таблица 4.2

Табулирование первичных результатов для расчета коэффициента корреляции по Спирмену

d2 = 71.00

В нашем примере = 0.695.

Далее необходимо определить по специальной таблице критические значения для данного N. Если эмпирическое (полученное) значение превышает табличное (критическое), то корреляция достоверно отличается от нуля, и в зависимости от знака мы можем говорить о прямой или обратной силе связи.

Положительное значение полученного коэффициента позволяет утверждать, что оба опросника – Х и Y – дают возможность выявлять похожие, но не идентичные личностные свойства.

Отметим, что для коэффициента корреляции Спирмена рассчитывается так называемая поправка на одинаковые ранги:

Та=∑(а3-а)/12 Тб=∑(б3-б)/12,

где а – объём каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А; б – объём каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду Б.

Практика показывает, что такая поправка не вносит значимых изменений в итоговый показатель коэффициента корреляции, пото-

51

му её часто в книгах по математической статистике не включают в рассмотрение.

4.5. Коэффициент корреляции Кендалла

Этот коэффициент корреляции применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать.

Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги.

Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кендалла (обозначается как τ, читается как «тау»):

,

где S=P−Q.

P – суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с большим значением рангов Y.

Q – суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y (равные ранги не учитываются!).

Отметим, что значения коэффициента корреляции Кендалла, как и значения других коэффициентов корреляции, находится в пределах от минус единицы до плюс единицы:

Если исследуемые данные повторяются (имеют одинаковые ранги), то в расчётах используется скорректированный коэффициент корреляции Кендалла:

t – число связанных рангов в ряду X и Y соответственно. Интерпретация результатов вычисления коэффициент ранговой

корреляции τ-Кендалла определяется как разность вероятностей совпадения и инверсии в рангах.

В любом случае эмпирическое значение критерия сравнивается с критическим (табличным) и по общей стратегии выводов для коэф-

52

фициентов корреляции – чем больше эмпирическое значение табличного, тем с большей вероятностью мы отклоним нуль-гипотезу и примем альтернативную, а чем оно меньше – тем скорее мы примем нуль-гипотезу.

Для одних и тех же значений переменных значения коэффициента корреляции Спирмена будет всегда немного больше, чем коэффициент корреляции Кендалла, тогда как уровень значимости будет одинаков или же у коэффициента корреляции τ-Кендалла будет немного больше.

Выводы. Корреляционный анализ получил широкое распространение в психологических исследованиях. В области психологии первоначально он был применён для изучения интеллектуальных способностей человека, в последующем с развитием представлений об объекте как сложном системном явлении и ограниченностью применения классических форм экспериментирования стал применяться для различных задач, направленных на выявление соотношения нескольких переменных, а также оценки психометрических характеристик методик.

Корреляционный анализ как статистический метод направлен на проверку статистической связи между несколькими переменными. Корреляционная связь понимается как согласованные изменения нескольких признаков и не предполагает установление причин- но-следственных отношений, она показывает изменчивость признака в соотношении с изменчивостью другого признака. Меры связи показывают наличие совместной изменчивости признаков, но не дают ответа, в чём причина этой связи.

Вопросы для самопроверки

1.Сущность корреляции.

2.Классификация корреляционных связей.

3.Коэффициент корреляции Пирсона.

4.Коэффициент корреляции Спирмена.

5.Коэффициент корреляции Кендалла.

Рекомендуемая литература и интернет-источники

Основная: 1–3. Дополнительная: 1– 3. Методическая: 1–2. Интернет-ресурсы: 1– 3.

53

5. Непараметрическая статистика. Выявление различий в уровне исследуемого признака

План

5.1.Сущность задачи исследования различий в уровне исследуемого признака.

5.2.Q-критерий Розенбаума (назначение, ограничения, алгоритм расчёта).

5.3.U-критерий Манна-Уитни (назначение, ограничения, алгоритм расчёта). Правила ранжирования.

5.4.Н-критерий Крускала-Уоллиса (назначение, ограничения, алгоритм расчёта).

5.5.S-критерий тенденций Джонкира (назначение, ограничения, алгоритм расчёта).

5.1. Сущность задачи исследования различий в уровне исследуемого признака

Очень часто перед исследователем в психологии стоит задача выявления различий между двумя, тремя и более выборками испытуемых.

Это может быть, например:

задача определения психологических особенностей хронически больных детей по сравнению со здоровыми, юных правонарушителей по сравнению с законопослушными сверстниками;

выявление различий между работниками государственных предприятий и частных фирм;

выявление различий между людьми разной национальности или разной культуры;

выявление различий между людьми разного возраста в методе «поперечных срезов».

Иногда по выявленным в исследовании статистически достоверным различиям формируется «групповой профиль» или «усредненный портрет» человека той или иной профессии, статуса, соматического заболевания и др.

В последние годы всё чаще встаёт задача выявления психологического портрета специалиста новых профессий: «успешного менеджера», «успешного политика», «успешного торгового представителя», «успешного коммерческого директора» и др. Такого рода исследования не всегда подразумевают участие двух или более выборок. Иногда обследуется одна, но достаточно представительная

54

выборка численностью не менее 60 человек, а затем внутри этой выборки выделяются группы более и менее успешных специалистов, и их данные по исследованным переменным сопоставляются между собой.

Сопоставление уровневых показателей в разных выборках может быть необходимой частью комплексных диагностических, учебных, психокоррекционных и иных программ. Оно помогает обратить внимание на те особенности обследованных выборок, которые должны быть учтены и использованы при адаптации программ к данной группе в процессе их конкретного воплощения.

Решение о выборе того или иного критерия в задачах этого типа принимается на основе того, сколько выборок сопоставляется и каков их объём (таблица 5.1).

Таблица 5.1

Выбор метода анализа данных для задачи сравнения групп по уровню какого-либо признака

Критерии, которые рассматриваются ниже, предполагают, что мы сопоставляем независимые выборки, то есть две или более выборки, состоящие из разных испытуемых. Тот испытуемый, который входит в одну выборку, уже не может входить в другую. Если мы обследуем одну и ту же выборку испытуемых, несколько раз подвергая её аналогичным измерениям («замерам»), то перед нами – так называемые связанные, или зависимые, выборки данных.

5.2. Q-критерий Розенбаума (назначение, ограничения, алгоритм расчёта)

Критерий используется для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, который измерен количественно. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых.

55

К особенностям его использования относятся следующее:

-если в обеих выборках меньше 50 наблюдений, то абсолютная величина разности между n1 и n2 не должна быть больше 10;

-если в обеих выборках больше 51, но меньше 100 наблюде-

ний, то абсолютная величина разности между n1 и n2 не должна быть больше 20;

-если в каждой из выборок больше 100, то одна выборка может быть больше другой не более чем в 1.5-2 раза;

-диапазоны значений в выборках не должны совпадать между собой; так, если у нас в одной из групп присутствуют и максимальное и минимальное значения, то критерий Розенбаума неприменим.

Критерий позволяет быстро оценить различия между двумя выборками по какому-либо признаку. Если критерий Q не выявляет

достоверных различий, это ещё не означает, что их действительно нет. В этом случае можно применить критерий φ*-Фишера (угловое преобразование Фишера).

Если Q-критерий выявляет достоверные различия между вы-

борками с уровнем значимости 0,01, можно ограничиться только им. Критерий применяется в тех случаях, когда данные представлены в порядковой шкале.

Общее условие интерпретации данного критерия такое: если эмпирическое значение Q больше или равно табличному (на уровне значимости меньше 0.05 и тем более 0.01), то различия между сравниваемыми выборками достоверные (нуль-гипотеза отклоняется). Если эмпирическое значение Q меньше табличного, то это означает, что различий между группами не обнаружено (нуль-гипотеза принимается).

Гипотезы:

-Н0: Уровень признака в выборке 1 не превышает уровня этого признака в выборке 2.

-Н1: Уровень признака в выборке 1 превышает уровень признака в выборке 2.

Алгоритм расчёта критерия Q:

1. Количество наблюдений в каждой выборке должно быть ≥11

(n1, n2≥11) и n1≈n2.

2. Считать выборкой № 1 ту, где предположительно выше значения исследуемого признака.

56

3.Определить количество значений признака в выборке № 1, которые выше максимального значения признака в выборке № 2. Обозначить это число как S1.

4.Определить количество значений признака в выборке № 2, которые меньше минимального значения в выборке № 1. Обозначить это число S2.

5.Посчитать эмпирическое значение критерия Розенбаума:

Qэмп= S1+ S2.

По специальной таблице определить теоретическое (критическое, табличное) его значение, и если Qэмп > Qкр, то формулируем вывод: уровень признака в выборке № 1 превышает уровень признака в выборке № 2 (то есть отвергается нуль-гипотеза (Н0)).

Отметим, что при определённых значениях n, а именно для n1,

n2≥26 сопоставляется Qэмп с Qкр=8 (p≤0.05) и Qкр=10 (p≤0.01). Пример: исследуются строители и филологи по скорости чте-

ния (слов в минуту).

Гипотеза Н0: скорость чтения у филологов и строителей достоверно не отличается (скорость чтения у филологов не больше, чем у строителей).

Гипотеза Н1: филологи достоверно превосходят строителей по скорости чтения (скорость чтения у филологов больше, чем у строителей).

5.3. U-критерий Манна-Уитни (назначение, ограничения, алгоритм расчёта)

Для сравнения независимых выборок применяются другие критерии. Они построены на другой логике обобщения результатов, учитывающей несвязанность значений разных выборочных совокупностей. Поэтому выбор метода, который не учитывает вида выборок, может привести к неверным результатам.

Для сравнения двух независимых выборок наиболее часто применяется непараметрический критерий Манна-Уитни (U). Он является доработанным критерием Уилкоксона для независимых выборок, поэтому иногда может встречаться название Уилкоксона или Уилкоксона-Манна-Уитни.

Этот критерий предназначен для того же, что и критерий Розенбаума, но может оценивать различия, если n1, n2≥3 или n1=2, а n2≥5. Этот критерий более мощный, чем критерий Розенбаума.

57

В отличие, например, от t-критерия Стьюдента, U-критерий не требует проверки на нормальность распределения, с его помощью можно сравнивать маленькие выборки объёмом от 3-х наблюдений, т.е. тест позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками.

U-критерий показывает, насколько велика зона совпадений между выборками. То есть в данном случае, чем меньше его значение, тем «лучше» (достовернее различия). Иногда эти различия называют различиями в расположении двух выборок.

Для расчёта этого критерия необходимо знать правила ранжи-

рования:

1. Меньшему значению приписывается меньший ранг=1, а максимальному значению ранжируемой совокупности значений – максимальный, соответствующий числу значений (наблюдений).

2.Если несколько значений равны, то каждому из них приписывается ранг, равный среднему арифметическому из их потенциальных рангов.

3.Общая сумма рангов (полученная в результате ранжирования) должна совпадать с расчётной (теоретической), которая определяется по формуле:

∑(Ri)=N(N+1)/2,

где N – общее число ранжируемых наблюдений. Если эмпирическая и теоретическая суммы рангов не совпадают, значит, в ранжировании допущена ошибка.

Для корректной работы с критерием требуется выполнение следующих условий:

-распределения X и Y непрерывны (или являются дискретными распределениями, хорошо аппроксимирующими непрерывное распределение);

-распределения X и Y имеют одинаковую форму, единственным возможным отличием является их расположение (т.е. медиана);

-выборки независимы;

-тест нельзя применять к номинальным переменным;

- в каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: n1, n2 ≥ 3; допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5;

- в выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа – разные) или таких совпадений должно быть достаточно мало.

58

Первым рядом (выборкой, группой) выбирается тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а вторым рядом - тот, где они предположительно ниже.

Гипотезы для U-критерия Манна-Уитни:

-Н0: уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

-Н1: уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Алгоритм:

1. Проранжировать все наблюдения вместе, затем разделить на первоначальные группы. Посчитать суммы рангов по группам и проверить, совпадает ли полученная общая сумма рангов с теоретической величиной.

2. Определить большую из ранговых сумм.

3. Определить эмпирическое значение U-критерия МаннаУитни по формуле:

U=(n1* n2)+ nмах*(nмах+1)/2 – Rмах,

где n1, n2 – количество испытуемых в первой и второй выборках; nмах/Rмах – количество испытуемых в группе с большей суммой

рангов / большая сумма рангов.

4. Сравнить полученное значение с табличным и если

Uэмп≤Uтеор, то можно делать вывод о том, что уровень признака в группе № 2 достоверно ниже уровня признака в группе № 1 (отвер-

гается нуль-гипотеза).

Пример: исследование вербального интеллекта старшеклассников школы с углубленным изучением иностранного языка и старшеклассников обычной общеобразовательной школы. Можно было бы применить критерий Q-Розенбаума, но если меньшее и большее значение исследуемого признака (здесь IQ) принадлежит одной группе, то его нельзя применять. Кроме того, всё-таки более мощный – U-критерий Манна-Уитни.

5.4. Н-критерий Крускала-Уоллиса (назначение, ограничения, алгоритм расчёта)

Этот критерий применяется для оценки различий между двумя, тремя и т.д. выборками по уровню какого-либо признака. Он указывает на то, что уровень какого-либо признака изменяется при переходе от выборки к выборке, но не указывает направление.

59

Он позволяет установить, что уровень признака изменяется при переходе от группы к группе, но не указывает на направление этих изменений.

Критерий Н иногда рассматривается как непараметрический аналог метода дисперсионного однофакторного анализа для несвязанных выборок.

Данный критерий является продолжением критерия U на большее, чем 2, количество сопоставляемых выборок. Все индивидуальные значения ранжируются так, как если бы это была одна большая выборка. Затем все индивидуальные значения возвращаются в свои первоначальные выборки, и мы подсчитываем суммы полученных ими рангов отдельно по каждой выборке. Если различия между выборками случайны, суммы рангов не будут различаться сколько-нибудь существенно, так как высокие и низкие ранги равномерно распределятся между выборками. Но если в одной из выборок будут преобладать низкие значения рангов, в другой – высокие, а в третьей – средние, то критерий Н позволит установить эти различия.

Гипотезы:

-H0: Между выборками 1, 2, 3 и т.д. существуют лишь случайные различия по уровню исследуемого признака.

-H1: Между выборками 1, 2, 3 и т. д. существуют неслучайные различия по уровню исследуемого признака.

Алгоритм расчёта критерия:

1. Наблюдения всех выборок ранжируются как наблюдения одной выборки.

2. Разделение по первоначальным группам индивидуальных значений (наблюдений), посчитать суммы рангов и проверить, совпадает ли общая сумма полученных рангов с расчётной.

3. Посчитать эмпирическое значение критерия Н по формуле:

Н=[(12/N*(N+1))*∑(Rj2/n)] – 3 (N+1),

где N – общее количество испытуемых в объединённой выборке; n – количество испытуемых в каждой группе;

Rj – суммы рангов по каждой группе.

4. Сравнить полученное (эмпирическое) значение Н-критерия

Крускала-Уоллиса с табличным, и если Нэмп≥Нтабл, то можно сделать вывод о том, что между выборками 1, 2, 3 и т.д. существуют неслучайные различия по уровню исследуемого признака.

60